精品解析：广西桂林市第十八中学2025-2026学年七年级上学期1月数学学情自测

数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在实数0，，1，中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 要调查下列问题，适合采用全面调查的是（ ） A. 即将发射的气象卫星的重要零部件质量 B. 南宁市中学生视力情况统计 C. 中央电视台《开学第一课》的收视率 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 3. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三边长分别是4、9、，则的取值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面四个图形中，线段不是的高的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，在中，分别是的中点，，则（ ） A B. C. D. 8. 下列语句哪个是真命题（ ） A. a，b，c是直线，若，则 B. a，b，c是直线，若，则 C. 过一点作直线l的垂线 D. 两个锐角和是钝角 9. 公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ） A. 143 B. 99 C. 44 D. 53 12. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 81的算术平方根是______． 14. 自行车的车架做成三角形，利用的原理是___________． 15. 若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是______． 16. 如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为__________．（用含的式子表示） 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 19. 如图，，，，将平移后，得到，点的对应点坐标为． （1）请画出，写出的坐标； （2）若点是内部一点，则平移后对应点坐标为____________； （3）在平移过程中，求线段扫过区域的面积． 20. 为了传承优秀传统文化，某校七年级组织名学生参加了一次“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中名学生的成绩作为样本，成绩如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 百分比 请根据所给信息，解答下列问题： （1）____________，____________，____________，____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若成绩在分以上（包括分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的名学生中成绩“优”等的有多少人？ 21. 如图，是的高，． （1）若点是边上的一点，当，时，求的度数； （2）若，，，求的长度． 22. 为了加强校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲，乙两种型号的设备可供选择，其中每台价格，有效监控半径如表所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） 100 120 （1）求，值； （2）若购买这批设备的资金不超过7600元，则至少应该购买甲型设备多少台？ （3）在（2）的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 23. 问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于，要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在实数0，，1，中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据实数大小比较的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 要调查下列问题，适合采用全面调查的是（ ） A. 即将发射的气象卫星的重要零部件质量 B. 南宁市中学生视力情况统计 C. 中央电视台《开学第一课》的收视率 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】A 【解析】 【分析】全面调查适用于精确度高、范围小或重要调查；抽样调查适用于范围大、破坏性或成本高的调查． 本题考查了调查的方式，熟练掌握调查的方式是解题的关键． 【详解】解： ∵ A选项涉及卫星零部件质量，必须确保每个零件合格， ∴ 适合全面调查； ∵ B选项涉及全市中学生，范围大， ∴ 适合抽样调查； ∵ C选项收视率调查通常抽样， ∴ 适合抽样调查； ∵ D选项续航里程测试有破坏性， ∴ 适合抽样调查． 故选：A． 3. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得解．本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4. 若三角形的三边长分别是4、9、，则的取值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系即可进行解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是4、9、， ∴，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可，不等式的性质为：不等式两边同时加上或减去一个相同的数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 本题主要考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键． 【详解】解： A、由可得，该不等式一定成立，符合题意； B、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； C、若可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； D、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； 故选：A． 6. 下面四个图形中，线段不是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形高的作法，掌握锐角三角形，钝角三角形高的作法是解题的关键． 根据三角形高的作法“过点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高”，由此即可求解． 【详解】解：、线段不是的高，符合题意； 、线段是的高，不符合题意； 、线段是的高，不符合题意； 、线段是的高，不符合题意； 故选：． 7. 如图，在中，分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形面积分成相等的两份这一知识点． 由分别是的中点可得，，再结合计算即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴，， 故选：A． 8. 下列语句哪个是真命题（ ） A. a，b，c是直线，若，则 B. a，b，c是直线，若，则 C. 过一点作直线l的垂线 D. 两个锐角和是钝角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，平行公理的理解，命题的含义，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．分别根据平行公理，平面内两条直线的位置关系，垂直的含义，锐角，钝角的定义，根据基础概念再逐一分析判断即可． 【详解】解：a，b，c是直线，若，则，故A是真命题； 在同一平面内，a，b，c是三条直线，若，，则，故B是假命题； 过一点作直线l的垂线，不是命题；故C是假命题； 两个锐角的和不一定是钝角，故D是假命题， 故选：A． 9. 公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 点在第三象限． 故选：C． 10. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 11. 如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ） A 143 B. 99 C. 44 D. 53 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得： ， 解得： ， 小长方形的面积为 ， 大长方形的面积为 空白部分面积为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是掌握二元一次方程组． 12. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 81的算术平方根是______． 【答案】 9 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．根据定义直接求解即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义，81的算术平方根是， ∵， ∴． 故答案为9． 14. 自行车的车架做成三角形，利用的原理是___________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 15. 若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解，分别为， ∴， 故答案：． 16. 如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2），不等式组的整数解为0，1，2，3，4 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，掌握解不等式组和方程组的步骤是解题的关键． （1）用加减消元法求解二元一次方程组； （2）求解不等式组中两个不等式，取公共部分，求得整数解． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入①，得， 解得． 所以这个方程组的解； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 它的所有整数解为0，1，2，3，4． 19. 如图，，，，将平移后，得到，点的对应点坐标为． （1）请画出，写出的坐标； （2）若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为____________； （3）在平移过程中，求线段扫过区域的面积． 【答案】（1）的坐标为，图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． （1）根据题意可得先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求解； （2）根据平移的规律求解即可； （3）在平移过程中，求线段扫过区域为平行四边形，根据平行四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 的坐标为； 【小问2详解】 将平移后，点的对应点坐标为， 是向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 内部一点平移后对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 线段扫过区域的面积：． 20. 为了传承优秀传统文化，某校七年级组织名学生参加了一次“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中名学生的成绩作为样本，成绩如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 百分比 请根据所给信息，解答下列问题： （1）____________，____________，____________，____________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若成绩在分以上（包括分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的名学生中成绩“优”等的有多少人？ 【答案】（1），，， （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，频数分布表，掌握频率，频数，总数之间的关系是关键． （1）根据题中所给的学生成绩可知：，，再根据频率频数总数可求出、； （2）由（1）中所求的数据补全频数分布直方图即可； （3）用乘以成绩“优”等的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：根据题中所给的学生成绩可知：，， ，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 成绩“优”等的学生有：（人）． 21. 如图，是的高，． （1）若点是边上的一点，当，时，求的度数； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形高的定义； （1）根据已知求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵是的高，． ，，， ∴ ∴ 22. 为了加强校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲，乙两种型号的设备可供选择，其中每台价格，有效监控半径如表所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） 100 120 （1）求，的值； （2）若购买这批设备的资金不超过7600元，则至少应该购买甲型设备多少台？ （3）在（2）的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）， （2）应该至少购买甲型设备9台 （3）最省钱的购买方法为购买甲型设备10台，乙型设备5台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出答案； （3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出的值，再利用总价单价数量可求出当和时购买费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 根据题意，， 解得， 【小问2详解】 设购买甲型设备台，则购买乙型设备台． 根据题意，得， 解得， 的最小整数值为9， 应该至少购买甲型设备9台； 【小问3详解】 根据题意，得． 解得， ． 的取值为9或10． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备9台，乙型设备6台；所需资金为（元； 方案二：购买甲型设备10台，乙型设备5台；所需资金为（元； ， 方案二省钱． 答：最省钱的购买方法为购买甲型设备10台，乙型设备5台． 23. 问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于，要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． “逻辑论证”： 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； “触类旁通”：过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【小问1详解】 1．解： 2．图2：延长至点，过作． 图3：过点作． 【小问2详解】 选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 【小问3详解】 证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $