专题02 正方形中的4种常考模型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02正方形中的4种常考模型 题型归纳 题型一：“十字架”模型 题型三：手拉手模型 题型三：半角模型 题型四：一 线三直角模型(K型模型) 题型专练 题型一：“十字架”模型 1.(24-25八年级下.安徽合肥期末)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD,AB的中点，连接 BE,CF,BE与CF交于点O. F F 图1 图2 (1)如图1，求证：CF⊥BE; (2)如图2，已知G,H分别是BE,CF的中点，AB=4√2，求GH的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=AD,∠EAB=∠FBC=∠BCD=∠D=90°. 又E,F分别是边AD,AB的中点， 4=4D,8F-48， ·AE=BF. 在△ABE和BCF中， AE=BF, ∠EAB=∠FBC AB=BC, △ABE≌△BCF(SAS), LABE=∠BCF, 又∠ABE+∠OBC=90°， L0BC+LBCF=90°， 则∠B0C=180°-L0BC+∠BCF)=90°， CF⊥BE; 1/73 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：连接BH并延长交CD于点P,连接EP,如图 F 在Rt△CBF中，H是CF的中点， :BH =CH, LBCF=∠CBP, 又BC=CB,∠FBC=∠PCB=90°， aFBC≌aPCB(ASA, .CF-BP.CP-BF-74B-CD-DP-23. .H是BP的中点，又G是BE的中点， :GH是△BEP的中位线，则GH=EP. :E是AD的中点， DE=4D=2N2, 又∠D=90°， :EP=DP2+DE2=4, GH=2EP=2×4=2. 2.(24-25八年级下.安微池州期末)已知正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，连接AE, DF. (1)若点E为CD的中点，AE⊥DF于点O. ①如图，求证：BF=CF; B ②如图，连接0c,求10 的值； 2/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (2)如图，若AB=√5，DE=BF,则AE+DF的最小值为-（直接写出结果）· 【详解】(1)证明：①：四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD=BC,LADC=∠C=90°， :AE⊥DF, .∠DAE+∠AD0=∠AD0+∠CDF=90°，即∠DAE=∠CDF, △ADE≌ADCF(ASA), .DE=CF, :E为CD的中点， :DE CE, .DE+CE CD,CF+BF=BC,CD=BC, .BF=CF; ②如图，作CH⊥DF于H,CG⊥AE于G, B H D E 图2 .LECG=LFCH,∠FHC=LG=90°， :E为CD的中点， ∴.DE=CE=CF, △CHF≌ACGE(AAS), .CH =CG, :AE⊥DF, 3/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠H0C=∠G0C=45°， CH=CG=0H,OC=√2CH, :AE⊥DF, ∴∠AD0+∠DA0=90°， :∠AD0+∠CDH=90°， .∠DAO=∠CDH, :∠A0D=∠DHC=90°，AD=CD, △ADO≌ADCH(AAS), .CH=OD=OH,A0=DH=2CH, 40-2C9=5, C0√2CH (2)解：如图，连接AF,延长DC至P,使得CD=CP,连接AP, 的 D E 图3 则CF垂直平分DP, .DF PF, :AD=AB,∠ADE=∠B=90°，BF=DE, .△ADE≌△4BF (SAS, ∴AE=AF, .AE+DF=AF FP 2 AP, AB=5, AD=AB=5,DP=25, AP=AD2+DP2=5 :AE+DF的最小值为5. 3.(24-25八年级下.安微准南期末)如图，己知正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上. 4/73 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E F 图① 图② (1)如图①，连接BE与AF相交于点P,若EC=BF，AF与BE有什么关系，请说明理由. (2)如图②，取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G,连接CM,若CM=25,， 求FG的长. (3)如图①，在(1)的条件下，若图中四边形APED和△BFP的面积之和与正方形ABCD的面积之比为3：4 ，请你直接写出△ABP的周长的值是_ 【详解】(1)AF=BE,AF⊥BE,理由如下： :四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABF=∠BCE=90°， EC BF, △ABF≌△BCE(SAS), ∴AF=BE,∠BAF=∠CBE, ∠BAF+∠AFB=90°， ∠CBE+∠AFB=90°，即LBPF=90°， AP⊥BE; (2)过点G作GN⊥BC于点N,如图所示： G D M B NF 图② ∠GNF=∠GNB=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC,∠ABF=∠A=∠BCE=90°， :.四边形ABNG是矩形， :AB=GN BC, :FG⊥BE, .∠BMF=90°， ∴.∠FGN+∠MFB=LEBC+∠MFB=90°， 5/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠FGN=∠EBC, :∠GNF=∠BCE=90°， .AGNF≌△BCE(ASA), .FG=BE, :点M是BE的中点，CM=2V5, :FG=BE =2CM=43; (3)连接AE,如图所示： E B F 图① :四边形APED和△BFP的面积之和与正方形ABCD的面积之比为3：4，且SE方形4BcD=36, :S,BFP+S四边形APED=27, 由(1)可知S。ABr=SBCE, :S。ABP+S.BFP=SBFP+S四边形PFCE, S.ABP=SI边形PFCE, “S.BP+SI边形PFCE=SE方形HBCD-SBFP-S西边形HPED=9, 9 :S。HBP=S四边形PrCE=2' .BP·AP=9, :AB=6,∠APB=90°， AP2+BP2=AB2=36, (AP+BP)=AP2+BP2+2AP.BP=36+18=54, :AP+BP=3V6(负根舍去)， :C.8P=AB+BP+AP=36+6: 故答案为：3√6+6. 4.(23-24八年级下·安徽合肥期末)如图1，正方形ABCD中，P、F分别是BC、CD上的点，BF⊥AP ,垂足为M. 6/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M 图1 图2 图3 (1)求证：AP=BF; (2)如图2，将BF沿BA方向平移到EF,当点M为AP的中点时，连接BD与EF、AP分别交于点N、Q. ①猜想线段EM、MN、NF有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为4，且点P为BC的中点，则BQ=】 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :LABM+∠FBC=90°，∠ABP=∠C,AB=BC, BF⊥AP, ∠ABM+∠BAP=90°， ∠BAP=∠FBC, .△ABP≌△BCF, :AP=BF (2)①猜想：EM+NF=MN, 理由如下：由平移得，EF=BF=PA,连接AN、PN, D M为AP的中点，EF⊥AP, 图2 :AN =PN, 过N作NH⊥AB,NI⊥BC,N在正方形对角线上，则NH=NI,LAHN=∠PIN=90°， △ANH≌aPNI(HL, ∠ANH=∠PNI, .∠ANP=∠HNI=90°， :M为AP的中点， ÷MN=4P=EF 2 2 又：EM+NF=EF-MN=EF 7173 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EM NF MN ②如图，过点Q分别作AB,CD的垂线，垂足分别为S,T, D M E S力… B :BD是正方形ABCD的对角线， .BD平分∠ABC :OS =OT, 1 S.ABO AB.SO 2 AB =2 S.BPO 1 BP.OT BP 2 S.4B0A0=2 S.oPe PO :正方形的边长为4，且点P为BC的中点， 21 S0=2,sr3x,x2x48 32 3 1 1 又：S4m-×4B×4D=2X4x4=8, 2 8 SB胆-B2=3-， S.ABD BD 8 3 1 :8②=3BD=×4+4=3V2 5.(24-25八年级下·安徽合肥期末)如图1，在正方形ABCD中，E在边BC上，F在边CD上，连接 AE、BF,若BE=CF. B E 图1 图2 (1)求证：AE⊥BF; 8/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，连接BD,若将AE绕着点E旋转90°至EG,连接GF,连接AG交BD于点P. ①求证：点P是AG中点： ②求证：PB=PD+√2BE. 【详解】(1)解：如下图，设AE与BF交于点H, D H B E :四边形ABCD为正方形， AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和BCF中， AB=BC ∠ABC=∠BCF, BE=CF :.△ABE≌△BCF(SAS), ∠BAE=∠CBF,AE=BF, :∠BAE+∠BEA=180°-∠ABE=90°， ∴.∠CBF+∠BEA=90°， ∴AE⊥BF; (2)①如下图，连接AC交BD于点O,连接CP,CG, D D G :四边形ABCD为正方形，AC为该正方形的对角线， ∠4CD=2×90°=45°， 根据题意，将AE绕着点E旋转90°至EG, .∠AEG=90°，AE=GE, 由(1)可知，AE⊥BF,AE=BF, ∴∠AHF=90°=LAEG,BF=GE, BF∥EG, :.四边形BEGF为平行四边形， 9/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG=BE=FC,FG∥BE, ∠GFC=∠BCF=90°，即△GFC为等腰直角三角形， :∠FCG=∠FGC=)x90=450, ∠ACG=∠ACD+∠FCG=90°，即a△AGC为直角三角形， :四边形ABCD为正方形，AC和BD为该正方形的对角线， AC⊥BD,OA=OC,即BD垂直平分AC, .PA=PC, ∠PAC=∠PCA, 又：∠PAC+∠PGC=∠PCA+LPCG=90°， .∠PGC=∠PCG, .PC=PG, ∴PA=PC=PG, 点P是AG中点： ②如下图，过点C作CQ∥AG,交BD于点Q, 由(2)可知，△GFC为等腰直角三角形， :CG2=CF2+GF2=2CF2, ∴.CG=V2CF=√2BE, :AC⊥BD, ∴.∠A0D=∠ACG=90°， BD∥CQ, 又：CQ∥AG, .四边形PQCG为平行四边形， PO=CG=2BE, :四边形ABCD为正方形， BC=DA,BC∥DA, .∠CBQ=∠ADP, :CQ∥AG, 10/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠BQC=∠BPQ, 又：∠DPA=∠BPG, .∠DPA=∠BQC, 在△ADP和△CBQ中， I∠DPA=∠BOC ∠ADP=∠CBQ, AD=CB .△ADP≌aCBQ(AAS), .PD=OB, PB=BO+PO=PD+BE. 6.(24-25八年级下.安徽宣城期末)如图1，边长为24的正方形ABCD中，点P为边BC上一个动点，连 接AP,作MN⊥AP于点E,交边AB于M,交边CD于N. A D E M M P B P 图1 图2 (1)求证：MN=AP; (2)如图2，连接BD,线段MN交BD于点F,点E为AP的中点. ①当BP=7时，求EF的长； ②线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出线段EF的最小值，若不存在，请说明理由. 