福建省福州第一中学2025-2026学年高二下学期数学单元测试卷：一元函数的导数及其应用

高二（下）数学单元测试卷——一元函数的导数及其应用 一、单选题：本题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 与是定义在上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ） A． B．为常数函数 C． D．为常数函数 2．已知函数，则（ ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 3．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4.已知函数在上单调递增，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 5.设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题8分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6．（全国·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 7.已知函数若实数满足不等式 则(     ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 8．已知函数，当时的最大值为 ． 9．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm，且以每秒1 cm等速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长．已知神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为________，此时金箍棒的底面半径为________cm． 四、解答题：本题共2小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.（15分） 已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)判断并证明函数的零点个数． 11.（18分） 已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求的最小值. 高二（下）数学单元测试卷——一元函数的导数及其应用 一、单选题：本题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 与是定义在上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ） A． B．为常数函数 C． D．为常数函数 【答案】B 2．已知函数，则（ ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】因为，所以，令，则，所以在上单调递减， 因为，所以当时，，即；当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 故的极大值点为1，，即，不存在最小值．故选：C． 3．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 4.已知函数在上单调递增，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】解：因为，所以． 因为在上单调递增， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，． 设，则． 由，得，由，得， 从而在上单调递减，在上单调递增， 故，即所以的最大值是．故选C． 5.设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由，得，，设，则； 由，得，设；由，得，所以切点坐标为，所以.故选A. 二、多选题：本题共2小题，每小题8分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6．（全国·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以； 记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知， 即. 7.已知函数若实数满足不等式 则(     ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解答】的定义域为，为奇函数， 函数的图象向右平移两个单位可得的图象， 关于点对称， ，， 在上为增函数， 由化为， 等价于，， ，成立， 不能推出，．故选BD． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 8．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值为 ． 【答案】 【详解】， 当时，，递增；当时，，递减； ，，， 9．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm，且以每秒1 cm等速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长．已知神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为________，此时金箍棒的底面半径为________cm． 解析：设原来定海神针长为a cm，t秒时神针体积为V(t)， 则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，0≤t≤8，则V′(t)＝π[2(t－12)(a＋20t)＋20(12－t)2]， ∵当底面半径为10 cm时其体积最大，∴10＝12－t，解得t＝2， 此时V′(2)＝0，解得a＝60， ∴V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)， 当t∈(0,2)时，V′(t)＞0，当t∈(2,8)时，V′(t)＜0， ∴V(t)在(0,2)上单调递增，在(2,8)上单调递减，∵V(0)＝8 640π，V(8)＝3 520π， ∴当t＝8时，V(t)有最小值，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案：3 520π　4 四、解答题：本题共2小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.（15分） 已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)判断并证明函数的零点个数． 【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为， 所以，解得； （2）由可得，所以． 函数有两个零点即函数有两个零点． ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，0， 所以，． 由零点存在定理可得使得，使得， 所以函数有两个零点． 11.（18分） 已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求的最小值. 【详解】（1）因为，所以, 令，则，因为， 当时，，则，即，此时在上单调递增， 当时，，由，得，且， 当或时，，即；当时，，即， 所以在,上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增， 当时，在,上单调递增，在上单调递减， 其中. （2）由（1）可知，为的两个极值点，且， 所以，且是方程的两不等正根， 此时，，， 所以，，且有，， 则 令，则，令，则， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以，所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $高二（下）数学单元测试答题卷一一一元函数的导数及其应用 班级 姓名 座号 成绩 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 选项 二 填空题 8. 9. 三、 解答题 10.解： 11.解：