19.3.3 正方形（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦正方形的性质与判定，通过生活实例情景引入，引导学生观察矩形邻边相等、菱形一角为直角转化为正方形的过程，搭建从平行四边形、矩形、菱形到正方形的知识支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过折纸观察对称性培养几何直观，“证一证”环节强化推理能力，变式题分类讨论（如等边三角形与正方形位置关系）渗透模型意识。丰富例题与分层练习助力学生提升空间观念与逻辑推理，为教师提供系统教学流程，提升课堂效率。

19.3.3 正方形 第19章 四边形 优翼八下数学教学课件（HK） 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 导入新课 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 问题引入 正方形 正方形的性质 新课讲授 3 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形的定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 归纳总结 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： ； 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知: 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰 直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 典例精析 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵△BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°. 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵ AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF. A B C D P E F 解： 连接 PC，AC. 又∵ PE⊥BC，PF⊥DC， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC. ∴ 四边形 PECF 是矩形. ∴ PC = EF. ∴ AP = PC. ∴ AP = EF. 在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导. 归纳 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 练一练 3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ， 面积为 AD2＝8. 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形的判定 19 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对 角线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 证一证 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 证一证 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC 练一练 C A B C D O 例4 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°. ∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例精析 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中， AE = BF = CM = DN， ∠A =∠B =∠C =∠D， AN = BE = CF = DM， ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM. ∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF. ∴ 四边形 EFMN 是菱形. 又∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF ) = 180° - (∠AEN +∠ANE) = 180° - 90° = 90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形. 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 例6 如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线交点 O，且 EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ OB = OC，∠ABO =∠BCO = 45°， ∠BOC = 90° =∠COH +∠BOH. ∵ EG⊥FH， ∴∠BOE +∠BOH = 90°. ∴∠COH =∠BOE. ∴△CHO≌△BEO. ∴ OE = OH. 同理可证：OE = OF = OG. B A C D O E H G F ∴ OE = OF = OG = OH， 即 EG 与 FH 互相垂直平分. ∴ 四边形 EFGH 为菱形. ∵ EO + GO = FO + HO，即 EG = HF， ∴ 四边形 EFGH 是正方形. B A C D O E H G F 例7 如图，正方形 ABCD 中，动点 E 在 AC 上，AF⊥AC，垂足为 A，AF = AE． （1）求证：BF = DE； （2）当点 E 运动到 AC 中点时 (其他条件都保持不变)， 问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由. （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD，∠BAD = 90°. ∵ AF⊥AC，∴∠EAF =∠BAD = 90°. ∴∠BAF =∠DAE. 在△ABF 和△ADE 中， AB = AD，∠BAF =∠DAE，AF = AE， ∴△ABF≌△ADE (SAS). ∴ BF = DE. （2）解：当点 E 运动到 AC 的中点时，四边形 AFBE 是正方形. 理由：∵ 点 E 运动到 AC 的中点，AB = BC， ∴ BE⊥AC，BE = AE = AC. ∵ AF = AE，∴ BE = AF = AE. 又∵ BE⊥AC，∠FAE =∠BEC = 90°， ∴ BE∥AF. ∵ BE = AF， ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵∠FAE = 90°，AF = AE， ∴ 四边形 AFBE 是正方形． 思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 平行四边形 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °. 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45 90 22.5° 第3题图 第4题图 45 5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长． 解：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC. ∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE. 在 Rt△ABC 中， ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm． 8. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为 M、N. (1) 求证：ADB =CDB； (2) 若ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N 证明：(1) ∵ BD 平分∠ABC. ∴∠1 =∠2. 又∵ AB = BC，BD = BD， ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB =∠CDB. 1 2 （2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD =∠PND = 90°. 又∵∠ADC = 90°， ∴ 四边形 MPND 是矩形. ∵∠ADB =∠CDB， ∴∠ADB = 45°. ∴∠MPD = 45°. ∴ DM = PM. ∴ 四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N 9. 如图，△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且 DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由； （2）连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形？为什么？ 解：（1）∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形 AEDF 为平行四边形. （2）AD 平分∠BAC. 理由如下： 当 AD 平分∠BAC 时，∠EAD =∠FAD. ∵ DE∥AC，∴∠EDA =∠FAD. ∴ ∠EAD =∠EDA. ∴ EA =ED. ∴ □AEDF 为菱形. （3）在（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形？不必说明理由． 解：在（2）的条件下，四边形 AEDF 为菱形， 故只需 △ABC 满足∠BAC 为直角即可使四边形 AEDF 为正方形． 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课堂小结 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角 且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 $