【详解】(1)明：过点B作BG∥MN,交AP于点H,交CD于点G, :MN⊥AP, .BG⊥AP. 由正方形ABCD得，AB=BC,AB∥CD即BM I GN, :.四边形BGNM是平行四边形， .BG MN. :∠BAP+∠ABH=90°，∠CBG+∠ABH=90°， ∠BAP=LCBG 在△BAP和△CBG中， 11/73 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAP=∠CBG AB=BC ∠ABP=∠BCG=90° △BAP≌ACBG(ASA), .AP=BG, ÷AP=MN. A D N M B P 图1 (2)①连接AF,PF,CF,AC, A E 图2 :MN⊥AP,又点E为AP的中点，AE=EP, .MN垂直平分AP, :AF =PF, :正方形ABCD关于BD对称， :AF=CF, ·AF=PF=CF, ∴.∠FPC=∠FCP,∠FCA=∠FAC, :四边形ABCD是正方形， ∠ACP=45°， ∠FPC=∠ACP+∠FCA=45°+LFCA, :AC,PF相交， .∠FAC+∠AFP=∠FPC+∠ACP, 12/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴LAFP=∠FPC+∠ACP-∠FAC=45°+∠FCA+45°-∠FAC=90° ·△AFP是等腰直角三角形， ∠EFA=45°， .∠EAF=∠EFA=45°， :EF=AE=IAP, 2 :AP=VAB2+BP2=V242+72=25, 25 :EF=14P=1x25= 1 2 2: ②由@知EF=。AP, 当点P和点B重合时，AP=AB=24,此时AP最小， EF陵小馆=号4P=12, 7.(24-25八年级下.安徽毫州期末)如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG,AE、FG相交于点0. D D G G O F B E B 图1 图2 (1)求证：AE=FG; (2)如图2，连接DO,当BE=DG时. ①求证：DO=AD; ②如图2，当D、0、B三点共线时，求OC的值。 AD2 【详解】(1)证明：如图1，过点F作FH⊥CD于H, D G F H B 图1 则四边形BCHF是矩形， :正方形ABCD, ∴.∠B=∠FHG=90°，FH=BC=AB, 13/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE⊥FG, ∠FAE+∠AFO=90°=LAFO+∠GFH,即LFAE=∠GFH, :∠B=∠FHG=90°，AB=FH,∠BAE=∠HFG, △ABE≌△FHG ASA), :AE=FG; (2)①证明：如图2，延长FG与AD的延长线相交于点P, D G O B E 图2 :正方形ABCD,AE⊥FG, .AB=AD,∠P+∠PAO=90°=∠PAO+∠BAE,即∠P=∠BAE, :LBAE=LP,LABE=∠PDG=90°，BE=DG, ∴△ABE≌APDG(AAS), .DP=AB AD, ∴OD是Rt△AOP斜边AP上的中线， :OD=AD ②解：如图3，连接AG,过O作MN⊥AB于M,则MN⊥CD于N,作OK⊥BC于K,则四边形BKOM 是矩形，四边形CNOK是矩形， D A 22P ○ B KE 图3 :D、O、B三点共线， .∠DBC=∠DBA=45°， .∠M0B=∠K0B=45°， .OM =BM,OK =BK 四边形BKOM是正方形， .AB-BM BC -BK AM =CK =ON :∠MA0+∠A0M=∠A0M+∠N0G=90°， 14/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠MA0=∠NOG, :∠MA0=∠N0G,AM=0N,∠AM0=L0NG=90°， △AMO≌aONG(ASA), A0=0G, :∠A0G=90°， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴AG=√20G=√2A0, 由(2)①可知，AD=DP,∠GDA=∠GDP=90°，DG=DG, aADG≌APDG(SAS), .AG=PG, 设0G=x,则PG=AG=V2x, :Op=(1+2)x, 由勾股定理得： Ap=0A2+0p-2+[+)x=(4+2]x2-(2AD, 0G2 -=2-√2 .AD 2 8.(24-25八年级下.安徽准南月考)在正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的一点，AE⊥BF 于点M. 0 AG D AG B E B B K 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AE=BF; (2)如图2，平移AE至GK,GK⊥BF,垂足为点I. (i)求证：BK=AG+CF; ()如图3，若点I是BF的中点，AC与GK交于点N,己知CF=2,BC=6,求NI的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∠ABE=∠C=90°，AB=BC, 15/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABM+∠CBF=90°， :AE⊥BF, ∠ABM+LBAE=90°， ∠BAE=LCBF, 在△ABE和BCF中， ∠BAE=∠CBF AB=BC, ∠ABE=∠C .△ABE≌△BCF(ASA, :AE BF. (2)解：(i)证明：如图1，过点A作AH⊥BF交BC于点H, AG B H K C 图1 :GK⊥BF, AH∥GK, 又：四边形ABCD是正方形， AG∥BC, :四边形AGKH是平行四边形， .AG=KH, 由(1)可知△ABH≌△BCF, BH =CF, .BK KH BH AG CF ()解：由(1)和()可知GK=BF=VBC2+CF2=V62+22=2V10, 如图2，连接BN,FN,过点N作PQ⊥AB于点P,交CD于点Q, AG D B K 图2 16/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·AP=D2,PQ=AD=AB=CD,PQ⊥CD, .LAPN=LBPN=LNQF=90°， :四边形ABCD是正方形， .∠BAC=45°， ∴△APN是等腰直角三角形， .PN=AP=DO, .BP=NO, :点I是BF的中点，GK⊥BF, ∴GK垂直平分BF, :BN FN,BM FM=BF, 2 在Rt△BPN和Rt△NQF中， BN=FN BP=NO :RtaBPN≌RtaNOF(HL), ∴LPBN=LQNF, :∠PBN+∠BNP=90°， :.∠QNF+∠BNP=90°， .∠BNF=90°， △BNF是等腰直角三角形， .∠NFI=45°， GK⊥BF, ∴.△INF是等腰直角三角形， NI=FI-1BF=1x2110=10 2 9.(22-23八年级下.安徽合肥期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中， 图1 图2 图3 (1)如图1，DF⊥CE,垂足为点O,求证：BE=CF; (2)如图2，FG垂直平分CE,且BE=BF,求DG的长； (3)如图3，FG⊥CE,点F、R和S分别为BC、FG和CE的中点，AG=7DG,求RS的长. 17/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·.BC=CD,LEBC=LFCD=90°， ∴.∠BCE+∠0CD=90°， ,DF⊥CE, .∠CDF+L0CD=90°， .∠BCE=∠CDF, ∠BCE=∠CDF 在△CBE和ADCF中， BC=CD ∠EBC=∠FCD=90° .△CBE≌ADCF(ASA), BE=CF· (2)解：连接EG, GD :四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=4,∠EBC=∠FCD=∠A=∠D=90°， :FG垂直平分CE,且BE=BF, ∴GE=GC,FE=FC,AE=CF, 设BE=BF=x, AE=CF=EF =4-x,EF=BE2+BF2=2x, 4-x=√2x, 解得：x=4√2-4， AE=CF=EF=4-x=8-4v2, 设DG=y,则AG=4-y, .AE2+AG2=DG2+CD2, .(8-4V2)2+(4-y)2=y2+42 解得：y=12-8V2,即DG=12-8√2. (3)解：如图，过点G作GN⊥BC于点N,连接CR,并延长交AD于点M,连接EM, 18/73 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M G D R 10 B :四边形ABCD是正方形， BC=CD,∠GNC=∠NCD=LCDA=90°， .四边形DGNC是矩形， .DG=NC,GN=DC=CB=4, :GF⊥CE, .∠GFN+∠FGN=90°，∠GFN+∠ECB=90°， ∠FGN=∠ECB, ∠FGN=∠ECB 在△ECB和△FGN中， BC=GN ∠EBC=∠GNF=90° ·.△ECB≌△FGN(ASA), .BE FN AG=7DG, 1 2AG= 1 DG=AD 8 2 CN=2' 1 :F是BC的中点， .BF FC:2.BE=FN=2-7E=4-=4 22 :四边形ABCD是正方形， BC∥AD, .∠GMR=∠FCR,∠MGR=∠CFR, :R是FG的中点， .FR=GR, :.△GMR≌AFCR(AAS), .MG=CF=2,MR=CR, ÷4M=4-MG-DG=4-2-1=3 22 19/73 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EM=√AE2+AM2= V34 2 :S是CE的中点， SR是△CME的中位线， ·RS=)EM=34 10.(24-25八年级下，安徽六安期末)如图1，在正方形ABCD中，AE1FG,垂足为O. D D B E B E E 图1 图2 图3 (1)求证：AE=FG; (2)如图2，平移线段FG,使DG=BE,连接0D. ①求证：OD=AD; ②如图3，连接0B,当D、0、B三点共线时，则4D G2、. 【详解】(1)证明：如图1，过点F作FH⊥CD于点H,则四边形BCHF是矩形， D G H B 图1 :正方形ABCD, ∴.∠B=∠FHG=90°，FH=BC=AB, :AE⊥FG, ∴∠FAE+∠AFO=90°=∠AFO+∠GFH,即LFAE=∠GFH, :∠B=∠FHG=90°，AB=FH,∠FAE=LGFH, △ABE≌△FHG(ASA), :AE=FG. (2)①证明：如图2，延长FG交AD于点P, 20/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P B 图2 :正方形ABCD,AE⊥FG, AB=AD,∠P+∠PAO=90°=∠PAO+∠BAE,即∠P=∠BAE, :∠P=∠BAE,∠ABE=∠PDG=90°，BE=DG, △ABE≌△PDG(ASA, ÷DP=AB=AD,即D是AP的中点， ·OD是Rt△AOP斜边AP上的中线， :OD=AP=AD,即0D=AD: ②解：如图3，连接AG,过O作MN⊥AB于M,则MN⊥CD于N,作OK⊥BC于K,则四边形BKOM是 矩形，四边形CNOK是矩形， P G B KE 图3 D、O、B三点共线， .∠DBC=∠DBA=45°， .∠M0B=∠K0B=45°， .OM BM OK =BK, :四边形BKOM是正方形， .AB -BM BC-BK AM CK =ON :∠MA0+∠A0M=∠A0M+∠N0G=90°， .∠MA0=∠N0G, :∠MA0=∠N0G,AM=ON,∠AM0=∠0NG=90°， .△AM0≌AONG(ASA), .A0=0G, :∠A0G=90°， .△AOG是等腰直角三角形， 21/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “AG=√20G=√2A0, 由(2)①可知，AD=DP,∠GDA=LGDP=90°，DG=DG, △ADG≌aPDG(SAS), .AG=PG, 设0G=x,则PG=AG=√2x, 0p=1+V)x, 由勾股定理得：AP2=0+0p2=2+[1+2)x]=(4+22)x2=2AD, AD2 2 =1+ 0G2 x2 2 题型二：手拉手模型 11.(24-25八年级下.安徽六安·月考)如图，在正方形ABCD中，连接AC,点E在AC上，连接BE,过 点E作BE的垂线交CD于点F,交BC的延长线于点G.若AC=3√2，点F是EG的中点，则EG的长度为 () D E G A.25 B.5 C.4 D.5V5 2 【答案】A 【详解】解：如图，过E作HM∥AD交AB于M,交CD于H, D M H B G :正方形ABCD,AC=3√2， ZBAD =ZADC=ZBCD ZABC=90,ZBAC 45=ZACD,AB=BC,AC2=AB2+BC2=2AB2, AB-8c- AC=3, 2 22/73 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :HM∥AD, MH⊥AB,MH⊥CD, ,:四边形AMHD,四边形BMHC是矩形，△AME,△CHE是等腰直角三角形； ∴BM=CH,EH=CH,AM=ME,∠BME=90°=∠EHF, .BM EH :BE⊥CE,即∠BEG=90°， ∴.LBEM=90°-LFEH=LEFH, ·△BEM≌△EFH, ∴.ME=FH,BE=EF, :F为EG的中点， ∴EF=FG, :∠EHF=∠FCG=90°，∠EFH=∠GFC, aEHF≌aGCF, .HF FC=EM AM, .AB=3AM =3, .AM=ME=1,BM =CH EH =2, ∴BE=2+22=√5=EF=FG, EG=25, 故选：A 12.(24-25八年级下.安徽芜湖期末)如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE,过点E作 EF⊥AE,交BC于点F,已知DE=√2，AE=VO,则BF的长为· D E 【答案】2 【详解】解：过E作MN⊥AD于M,交BC于N, E M- B ∠DMN=∠AMN=90°， 23/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形ABCD是正方形， ∴∠MAB=∠ABN=90°，∠MDE=∠EBN=45°， .四边形MNBA是矩形， .AM=BN,∠BNE=90°， ∴△BNE是等腰直角三角形， .EN =BN :AM =EN, :EF⊥AE, ∠AEF=90° ∴.∠MAE+∠MEA=∠FEN+∠MEA=90°， .∠MAE=LFEN, :∠AME=∠ENF=90°，AM=EN, ∴.△ENF≌AAME(ASA), .FN ME,AE=EF=10, ∠MDE=45°，∠DME=90°， ∴△DME是等腰直角三角形，且DE=√2， ME-DE-x √2=1， 2 .FN=1, :∠AME=90°，AE=V10,ME=1, AM =AE2-ME2 =3, .BN AM =3, BF=BN-FN=3-1=2. 故答案为：2 13.(24-25八年级下.安微池州期中)如图，在正方形ABCD中，0为对角线AC,BD的交点，E,F分 别为边BC,CD上一点，且OE⊥OF,连接EF. D (1)若0F=√5，则EF的长为 (2)若AB=2,则EF的最小值为 【答案】(1)6 24/73 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)2 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， 0B=0C,∠0BC=∠0CD=45°，∠B0C=90°， :OE⊥OF, .∠E0F=∠B0C=90°， .∠BOE+∠EOC=∠COF+∠EOC, .∠B0E=∠C0F, .△OBE≌△OCF(ASA), 0E=0F, ∴：△OEF是等腰直角三角形， 根据勾股定理，EF=VOE2+OF2 =5+3=6, 故答案为：√6： (2)解：由(1)得△OEF是等腰直角三角形，若要EF最小，则OE最小即可， :当OE⊥BC时，OE最小， “.EF=VOE2+OF2=VP+1P=√2， 故答案为：√2 14.(24-25八年级下.安徽准南·期末)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一动点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)若DG=√3，则矩形DEFG的面积为 (2)当线段DE与正方形ABCD的一边的夹角是35°时，则∠EFC的度数为 【答案】 335°或125° 【详解】如图，作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q, 25/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E G:四边形ABCD为正方形， B 9 图1 :∠DCA=LBCA=45°， ·EQ=EP, 矩形DEFG, ·∠PED+∠PEF=90°， '∠QEF+∠PEF=90°， ∴∠QEF=∠PED, 在RtAEOF和Rt△EPD中， ∠QEF=∠PED EO=EP ∠EQF=∠EPD .Rt△EOF≌Rt△EPD(ASA), ∴EF=ED, :矩形DEFG是正方形： DG=3 :正方形DEFG的面积为：S=DG2=(N5)2=3, 故答案为：3； (2)①当DE与AD的夹角为35°时， 如图2， O F C 图2 :∠ADE=35°，∠ADC=90°， .∠EDC=55°， ∴.∠EFC=360°-90°-90°-55°=125°， 26/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当DE与DC的夹角为35°时，如图3，即DC,EF交于H, D E :∠DEH=∠DCF=90°，∠DHE=∠FHC, B 图3 LEDC=LEFC=35°， 综上所述：∠EFC=35°或125°. 故答案为：35°或125° 15.(24-25八年级下.安徽安庆期末)如图，正方形ABCD中，AB=4,点E是对角线AC上的一点，连 接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG. D (1)AG+AE的值为 (2)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M,则ME的长为 【答案】 4W2 5W2 3 【详解】解：(1)如图，作EP⊥AD于P,EN⊥AB于N, D 四边形ABCD是正方形， .∠EAD=∠EAB, :EP⊥AD于P,EN⊥AB于N, :EP=EN, ∠EPA=∠ENA=∠DAB=90°， :四边形ANEP是矩形， EF⊥DE, :∠PEN=∠DEF=90°， 27/73 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ZPEN -ZPEF ZDEF ZPEF, :Z DEP=ZFEN 在△EPD和△ENF中， ∠DEP=∠FEN EP=EN, ∠EPD=∠ENF ∴.△EPD≌△ENF(ASA, :ED=EF, 四边形DEFG是矩形， :四边形DEFG是正方形， :DG DE, .DC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90°， ∠ADG=∠CDE, 在△ADG和△CDE中， DG=DE ∠ADG=∠CDE, DA=DC △ADG≌ACDE(SAS), :AG =CE, 由勾股定理得，AC=√AD2+CD2=√2AD, AE+AG=AE+EC=AC=AD=4: (2)如图，作EH⊥DF于H,作FK⊥AC于K, 刀 :四边形ABCD是正方形， B AB=AD=4,AB∥CD, F是AB中点， :AF FB=2, DF=V22+42=25, :√DE2+EF2=√2DE=DF, .DE=V10, 28/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设FN=m, :∠BAC=45°，∠ANE=90°， ∴.△AEN是等腰直角三角形， .AN EN 2+m, :EF2=FN2+EN2, 10=m2+(2+m)2，即m2+2m-3=0, 解得：m=1或m=-3（舍去)， .AN EN =3, AE=AN2+EN2=32, :△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD, :DH =HF, :.EH=HF=DF=5, 2 :∠BAC=45°，∠AKF=90°， :△AFK是等腰直角三角形， AK FK, √AK2+FK2=V2FK=AF=2, AK =FK=2, KE=AE-AK=22, 设HM=x,EM=y,则MF=√5-x,KM=2V2-y, HE2+HM2=EM2,MF2-KM2=KF2, x2+5=y2,5-x-(22-y=2, .2√2y-V5x=5, .2V10 x-5 +5=y2,即3y2-20√2y+50=0, 解得：y-55或y=55>KE(舍去)， 3 ·ME=52 3 故答案为：4W2,5y2 3 29/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(24-25八年级下.安徽阜阳期末)如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段 AG为边作正方形AEFG,连接BE,与边AD交于点P,连接DG,与BE交于点H. (1)求证：BE=DG; (2)判断BE与DG的位置关系，并说明理由： 3)若AB=2√2，AG=2,求DG的长 【详解】(1)证明：：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， .AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°， ·LBAD+LEAD=LEAG+LEAD,即∠BAE=∠DAG. AB=AD 在△BEA和△DGA中， ∠BAE=∠DAG. AE=AG, △BEA≌△DGA(SAS), :BE=DG. (2)解：BE⊥DG. 理由：由(1)知∠BAD=90°，△BEA≌△DGA, ∠ABE=∠ADG. :∠ABE+∠BAD+∠BPA=180°，∠ADG+∠DHP+∠DPH=180°，∠BPA=∠DPH, .∠DHP=∠BAD=90°， BE⊥DG. (3)解：如图，过点G作GM⊥DA,交DA的延长线于点M. :四边形ABCD是正方形， .∠DAC=45°， ∠GAM=∠DAC=45°. :GM⊥DA, ∠AMG=90° ∠AGM=180°-∠AMG-∠GAM=180°-90°-45°=45°， :AM =GM, :△AGM是等腰直角三角形 在Rt△AGM中，由勾股定理得AG2=AM2+GM2=22, 30/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得AM=GM=√2（负值已舍去）· :四边形ABCD是正方形，AB=2V2, .AD=AB=22, .DM=AD+AM=2√2+√2=3V2. 在Rt△DGM中，由勾股定理得DG=VDM2+GM2=V(3√2)2+(N2)2=2√5· D A B 中M 17.(22-23八年级下.安微淮北期中)如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点 (O<BM<BD),连接AM,过点M作MN⊥AM交CD于点N. 21 B B 图1 图2 (1)求证：AM=MW. (2)如图2，以MA,MN为邻边作矩形AMNP,连接PD. ①求证：BM=PD; ②若正方形ABCD的边长为6√2，PD=4,求AM的长。 【详解】(1)证明：如图1，过点M分别作ME⊥CD于点E,MF⊥AD于点F, 则∠AFM=∠MEN=90°， B 图1 四边形ABCD是正方形， LADC=90°，DB平分∠ADC, :ME=MF,四边形FMED是矩形， .∠EMF=90°， 31/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AM⊥MN, LAMN=90°， :∠AMF=90°-∠FMN=∠NME, △AMF≌△NME ASA), :AM =MN (2)①证明：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， :四边形AMNP是矩形，且AM=MN, ·四边形AMNP是正方形， AM=AP,∠MAP=90°， ·∠BAD=∠MAP, ∠BAM=90°-∠MAD=∠DAP, △ABM≌△ADP(SAS, :BM =PD ②如图2，连接MP, 正方形ABCD的边长为6N2, M B 图2 :BD =24B=12, :BM PD=4, .DM=BD-BM=12-4=8, :△ABM≌△ADP, ∠ADP=∠ABM=45°， ∠PDM=∠ADP+∠ADM=90°， 在RtaPMD中，PM=√PD2+DM2=√42+82=4V5, :∠MAP=90AM=AP, AM=5PM=20. 2 18.(22-23八年级下·安徽铜陵期末)如图，点E为正方形ABCD内一动点，∠AEB=90°.过点B作 BG⊥BE,且BG=BE,连接CG,DE. 32/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G B (1)求证：∠EAB=∠GCB (2)延长AE交CG于点F,求证：EF=BE; (3)在(2)的条件下，若点E在运动过程中，存在四边形CFBE为平行四边形，试探究此时DE、CD满足的 数量关系。 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°， LABE+LCBE=90°，∠CBE+LCBG=90°， LABE=∠CBG, 又：BG=BE, .△ABE≌aCBG(SAS), .ZEAB=ZGCB (2)证明：如图1，延长AE交CG于点F, E :∠AEB=90°， 图1 .∠BEF=90° :△EAB≌△GCB, ∠AEB=∠CGB=90°， :BG⊥BE, ∠EBG=90°BE=BG, :四边形EBGF是矩形， 又：BE=BG, :矩形EBGF是正方形， :EF =BE (3)解：DE=CD,理由如下： 如图2，过点D作DK⊥AF交AF于K, 33/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图2 .∠DKA=∠DKE=90°， :∠AEB=90°， ∠EAB+∠ABE=90°， :∠DAB=90°， ∠DAE+LEAB=90°， ∴.∠DAE=∠ABE, 又：∠DKA=∠AEB,AD=AB, △KDA≌△EAB(AAS), △KDA≌aGCB, .DK=CG,AK=BG, :四边形EBGF是正方形，四边形CFBE为平行四边形， :AK =BE=BG=FG =EF CF, 又：AE=CG, :EK =BE, △KDE≌△EAB(SAS), :DE AB, :DE CD. 19.(23-24八年级下·安徽阜阳期末)如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上不与端点重合的一动点， 连接DE.过点E作EF⊥ED,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 图1 备用图 (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)试用等式表示线段CE,CG,AD的数量关系，并说明理由； (3)若正方形ABCD的面积为9，且CE=2AE,求正方形DEFG的面积. 【详解】(1)证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， 34/73 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 四边形ABCD为正方形， B M F C :∠BCD=90°， :EM⊥BC,EN⊥CD, .LEMF=∠ENC=LEND=90°， ∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°， :四边形DEFG为矩形， ∠FED=90°， :∠MEN-∠FEN=∠FED-∠FEN, 即∠MEF=∠NED, 又点E是正方形ABCD对角线上的一点，CA平分∠BCD, :EN EM, 在△FEM和△DEN中， I∠EMF=∠END EM=EN ∠MEF=∠NED △FEM≌△DEN(ASA), .ED=EF, ·矩形DEFG为正方形. (2)解：CE+CG=V2AD,理由如下： :矩形DEFG为正方形， .DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°. :四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°， ∠ADE=LCDG, 在△ADE和aCDG中， AD=CD ∠ADE=∠CDG, DE=DG ∴△ADE≌aCDG(SAS), :AE=CG. 在RIAABC中，AC=AE+CE=AC=√2AD 35/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CE+CG=2AD. (3)解：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， B M F C H :正方形ABCD的面积为9， :AD=3,AC=32 CE=2AE co=4E=号4C=5.cE=25 EM EN- EC=2, 2 .CN=EM=2,DN=DC-CN=3-2=1 在Rt△DEN中，DE2=DN2+EN2=12+22=5 .正方形DEFG的面积为DE2=5. 20.(24-25八年级下.安徽准北月考)如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合， 点A,C分别在y轴和x轴上，顶点D(a,b)的坐标a,b满足√a-4+(b-4)2=0. y B (O) (1)求证：四边形ABCD为正方形； (2)若点E为线段BC边上的动点，连接AE,过E点作EF⊥AE,且AE=EF,连接CF,∠DCF的大小是否 为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接AF,当AF=8时，直接写出BE的长 【详解】(1)证明： √a-4≥0，(b-4)220,Va-4+(b-4)2=0 .a-4=0,b-4=0, .a=4,b=4, ·点D(4,4), :BC=CD=4, 又：四边形ABCD是矩形， 36/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形 (2)解：是定值，∠DCF恒为45°，理由如下： 如图，在AB上截取AK等于EC,连接EK, D B (O) :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， AK =EC, :BK BE :∠ABC=90° ∠BKE=∠BEK=45°， LAKE=135°， :EF⊥AE, :LAEB+LFEC=90°， 又∠AEB+∠BAE=90°， :∠BAE=LFEC, 又AE=EF, ∴.△AKE≌△ECF(SAS), :∠ECF=∠AKE=135°， 又在正方形ABCD中∠ECD=90°， ∠DCF=∠ECF-LECD=135°-90°=45°. (3)解：如图， (O) :EF⊥AE,且AE=EF, 由勾股定理得：EF2+AE2=AF2, 37/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE2+AE2=64, .AE2=32, :AB=4, 由勾股定理得：BE=√AE2-AB2=4· 21.(24-25八年级下.安徽六安月考)如图，己知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连 接DE,过点E作EF⊥DE,交BC延长线于点F,过点D作DG∥EF,过点F作FG∥DE,DG与FG交 于点G,连接CG. D B C (1)求证：四边形DEFG是正方形： (2)求证：CG平分∠DCF; (3)若AB=4,AE=3CE,求四边形DEFG的面积 【详解】(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, D G E B :四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， .NE=NC, .四边形EMCN为正方形， ∴EM=EN,∠MEN=90°， :DG∥EF,FG∥DE, :.四边形DEFG是平行四边形， EF⊥DE, .四边形DEFG是矩形， ∠DEF=90°， ∴.∠DEN+∠NEF=∠FEM+LNEF=90°， ∠DEN=∠FEM, 38/73 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DNE=∠FME=90° 在△DEN和△FEM中， EN=EM ∠DEN=∠FEM △DEN≌△FEM(ASA), .ED =EF, :矩形DEFG为正方形 (2)证明：矩形DEFG为正方形， .DE=DG,∠EDC+LCDG=LEDG=90°， :四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∠DAE=45°， ∠ADE=∠CDG, AD-CD 在ADE和aCDG中 ∠ADE=∠CDG, DE=DG △ADE=△CDG(SAS), ∴.∠DCG=LDAE=45°， :∠DCF=90°， CG平分∠DCF; (3)解：如图，连接EG, G :四边形ABCD是正方形，AB=4, AC=V42+42=4V2, AE =3CE, 4c-4c-35,ce-i 由(2)得AADE≌△CDG, ·CG=AE=3V2, :∠DCG=45°，∠ACD=45°， ∠ACG=90°， EG=32+2°=25. 39/73 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG,∠EDG=90°， ∴DE2+DG2=EG2=20, .DE2=10, .四边形DEFG的面积为10. 22.(23-24八年级下.安徽芜湖月考)如图1，在正方形ABCD中，AB=2,E是对角线AC上一动点（不 与点A、C重合)，连接DE,作EF⊥DE交边BC或边BC的延长线于点F,以ED和EF为邻边构造矩形 EFGD,连接CG. D A D E E G B F B 图1 图2 (1)线段AE,CG的数量关系是 ；位置关系是 (2)如图2，当CF=CG时，求BF的长. (3)设AE=x,BF=y,求y与x之间的函数解析式. 【答案】(1)AE=CG,AE⊥CG (2)BF=4-2√2 3)y=2x 【详解】(1)证明：如图，作EQ⊥BC于点Q,EP⊥CD于点P, A E ∴.∠EQF=∠EPD=90°， G B Q F C :正方形ABCD中， ∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD,AC平分∠BCD, :四边形EQCP为正方形， .∠QEP=90°，QE=PE, :矩形EFGD中，LFED=90°， .∠QEP=∠FED, 40/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠QEP-∠FEP=∠FED-∠FEP, 即∠QEF=∠PED, :.△EQF和△EPD中 ∠QEF=∠PED OE=PE ∠EQF=∠EPD △EQF≌△EPD(ASA), :EF ED, :矩形EFGD是正方形， .DE=DG,∠EDG=90°， .∠ADC=∠EDG, ZADC-ZEDC=ZEDG-ZEDC, 即∠ADE=∠CDG, :△DAE和△DCG中， AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG ADAE≌△DCG(SAS, :∠DAE=∠DCG,AE=CG :等腰直角△ACD中有∠DAE+∠DCA=90°， ∠DCG+∠DCA=90°， 即∠ACG=90°，AE⊥CG: (2)如图，过点E作NQ⊥AD,交AD于点N,交BC于点Q,过点E作MP⊥CD,交CD于点P,交 AB于点M. AN D :四边形ABCD是正方形， G B O F AB=BC=CD=AD,LBAD=LB=LBCD=LADC=90°， :四边形ABQN,NQCD,NEPD,EQCP是矩形， .NO=AB=AD,NE PD. :对角线CA平分∠BCD, ∠ACB=45°，∠MAE=45°， 41/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△AME, CEQ是等腰直角三角形， :四边形AMEN,EQCP为正方形， ∴.EQ=CQ=ND ,EF⊥DE, .∠DEN+∠QEF=90°， :∠QEF+∠EFQ=90°， ∴.∠DEN=∠EFQ :∠DNE=∠EQF=90°，ND=EQ .△DNE≌△EQF, :PD=NE=OF,DE =EF :四边形EFGD是正方形， 由(1)可得AE=CG. 设QF=PD=a,则BQ=ME=a, .AE CF=CG=2a. BO+OF+CF=2, 即a+a+V2a=2, 解得a=2-√2， .BF=2a=4-2V2; 3)如(2)图， AE=x, .ME=NE= AE2 -x 2 2 又：BQ=ME=2 x OF-DP-NE- 2 Br= -x+ 2 2 即y=√2x. 23.(24-25八年级下安徽蚌埠期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,P是OB上 的一个动点，连接CP,作PE⊥CP,交AB的延长线于点E,以PC和PE为邻边作口PEFC,对角线CE, PF相交于点G B 42/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)连接0G,若0G=m,则AE=一（用含m的代数式表示）； (2)证明：AP=PE: (3)若点P为OB的中点， BE的值， AB 【详解】(1)解：如图， G B E :四边形ABCD是正方形， ∴0C=0A,即O为AC中点， :四边形PEFC是矩形， ∴.CG=EG,即G为CE中点， ∴OG是△ACE中位线， :0G=14E=m, 2 :AE 2m, 故答案为：2m; (2)如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, D M B E ∠PNB=∠PME-LPNC=90°， :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，BD平分∠ABC,BD垂直平分AC, ∴.∠PNB=∠PME=∠ABC=90°，PC=PA, 四边形PMBN是矩形， :BD平分∠ABC,PM⊥AB,PN⊥BC, .PM PN, :四边形PMBN是正方形， ∴∠MPN=90°， ∠MPE+∠EPN=90°， 43/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PE⊥CP, ∠CPN+∠EPN=90°， ∠CPN=∠MPE, 在△CPN和aEPM中， [∠CPN=∠MPE PN=PM ∠CNP=∠EMP △CPN≌△EPM(ASA), :PC=PE, :PC=PA, :AP=PE; (3)如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, G M B 由(2)得，四边形PMBN是正方形， MB=BN=PM,∠PBM=∠MPB=45°， 设MB=BN=PM=x,则PB=√2x, :点P为OB的中点， ∴PB=PO=√2x, ·0B=OA=2V2x, ÷AB=V0A+0B=V22x°+22x=4x, :AM AB-MB =3x, :AP=PE,PM⊥AB, :ME =AM =3x, .BE ME MB =2x, BE2x1 AB 4x 2 24.(24-25八年级下.安徽合肥期末)四边形ABCD为正方形，AB=3,E为对角线AC上一点（不与点A、 C重合)，连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, 44/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A O C 备用图 (1)填空：AC的长为 ,∠ACB=- 度； (2)如图，当点F在线段BC的延长线上时： ①求证：矩形DEFG是正方形： ②若CG=22,求正方形DEFG的边长： (3)取CD的中点O,连接0G,当0G最小时，线段AE的值为 (请直接写出答案)· 【详解】(1)解；：四边形ABCD为正方形， AB=BC=3,∠ABC=90°，∠ACB=45°， AC=AB2+BC2=32; (2)解：①如图，作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N, D M :四边形ABCD是正方形 .∠BCD=90°，∠ACB=∠ACD=45°， .四边形EMCN是矩形，EM=EN, ∴.∠MEN=90°， :EF⊥DE,即∠DEF=90°， 、∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN, :∠DNE=∠FME=90°， △DEN≌△FEM(ASA), :EF =DE, :四边形DEFG是矩形， :矩形DEFG是正方形： ②：正方形DEFG和正方形ABCD, :DE=DG,AD =DC, :∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， 45/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠CDG=∠ADE, 在ADE和△CDG中， AD=CD ∠ADE=∠CDG, DE=DG △ADE≌△CDG(SAS, AE=CG,LDAE=∠DCG=45°， :∠ACD=45°， :∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°， CE⊥CG, CE+CG=CE+AE=AC=2AB=32. CG=22, ·CE=√2， 连接EG, D A G EG=CE2+CG2=10 E B DE-EG-5 2 :正方形DEFG的边长为√5； (3)解：如图所示，过点O作0T⊥CG于T, A B C 由(2)可得∠DCG=45°， 点G在直线CG上， 由垂线段最短可得当0G⊥CG时，OG有最小值，此时点G与点T重合， :0T1CT,∠0CT=45°， :△OCT是等腰直角三角形， :OT=CT, 46/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0C=V0T2+CT2=√2CT, :O为CD的中点， OC=-CD- 2 ÷cT-2oc.32 2 4 由(2)可得4B=CG=CT=32 25.(24-25八年级下·安徽阜阳·期末)如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段 AG为边作正方形AEFG,连接BE,与边AD交于点P,连接DG,与BE交于点H, E H B C (1)求证：BE=DG; (2)判断BE与DG的位置关系，并说明理由； (3)若AB=2√2，AG=2,求DG的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°， :∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD,即∠BAE=∠DAG, AB=AD 在△BEA和△DGA中， ∠BAE=∠DAG, AE=AG :△BEA≌△DGA(SAS), :BE =DG: (2)解：BE上DG 理由：由(1)知∠BAD=90°，△BEA≌△DGA, ∠ABE=∠ADG. :∠DAB=90° ∠ABE+∠BPA=90°， :∠BPA=∠DPH ∠ADG+∠DPH=90°，， .∠DHP=90°， 47/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE⊥DG; (3)解：如图，过点G作GM⊥DA,交DA的延长线于点M· D E H B .d G M :四边形ABCD是正方形， ∠DAC=45°， ∠GAM=∠DAC=45°， :GM⊥DA, :∠AMG=90°， :∠AGM=180°-∠AMG-∠GAM=180°-90°-45°=45°， :AM =GM, ∴△AGM是等腰直角三角形， 在Rt△AGM中，由勾股定理得AG2=AM2+GM2=2, 解得AM=GM=√2（负值已舍去）· :四边形ABCD是正方形，AB=2√2， .AD=AB=2√2， DM=AD+AM=22+√2=3√2 在Rt△DGM中，由勾股定理得DG=DM2+GM2=V3'+(2)=25. 26.(24-25八年级下，安徽安庆，期末)己知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点 D 图1 图2 图3 (1)如图1，若P在对角线BD上，连接PC,过点P作PQ⊥CP交AB于点Q.求证：PQ=PC; (2)如图2，在（1)的条件下，若PD=2√2，AB=6,求BQ的长： (3)如图3，若P在BD的延长线上，连接AP,过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E,连接DE,若CE=8 48/73 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,△DPE的面积是20，求PE的长， 【详解】(1)证明：如图1，连接PA, A D B 图1 :四边形ABCD是正方形， AB=CB=AD=CD,LBAD=LBCD=LCBQ=90°， .∠ABP=LADB=45,LCBP=LCDB=45°， .∠ABP=LCBP=45°， BP=BP, △ABP≌△CBP, .PA=PC,ZPAO=ZPCB, :PQ⊥CP, ∠CP0=∠CB0=90°， ∴∠PCB+∠PQB=180°， :∠PQA+∠PQB=180°， .ZPOA=ZPCB, .∠PAQ=∠POA, :PA=PO, .PO=PC. (2)解：过点P作PE⊥AB,PH⊥DC,PF⊥BC, A D D E H B :正方形ABCD中，BD是对角线， BDC=45°=∠ABD=∠CBD,PE=PF, PH⊥DC, ∠BDC=∠HPD=45°， .DH=PH, ∴△PHD是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：PH2+DH2=PD2, 49/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即2PH=(22, 解得：PH=2, .DH=PH=2, :LFPH=∠PFC=∠PHC=90°， .四边形PFCH是矩形， :FC=PH=2, 同理可证：四边形ADHE是矩形， .AE DH=2, :PQ⊥CP,PF⊥BC, ∴.∠EPQ+∠QPF=90°，∠QPF+∠CPF=90°， .EPQ=∠CPF, :PE=PF,∠QEP=∠PFC, .EPQ≌FPC, .OE=FC=2, .BQ=AB-AE-EQ=6-2-2=2 (3)过点P作PH⊥AB,PF⊥BC,如图， D E :正方形ABCD中，BD是对角线，点P在∠ABC的平分线BD上，PH⊥AB,PF⊥BC, .PH=PF, :∠HPF=90°，∠APE=90°， ∠HPA+∠APF=90°，∠APF+∠FPE=90°， ∠HPA=∠FPE, 在△HPA和△FPE中 [∠PHA=∠PFE PH=PF ∠HPA=∠FPE .HPA≌FPE, :HA=FE, 50/73 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BHPF和ABCD均为正方形， :BH=BF,AB=BC, :AH =CF, ∴.CF=EF=二CE=4, 2 设小正方形的边长为a,则大正方形的边长为(a+4), :SPDE=S保形DCFP+SPFE-SDCE, :(a+a+4到x4×+4a+4×2 11 ×a×8=20, 2 解得：a=2, PF=6, PE=PF2+EF2=52=213. 27.(24-25八年级下.安徽阜阳·月考)如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形. D D G E B C G 图1 图2 (1)如图1，点B,E,F在一条直线上，点D在边FG上，在GF的延长线上取一点P,且DP=DG,连接 AP,PE. (i)求证：△BCE兰aDCG; (ii)求证：PE=√2PA; (2)如图2，点G在BC的延长线上，点E在CD边上，M是AF的中点，若正方形ABCD和正方形CEFG的 边长分别为6和4，求DM的长， 【详解】(1)(i):四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠BCD=90°， LBCE+∠DCE=90°， :四边形CEFG是正方形， ∴.CE=CG,∠ECG=90°， ∠DCG+∠DCE=90°， ∠BCE=LDCG, 51/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△BCE=ADCG(SAS. (ii)如图3，连接AE, E B 图3 由(i)知△BCE兰aDCG,可得BE=DG,∠CBE=∠CDG, 又DP=DG, :BE DP, :四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°， ∠CBE+∠ABE=90°，∠CDG+∠ADP=90°， .∠ABE=∠ADP, △ABE≥△ADP(SAS), AE=AP,∠BAE=∠DAP, 又∠BAE+∠DAE=90°， LDAP+LDAE=90°，即∠PAE=90°， :PE2=PA2+AE2=2PA2, :PE =2PA. (2)如图4，延长AD至点H,使得AD=DH,延长GF交DH于I, D --7H M E B C G 图4 : 四边形ABCD是正方形，且边长为6， DH=AD=6,∠ADC=90°，CD=6, ∠ED1=90°， :四边形CEFG是正方形， :CE=EF=4,∠CEF=∠EFG=90°， 52/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DEF=90,∠EF1=90°， :DE=CD-CE=2, :∠EDI=∠DEF=∠EFI=90°， :四边形DEFI为矩形， ∠DIF=90°，D1=EF=4,F1=DE=2, .∠FIH=909,HⅢ=DH-DI=2, FH=FP+H=√22+2=22， :M是AF的中点，AD=DH, .DM是△AFH的中位线， .DM-FH- 题型三：半角模型 28. (24-25八年级下.安徽芜湖期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E不 与B、C重合)，连接DE,以DE为直角边作等腰直角三角形DEF,，DF与正方形AB边相交于点N,连 接BD 7 E E 图1 图2 (1)求证：∠BEF=∠FDB; (2)当E运动到BC的中点时，求线段AN的长； (3)如图2，连接AC交DF于点P,G是AD的中点，连接PG、PE,求PE+PG的最小值. 【详解】(1)证明：：△DEF是等腰直角三角形， ∠DEF=90°，∠EDF=45°. :正方形ABCD, ∠C=90°，∠CDB=45°， ∴LCDE=45°-LEDB=LFDB, :∠DEF=90°， ∴LBEF=90°-∠DEC=LCDE, ·∠BEF=LFDB. (2)解：：点E是BC的中点， :BE =CE =1. 53/73 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设AW=x,则BN=2-x. 如图，延长BA至H,使AH=CE=1,连接HD,NE. D B E :正方形ABCD, ∠C=∠BAD=∠DAH=90°，CD=AD. .△CDE≌△4DH(SAS. DE=DH,∠CDE=∠ADH. :ADEF是等腰直角三角形， .∠EDN=45° ∠CDE+∠ADN=45°. .∠HDN=∠ADH+∠ADN=45°，即∠HDN=∠EDN=45°. 又：DE=DH,DN=DN, .△HDN≌△EDN(SAS). .EN NH x+1. 在Rt△BEN中，BE2+BN2=EN2,即12+(2-x)=(x+1)2, 解得x= 3 线段4N的长度为号 (3)解：如图，过F作FH⊥BC于H点，连接FB,PB,GB,设AC与BD交于O点. D E 由(1)∠FEH=∠EDC,又LH=∠ECD=90°，EF=ED, △HEF≌△CDE(AAS. .HF CE,CD=HE=BC. .HB=CE =HF. 54/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △BHF是等腰直角三角形. ·LFBH=45°， :在正方形ABCD中，∠ACB=∠CBD=45°， ∴.∠FBH+∠CBD=909 .∠FBD=90°. PB=PD, ∠PBD=∠PDB, :BFD=90°-∠PDB=90°-∠PBD=∠PBF, PF PB, PF=PD,即点P是DF的中点， 在RaD8F和RLADEF中，PB-DF,PE=DF, .PB=PE ∴PE+PG=PB+PG2BG, :当B、P、G共线时，PE+PG有最小值，最小值为BG的长， :G是AD的中点， .AG=1, BG=AB2+AG2=5, PE+PG的最小值为√5. 29.(24-25八年级下·安徽合肥期中)如图，在四边形ABCD中，点M,N分别在边CD,BC上.连接 AM,AN D M N 图1 图2 (1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接MN,且∠MAN=45, ①求证：MN=DM+BN; ②已知AB=5,CM=2,求BN的长； (2)如图2，若四边形ABCD为矩形，∠AMD=2LBAN,点N为BC的中点，AN=6,AM=8,求AD的长 【答案】(L)①见解析；②BN= 4 (2)3√7 【详解】(1)解：①如图，延长CB至点E,使BE=DM,连接AE, 55/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E-- BN 在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD, 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DM △ABE≌△ADM(SAS, .AE=AM,∠BAE=∠DAM, :∠MAN=45°， ∠BAN+∠DAM=45°， :∠EAN=∠BAE+LBAN=45°，即∠EAN=∠MAN, 在△AEN和△AMN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN △AEN≌△AMN(SAS, :MN EN EB BN DM BN. ②设BN=x, 由题意和①得，AB=BC=5,CN=5-x,DM=5-2=3,MN=DM+BN=3+x, 在RtACMN中，CW2+CM2=MW2, .(5-x)2+22=(3+x)2, 5 解得x=二 4 :av-至 (2)解：如图，延长AN,DC交于点E, D M C AB DE, E 56/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ZE=ZBAN 在△CEN和△BAN中， ∠E=∠BAN ∠CNE=∠BNA, CN=BN △CEN≌△BAN(AAS), :EN AN ∠AMD=2∠BAN=2∠E,∠AMD=∠E+∠MAE, .∠E=∠MAE, .AM =EM, AN=6,AM=8, .EN=AN=6,EM=AM=8, 设DM=x，,则AD2=AM2-DM2=AE2-DE2, 82-x2=122-(x+8)2, 解得x=1, :AD=AM2-DM2=82-12=37. 30.(25-26八年级下.安徽合肥期中)利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.在数学活动课上， 李老师和同学们一起操作探究下面问题： G M B E 图① 图② 图③ 图④ (1)如图①，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点，点F在边DC上，且∠EAF=45°.求证： ∠AEB=∠AEF. 为了解决这个问题，小明把△ADF绕点A逆时针旋转90°，得到图②.易证△AEF≌△AEG,则 ∠AEB=∠AEF得以证明.请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点M在边BC上，AM=√5，CM=3,求BM的长； (3)如图④，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD=1,点E,F分别在边BC,CD上， 且LEAF=60°，求此时△CEF的周长. 【详解】(1)证明：：△ADF绕点A逆时针旋转90°到△ABG, :AD=AB,AF=AG,∠DAF=∠BAG,∠ADF=∠ABG :四边形ABCD是正方形， 57/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADF=∠ABG=∠BAD=∠ABC=90°， ∠ABG+∠ABC=180°， C,B,G三点共线， G D F :∠EAF=45°， .∠DAF+∠EAB=45°， ·∠EAB+∠BAG=45°， .∠GAE=45°， ∴∠EAG=∠EAF, 「AG=AF :{∠EAG=∠EAF, AE=AE .△AGE≌△AFE(SAS), ·∠AEB=∠AEF. (2)解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°到△ACE, .BM=CE,AM=AE,∠ABM=∠ACE,∠MAE=90°， AM=5, ·AM=AE=V5, ·ME=VAM2+AE2=V10, :等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∠ACB=LABC=45°， ∠ACB=∠ABC=∠ACE=45°， ∠ACB+∠ACE=90°， .∠MCE=90°， M :CM=3, CE=VEM2-CM2=1o-32=1, 58/73 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BM=1. (3)解：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, :AB=AD,LB=LADC=90°， AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG △ABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,ZBAE ZDAG :∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∠DAF+∠EAB=60°， ∠DAF+∠DAG=60°， ∴.∠GAF=60°， G D B E .∠GAF=LEAF, AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF △AGF≌△AEF(SAS), :GF EF, .DG+DF=GF, .BE DF =GF .BE DF EF. ∴△CEF的周长为：CE+CF+EF=CE+BE+DF+CF=BC+CD. 连接AC, ∠B=∠ADC=90°， AB=AD 且 AC=AC .△ABC≌△ADC(HL, ∠ACB=∠ACD=2∠BCD,BC=DC :在四边形ABCD中，LB=LD=90°，∠BAD=120°， 59/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCD=60°， ∠ACB=LACD=30°， AB=AD=1, .AC=2AD=2, DC=AC2-AD2=3, △CEF的周长为：BC+CD=2CD=2√5. 31.(24-25八年级下.安徽准北期末)如图，正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP,过点 P作AP的垂线PE,交BC于点E. A B B E 图1 图2 (1)如图1，过点P作PM⊥BC,垂足为M.求证：M为EC的中点； (2)如图2，延长AP交CD于点F,连接AE,EF. (i)求证：BE=EF-DF; (i)若F为CD的中点，求BE:EC的值. 【详解】(1)解：如图1，连接PC, B EM 图1 :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， 根据正方形的对称性可知，点A与点C关于直线BD对称， .AP=PC. 过点P作PN⊥AB于点N, :四边形ABCD是正方形， BD平分∠ABC,∠ABC=90°， :PM⊥BC,PN⊥AB, :四边形BMPN是矩形，且PM=PN, ·∠MPN=∠ANP=∠PME=90°， 又：AP⊥PE, 60/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LAPN=∠EPM, △APN≌△EPM(ASA), ·AP=PE, :PC PE, 又：PM⊥BC, M为EC的中点； (2)(2)(1)由(1)得AP=PE,又AP⊥PE, .∠PAE=LAEP=45°， ∠DAF+LBAE=45°， 如图2，延长EB至点G,使BG=DF, 图2 连接AG, 在正方形ABCD中，AB=AD,∠ABG=∠ADF=90°， 在△ABG和△ADF中， (AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF ∴△ABG≌△ADF. :AG=AF,∠BAG=∠DAF, ·∠BAG+∠BAE=45°， ∠GAE=∠EAF, .△GAE≌△EAF(SAS), ·EF=EG=DF+BE, :BE =EF-DF (i)设正方形的边长为2a,BE=x, 则DF=FC=a,EC=2a-x, 由(i)知EF=BE+DF, :EF =x+a, 在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2, 61/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即(2a-x)2+a2=(x+a)2, 解得x=二a,即BE=气a, 24 :.BE:EC=a:a=1:2 33 32.(24-25八年级下，安微滁州期末)如图，P是正方形ABCD的边BC上的一点，E是边BC延长线上的 一点，过点P作PF⊥AP,交∠DCE的平分线CF于点F,AF与CD交于点G, E (1)判断。APF的形状，并说明理由. (2)若AP=AG. ①求证：PG∥CF. ②若AB=2,求△APG的面积. 【详解】(1)解：△APF是等腰直角三角形 理由：如图1，在边BA上截取BQ=BP,连接PO D B ◇ E 图1 依题意，可得BPQ为等腰直角三角形， LBQP=45°， .∠AQP=135° :CF为∠DCE的平分线， ∴.∠FCE=45°， ∴.∠PCF=∠AQP=135°. :四边形ABCD为正方形， ∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD, .AB-BO=BC-BP,AO=PC. 62/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PF⊥AP, ∠APF=90°， .∠APB+∠CPF=90°. 又：∠APB+∠QAP=90°， ∴.∠QAP=∠CPF. 在△APQ和△PFC中， [∠QAP=∠CPF, A0=PC, ∠AQP=∠PCF, aAPQ≌△PFC(ASA, :AP FP, :△APF是等腰直角三角形. (2)解：①证明：：四边形ABCD为正方形， ∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=AD=BC=CD 在Rt△ABP和Rt△ADG中， AP=AG, AB=AD, RteABP△RtAADG(HL), ·BP=DG,∠BAP=∠DAG, BC-BP=CD-DG,即CP=CG, △PCG为等腰直角三角形， ∠GPC=45°. 又：∠FCE=45°， ∠FCE=∠GPC, PG∥CF. ②由(1)可得△APF为等腰直角三角形，即LPAG=45°， LBAP=∠DAG=22.5°. 如图2，连接AC,可得CA为∠BCD的平分线，且CP=CG, AC⊥PG 图2 63/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：AP=AG, :AN为∠PAG的平分线， ∠PAN=∠GAN=22.5° LBAP=LDAG=∠PAN=∠GAN,BP=DG,∠B=∠D, .△ABP≌△ADG, 同理可证△ABP≌△ANP≌△ANG≌△ADG, :AB=AN=AD,BP=PN =GN =GD, :PG=PN +NG=BP+DG=2BP 设BP=PN=x,则PG=2x,PC=√2x, BP+PC=2,即x+√2x=2,解得x=2V2-2, .PG=2x=4V2-4, SmPG4N=45-4k2=4W5-4. 题型四：一线三直角模型(K型模型) 33.(24-25八年级下·安徽准南期中)综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP,EP与正 方形外角LDCG的平分线交于点P,试猜想AE与EP之间的数量关系，并加以证明. E E C 图① 图② (1)同学们发现，取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； (2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形ABCD中，E为BC边 上一动点（点E不与点B重合），△AEP是等腰直角三角形，LAEP=90°，连接CP. ①求∠DCP的度数； ②直接写出CP与BE的数量关系 【详解】(1)解：AE与EP之间的数量关系为AE=EP.理由如下： 如图2，：正方形ABCD中，E是BC的中点，AB的中点F, .AB=BC=CD=DA,∠B=LBCD=∠DCG=90 :AF BF BE=CE=1AB-IBC 1 2 2 .∠BFE=LBEF=45°， ∴∠AFE=135°， 64/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE⊥EP, .∠AEP=90° ∠AEB+∠CEP=∠AEB+∠FAE=90° :ZCEP ZFAE, :EP与正方形外角LDCG的平分线交于点P. .LDCP=∠GCP=45°， ∠ECP=135°， .∠AFE=LECP. 在△AFE和△ECP中， 「∠AFE=∠ECP FA=CE I∠FAE=∠CEP ·.△AFE≌ECP(ASA, .AE=EP. A D E (2)①解：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M, :正方形ABCD中， .AB=BC=CD=DA,∠B=∠BCD=∠M=90°， :△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°， AE EP, .∠AEB+∠MEP=∠AEB+∠BAE=90°， ∠MEP=∠BAE, 在△ABE和△EMP中， 「∠ABE=∠EMP :∠BAE=∠MEP, AE=EP △ABE≌△EMP(AAS, :AB=EM,BE MP, .BC=EM :BC-EC EM -EC, .BE=CM, 65/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .MP=CM, ∠MCP=45°， ∠DCP=45°. D P B E C -M ②解：：MP=CM, .CP=VCM2+MP2=√2MP BE MP, ·CP=V2BE. 34.在平面直角坐标系中，点A,B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA=m,OB=n,以AB为边 在第一象限内作正方形ABCD. y B B o A A A 图1 图2 图3 (1)如图1，请求出点C与点D的坐标（用含m、n的式子表示）： (2)如图2，若直线OC的解析式为y=2x,求直线OD的解析式： (3)如图3，连接AC、BD交于点E,连接OE,若OE=2√2OA,求直线OC的解析式. (1 Cn,mn)Dmtn,m)(2)y=0.5x;(3) 【详解】解：(1)如图1， 66/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A H 图1 过点C作CG1y轴，过点D作DH⊥x轴， ·.∠CGB=∠DHA=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠OBA+∠GBC=∠GBC+∠GCB=90°， .∠OBA=∠GCB, ∴.△AOB≌△BGC(AAS), ..CG=OB=n,BG=OA=m, 点C的坐标为(n,m+n), 同理可证△AOB≌△DHA(AAS), .点D的坐标为(m+n,m); (2):直线OC的解析式为y=2x,将点C(n,m+n)代入解析式得：m+n=2n, .m=n, .D(2m,m), 设直线OD的解析式为y=,代入得m=2mk, .k=0.5, 直线OD的解析式为：y=0.5x (3)如图3， 67/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H 图3 过点D作DHLx轴，连接EH, 由(1)可知△AOB≌△DHA, .OA=HD,∠OAB=∠HDA, :四边形ABCD是正方形， ∴AE=DE,∠EAB=∠EDA=45°，∠AED=90°， ∴.∠OAE=∠HDE, .△AOE≌△DHE(SAS), .OE=HE,∠OEH=90°， 即△OEH为等腰直角三角形， ∴OHP=20E2, :OE=2√2OA, 由(1)可知OA=m,OH=mtn, (m+n)2=16m2, 由题意知m,n为正数， ..mtn=4m, .n=3m, .C(3m,4m), 设直线OC的解析式为y=x,代入得4m=3m成， 剂 直线OC的解析式为：y= 4 3 35.【模型建立】 68/73 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 图1 图2 图3 (1)如图1，己知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE, DE,CD的数量关系，并说明理由 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE=EF,用等式写 出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由. 【模型迁移】 (3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF,AE=EF.用 等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由 【详解】(1)DE+CD=AE,理由如下 :CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC, ∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°， ∴∠ABE+LCBD=LC+∠CBD=90°， ∠ABE=LC, AB=BC, .△ABE≌△BCD, .BE =CD,AE BD, ∴DE=BD-BE=AE-CD, .DE+CD AE (2)AD=√2BE+DF,理由如下： 过E点作EM⊥AD于点M,过E点作EN⊥CD于点N,如图， :四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， .∠ADB=∠CDB=45°，BD平分∠ADC,∠ADC=90°， V2AD=√2CD=BD, 69/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即DE=BD-BE=V2AD-BE, :EN⊥CD,EM⊥AD, ∴EM=EN, AE =EF, .RtAAEM≌Rta FEN, :AM =NF, :EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°， :四边形EMDN是正方形， ED是正方形EMDN对角线，MD=ND, :MD-DN-DE.NF-ND-DF-MD-DF. NF-AM AD-MD-AD-DE.NF=DE-DF. 2 AD-DE=DE-DF.AD-DE-DF. 2 :DE=√2AD-BE, AD=(2AD-BE)-DF, 即有AD=√2BE+DF; (3)AD=√2BE-DF，理由如下， 过A点作AH⊥BD于点H,过F点作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图， :AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF, .∠AHE=∠G=LAEF=90°， ∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°， ∠HAE=∠FEG, 又：AE=EF, ∴.△HAE≌△GEF, ∴HE=FG, :在正方形ABCD中，LBDC=45°， ∠FDG=∠BDC=45°， 70/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠DFG=45°， △DFG是等腰直角三角形， FG=DF HE=FG=DF :∠ADB=45°，AH⊥HD, ∴△ADH是等腰直角三角形， HD=D. DE-HD-HE- 2 -AD- 2 ∴BD-BE=DE= AD-DF. 2 BD=2AD, AD-BE= -AD- √ -DF, 2 2 AD=2BE DF. 36.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作 DF⊥x轴交x轴于点F,交对角线AC于点E. B (1)求证：BE=DE; (2)若点A,B坐标分别为(0,12)、(5,0)，求△BEF的周长； (3)当点A在y轴正半轴上运动时，点B也在x轴正半轴上运动，在运动的过程中，正方形ABCD的形状保持 不变，且AB=2,请直接写出线段OC的取值范围. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠BAE, 在ADE与△ABE中， 71/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AB ∠DAE=∠BAE, AE=AE △ADE≌△ABE(SAS), BE DE (2)解：如图所示，过点D作DG⊥y轴于点G, y个 G A E B 则四边形OGDF是矩形， :四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠BAD=90°， :∠DGA=∠A0B=90°， ∴.∠BAO=90°-∠GAD=∠ADG, △BAO≌△4DG(AAS), .GD=AO,AG=OB, :点A,B坐标分别为0,12、5,0)， ∴.OA=GD=12,AG=OB=5, .DF=OG=12+5=17,BF=OF-B0=GD-OB=12-5=7, BE=DE, △BEF的周长为BE+EF+BF=DE+EF+BF=DF+BF=17+7=24, 故答案为：24. (3)解：如图： D M B 取AB的中点M，连接OM，CM, 72/73 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 RtAA0B中，OM=AB=1, 在正方形ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=90°， 在ReM8C中，BM-方4B=kBC-2,则 CM=VBM2+BC2=V2+22=√+4=√5， 根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”， CM-0M≤0C≤CM+OM, 把OM=1,CM=V5代入可得：V5-1≤0C≤5+1. 答：线段0C的取值范围是：√5-1≤0C≤√5+1， 73/73 专题02 正方形中的4种常考模型 题型一：“十字架”模型 题型三：手拉手模型 题型三：半角模型 题型四：一线三直角模型（K 型模型） 题型一：“十字架”模型 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，分别是边的中点，连接与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知分别是的中点，，求的长． 2．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若点E为的中点，于点O． ①如图，求证：； ②如图，连接，求的值； (2)如图，若，，则的最小值为 （直接写出结果）． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知正方形的边长为6，点、分别在、上． (1)如图①，连接与相交于点，若，与有什么关系，请说明理由． (2)如图②，取的中点，过点作交于点，交于点，连接，若，求的长． (3)如图①，在（1）的条件下，若图中四边形和的面积之和与正方形的面积之比为，请你直接写出的周长的值是 ． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1，在正方形中，E在边上，F在边上，连接，若． (1)求证：； (2)如图2，连接，若将绕着点E旋转至，连接，连接交于点P． ①求证：点P是中点； ②求证：． 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图1，边长为24的正方形中，点P为边上一个动点，连接，作于点E，交边于M，交边于N．    (1)求证：； (2)如图2，连接，线段交于点F，点E为的中点． ①当时，求的长； ②线段是否存在最小值，若存在，请直接写出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 8．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）在正方形中，点E，F分别是边，上的一点，于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平移至，，垂足为点I． （i）求证：； （ii）如图3，若点I是的中点，与交于点N，已知，，求的长． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 10．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 题型二：手拉手模型 11．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，在正方形中，连接，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，交的延长线于点G．若，点F是的中点，则的长度为（   ） A． B．5 C．4 D． 12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交于点．已知，，则的长为_____． 13．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． (1)若，则的长为______． (2)若，则的最小值为______． 14．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）的值为_______； （2）若恰为中点，连接交于点，则的长为______． 16．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形中，G是对角线的延长线上的点，以线段为边作正方形，连接，与边交于点P，连接，与交于点H． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 17．（22-23八年级下·安徽淮北·期中）如图1，四边形为正方形，点是对角线上的一点（），连接，过点作交于点．    (1)求证：． (2)如图2，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：； ②若正方形的边长为，，求的长． 18．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．    (1)求证：； (2)延长交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 20．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 21．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，已知四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，过点D作，过点F作，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)若，，求四边形的面积． 22．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）如图1，在正方形中，，E是对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接．    (1)线段的数量关系是______；位置关系是______． (2)如图2，当时，求的长． (3)设，求y与x之间的函数解析式． 23．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）四边形为正方形，为对角线上一点（不与点A、C重合），连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)填空：的长为___________，___________度； (2)如图，当点F在线段的延长线上时： ①求证：矩形是正方形； ②若，求正方形的边长； (3)取的中点O，连接，当最小时，线段的值为___________（请直接写出答案）． 25．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形中，是对角线的延长线上的点，以线段为边作正方形，连接，与边交于点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 26．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)如图1，点在一条直线上，点在边上，在的延长线上取一点，且，连接． （i）求证：； （ii）求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在边上，是的中点，若正方形和正方形的边长分别为6和4，求的长． 题型三：半角模型 28．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接． (1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且 ①求证：； ②已知，，求的长； (2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形中，E为边上一动点，点F在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点A逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰中，，点M在边上，，，求的长； (3)如图④，在四边形中，，，，点E，F分别在边，上，且，求此时的周长． 31．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作的垂线，交于点． (1)如图1，过点作，垂足为．求证：为的中点； (2)如图2，延长交于点，连接，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若为的中点，求的值． 32．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，是正方形的边上的一点，是边延长线上的一点，过点作，交的平分线于点，与交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若． ①求证：． ②若，求的面积． 题型四：一线三直角模型（K 型模型） 33．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形中，是的中点，，与正方形外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系，并加以证明．    (1)同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； (2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形中，为边上一动点（点不与点重合），是等腰直角三角形，，连接． ①求的度数； ②直接写出与的数量关系． 34．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD． （1）如图1，请求出点C与点D的坐标（用含m、n的式子表示）； （2）如图2，若直线OC的解析式为y＝2x，求直线OD的解析式； （3）如图3，连接AC、BD交于点E，连接OE，若OE＝2OA，求直线OC的解析式． 35．【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴正半轴上，过点作轴交轴于点，交对角线于点． (1)求证：； (2)若点，坐标分别为、，求的周长； (3)当点在轴正半轴上运动时，点也在轴正半轴上运动，在运动的过程中，正方形的形状保持不变，且，请直接写出线段的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $