第04讲 不等式（组）及其应用（专项训练，15题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 不等式的定义（★★） 题型02 不等式的解集（★★） 题型03 不等式的基本性质（★★★） 题型04 利用等式的基本性质进行变形（★★★） 题型05 解一元一次不等式（组）（★★★） 题型06 在数轴上表示不等式（组）的解集（★★） 题型07 已知不等式（组）整数解的个数求参数（★★） 题型08 已知不等式（组）解的情况求参数（★★★） 题型09 不等式组与分式方程的综合（★★） 题型10 不等式（组）与方程组的综合（★★★） 题型11 列一元一次不等式（组）（★★★） 题型12 不等式（组）实际应用之经济问题（★★★） 题型13 不等式（组）实际应用之方案选择问题（★★★） 题型14 不等式（组）实际应用之分配问题（★★★） 题型15 不等式（组）实际应用之其他问题（★★★） 能力通关 【新定义问题】（将不等式与新定义进行结合综合考查学生掌握情况） 1．（2025·山东·模拟预测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ， 若，则实数的取值范围是， 当，为非负整数时，有， ． 其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【不等式与函数综合】（将不等式（组）与函数进行综合考查） 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是 ；若对于，，都有，则a的取值范围是 ． 【不等式（组）中概率问题】 3．（2024·福建·模拟预测）高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 题型01 不等式的定义（★★） 1．（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 题型02 不等式的解集（★★） 1．（2024·浙江嘉兴·三模）若， 则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 3．（2025·宁夏银川·一模）若整数a满足，则a的值为 ． 4．（2025·河南濮阳·一模）写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是 ． 题型03 不等式的基本性质（★★★） 1．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·河南信阳·三模）若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北石家庄·三模）若，则运用不等式性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林四平·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型04 利用等式的基本性质进行变形（★★★） 1．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 题型05 解一元一次不等式（组）（★★★） 1．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上． 2．（2025·广西·一模）解不等式：． 3．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 4．（2025·甘肃武威·二模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型06 在数轴上表示不等式（组）的解集（★★） 1．（2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）不等式组：的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07 已知不等式（组）整数解的个数求参数（★★） 1．（2025·河南洛阳·一模）a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 2．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 4．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 题型08 已知不等式（组）解的情况求参数（★★★） 1．（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·二模）若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 4．（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 题型09 不等式组与分式方程的综合（★★） 1．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 2．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ． 3．（2024·重庆渝北·二模）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 4．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 题型10 不等式（组）与方程组的综合（★★★） 1．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 2．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 列一元一次不等式（组）（★★★） 1．（2025·青海·三模）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了个，两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：已知剩下甲种原料千克，乙种原料千克，假设制作个型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（    ） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南商丘·模拟预测）某次知识竞赛一共有20道题，答对一道题得5分，不答得0分，答错一道题扣2分．已知小聪有一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答对了x道题，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 题型12 不等式（组）实际应用之经济问题（★★★） 1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 3．（2025·广西·一模）某文具店订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计，订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元． (1)求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，由于B种书签更契合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为12元和13元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． (1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 题型13 不等式（组）实际应用之方案选择问题（★★★） 1．（2024·湖南·模拟预测）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 2．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 3．（2025·贵州毕节·三模）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？ 4．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 题型14 不等式（组）实际应用之分配问题（★★★） 1．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 2．（2023·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 ． 3．（2023·北京朝阳·一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 题型15 不等式（组）实际应用之其他问题（★★★） 1．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 3．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 4．（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．    (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）； 当点运动到轴上时，求的面积； (3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围． 1．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·三模）已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组． 6．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：一个四位正整数M，其各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和为8，则称 为“齐发数”．把四位数 的千位数字与十位数字交换位置、百位数字与个位数字交换位置后得到新的四位数 规定 例如： ，∵，，∴是“齐发数”，则．如果“齐发数” ，则 ；已知四位自然数 是“齐发数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是 ． 7．（2024·辽宁抚顺·二模）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 8．（2024·湖北·一模）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 3．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 5．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 6．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 7．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 8．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 9．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 不等式的定义（★★） 题型02 不等式的解集（★★） 题型03 不等式的基本性质（★★★） 题型04 利用等式的基本性质进行变形（★★★） 题型05 解一元一次不等式（组）（★★★） 题型06 在数轴上表示不等式（组）的解集（★★） 题型07 已知不等式（组）整数解的个数求参数（★★） 题型08 已知不等式（组）解的情况求参数（★★★） 题型09 不等式组与分式方程的综合（★★） 题型10 不等式（组）与方程组的综合（★★★） 题型11 列一元一次不等式（组）（★★★） 题型12 不等式（组）实际应用之经济问题（★★★） 题型13 不等式（组）实际应用之方案选择问题（★★★） 题型14 不等式（组）实际应用之分配问题（★★★） 题型15 不等式（组）实际应用之其他问题（★★★） 能力通关 【新定义问题】（将不等式与新定义进行结合综合考查学生掌握情况） 1．（2025·山东·模拟预测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ， 若，则实数的取值范围是， 当，为非负整数时，有， ． 其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】对于可直接判断，、可用举反例法判断，、我们可以根据题意所述利用不等式判断． 本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 【详解】解：，正确； ，例如当时，，，故错误； 若，则，解得：，故正确； 为整数，不影响“四舍五入”，故，故正确； ，例如，时，，，故错误； 综上可得正确． 故选：B． 【不等式与函数综合】（将不等式（组）与函数进行综合考查） 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是 ；若对于，，都有，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的初中数学知识点包括二次函数的图象与性质，不等式的求解．分类讨论思想的应用是解题的关键．先确定二次函数的对称轴，再根据 “对于特定自变量取值范围内的任意x或任意，函数值满足特定大小关系” 这一条件，结合二次函数开口方向对函数增减性的影响，分情况列出不等式，进而求解出参数a的取值范围，过程中需精准运用二次函数性质建立函数值与自变量、参数的关联，同时通过分类讨论覆盖不同开口方向下的可能性． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 令，则或a， 存在， ， ， ， 恒成立， 即； ， ， ，在时恒成立， 当时，或， ， 当时，且， ， 综上所述，或 故答案为：，或 【不等式（组）中概率问题】 3．（2024·福建·模拟预测）高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 【答案】(1) (2)商品的定价最高为55元，理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解． （1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的概率． （2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定价的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图， 共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种， ∴从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率； （2）解：方案二中的定价最高为55元． 理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内， ∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； 由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内）， 从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； ∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得， 故方案二中商品的定价最高为55元． 题型01 不等式的定义（★★） 1．（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键． 根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答． 【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速， ∴， 故选：B． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：A 3．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论． 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 27．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度． 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可． 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 题型02 不等式的解集（★★） 1．（2024·浙江嘉兴·三模）若， 则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别解不等式，由题意可得，进而分别判断，即可求解． 【详解】解： 解得： A. ，解得：，当时，该不等式成立，故该选项符合题意； B. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意； C. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意；     D. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·宁夏银川·一模）若整数a满足，则a的值为 ． 【答案】22或23或24或25或26或27或28或29或30 【分析】本题考查了整数的定义，不等式，理解整数的定义是解题的关键． 根据整数的定义即可求解． 【详解】解：∵整数a满足， ∴或23或24或25或26或27或28或29或30， 故答案为：22或23或24或25或26或27或28或29或30． 4．（2025·河南濮阳·一模）写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，先求出不等式的解，结合不等式组的解集，得出需写一个不等式，其解集为，根据题意写出不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，需写一个不等式，其解集为， ∵， ∴， 故不等式与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是． 故答案为：（答案不唯一）． 题型03 不等式的基本性质（★★★） 1．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 2．（2025·河南信阳·三模）若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质逐个分析判断即可． 【详解】不等式两边同时减去1得，，不一定有成立，故选项A不符合题意； 不等式两边同时加上1得，，故选项C不符合题意； 又，所以，故选项B符合题意； 因为满足，但不满足，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．（2025·河北石家庄·三模）若，则运用不等式性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确. 【详解】解：A．∵， ∴，而，因此，故该选项错误； B．∵， ∴，而，因此，故该选项错误； C．∵， ∴，故该选项错误； D．∵， ∴，故该选项正确； 故选：D． 4．（2025·吉林四平·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据，应用不等式的基本性质（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐项判断即可，熟练掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 【详解】A、∵， ∴，选项A错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项C错误，不符合题意； D、∵， ∴，选项D正确，符合题意； 故选：D． 题型04 利用等式的基本性质进行变形（★★★） 1．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得，再利用不等式的性质逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 2．（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据题意及平方的非负性得，推出，可判断B；由，可推出，可判断A；由得，可判断C、D，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故选项B不符合题意； ∵，即， ∴，故选项A不符合题意； 又∵， ∴， ∴，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 题型05 解一元一次不等式（组）（★★★） 1．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】．见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下图所示． ． 2．（2025·广西·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法；先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得： 3．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 4．（2025·甘肃武威·二模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集如图所示： 题型06 在数轴上表示不等式（组）的解集（★★） 1．（2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示在数轴上即可． 【详解】 解：解不等式①得， 解不等式②得． ∴不等式组的解集是． 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，根据解一元一次不等式的步骤分别求出两个不等式的解集，再把它们的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 把不等式的解集表示在数轴上如下图所示： 故选：D． 3．（2024·广东·模拟预测）不等式组：的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 故选：A 4．（2024·安徽·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式组的解和数轴表示，熟练不等式的求解方式是解题的关键． 根据题意解不等式组，得到解集判断即可． 【详解】解不等式，得； 解不等式，得， 故原不等式组的解集为， 数轴表示为： 故选：C． 题型07 已知不等式（组）整数解的个数求参数（★★） 1．（2025·河南洛阳·一模）a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组整数解．解出不等式组的解集，在根据a是不等式组的一个整数解，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ， ∴不等式组有整数解， ∵a是不等式组的一个整数解， ∴或， 故选：C． 2．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键． 先求解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解得，进而得到满足条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有个整数解， ， ， 所有满足条件的整数的值分别为，，，，， 所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 题型08 已知不等式（组）解的情况求参数（★★★） 1．（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解此题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式用表示出的取值范围，由 即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， 不等式的解集是， 不等式的解集能使关于的一次不等式成立， ， 解得：， 故选：C． 2．（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 3．（2025·山东威海·二模）若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键． 先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围． 【详解】解：， 由①得：，由②得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 4．（2025·河南周口·三模）关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】本题考查不等式组解集的确定，关键在于理解参数与第二个不等式解集之间的包含关系．通过比较两个不等式解集的范围，可确定的取值范围．本题解第二个不等式，结合两个不等式的解集关系，即可分析参数的取值范围． 【详解】解：由，得到，即， 已知不等式组的解集为， 则第一个不等式的解集必须包含第二个不等式的解集， 因此的取值范围应满足． 故答案为：． 题型09 不等式组与分式方程的综合（★★） 1．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次不等式组、解分式方程，首先根据二元一次方程组的解是，可知，解分式方程可得：，根据分式方程有非负整数解，可以确定或或，又因为当时，是分式方程的增根，所以舍去，从而可求符合条件的所有整数的值之和． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 又不等式组的解集是， ， 解分式方程 ， 可得：， 关于的分式方程 有非负整数解， 且为整数， 或或， 当时，， 此时， 是分式方程的增根， 或， 符合条件的所有整数的值之和是． 故答案为： ． 2．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解等知识点，理解分式方程增根的定义以及一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的关键． 根据分式方程的解法以及增根的定义确定a的取值范围，再根据不等式组的解集进一步确定a的取值范围，最后确定符合条件的所有整数a的和即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边都乘以可得：,解得：， ∵关于x的分式方程有非负整数解， ∴且a为偶数，即的偶数， 由于分式方程的增根为， 当时，即，解得，因此， 解关于y的不等式得：， 解关于y的不等式得：， 由于关于y的不等式组的解集是， 所以，即， 所以的偶数且， 所以符合条件的所有整数a的值之和． 故答案为：． 3．（2024·重庆渝北·二模）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键．解不等式组再结合解集为可得，解分式方程可得且，据此求得整数a的值即可解题． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， 关于x的不等式组的解集为， ， 解得， ， ， 整理得， 关于y的分式方程的解为非负整数，且a为整数， ，且a的取值为、3、和， 所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：6． 4．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，根据不等式组的解集确定a的范围，再解分式方程求出y的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， 综上所述：且， ∴符合条件的所有整数a的值为：， ∴符合条件的所有整数a的值的和为：， 故答案为：3． 题型10 不等式（组）与方程组的综合（★★★） 1．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 2．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案． 【详解】把两个方程相减，可得 与的和不小于 解得： k的取值范围为． 故答案为：． 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 4．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 5．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 题型11 列一元一次不等式（组）（★★★） 1．（2025·青海·三模）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了个，两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：已知剩下甲种原料千克，乙种原料千克，假设制作个型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（    ） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据甲、乙原料的总用量，找出不等关系是解题关键 设制作个型工艺品，则型工艺品为个，分别计算甲、乙原料的总用量，列出不等式组即可得答案． 【详解】解：设制作个型工艺品，则型工艺品为个， ∵每个型工艺品需甲种原料千克，每个型工艺品需甲种原料千克， ∴甲种原料总用量为：， ∵每个A型工艺品需乙种原料千克，B型需乙种原料千克， ∴乙种原料总用量为： ∴相应的不等式组为， 故选：B． 2．（2025·广东深圳·三模）研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了不等式的表示．分别求出最佳燃脂心率最高值，最低值，即可求解． 【详解】解：最佳燃脂心率最高值为， 最低值为， ∴15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为． 故选：B 3．（2024·河南商丘·模拟预测）某次知识竞赛一共有20道题，答对一道题得5分，不答得0分，答错一道题扣2分．已知小聪有一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答对了x道题，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据答对题的得分：；答错题的得分：，根据不等关系：得分要超过80分列不等式即可． 【详解】解：易得小聪答错了道题，依题意，得， 故选：C． 4．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可． 【详解】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，， 故选：B． 题型12 不等式（组）实际应用之经济问题（★★★） 1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 (2)购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 3．（2025·广西·一模）某文具店订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计，订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元． (1)求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，由于B种书签更契合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为12元和13元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每张A种书签的进价是6元，每张B种书签的进价是8元 (2)当购进15张A种书签，45张B种书签时，文具店将这批书签全部售出后获得的总利润最大，最大利润是315元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元， 根据题意得， 解得 答：每张A种书签的进价是6元，每张B种书签的进价是8元． （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签， 根据题意得，解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元， 则， 即， 易知，w随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， 此时（张）． 答：当购进15张A种书签，45张B种书签时，文具店将这批书签全部售出后获得的总利润最大，最大利润是315元． 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． (1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种纪念品每件的进价为 80 元，乙种纪念品每件的进价为 40 元 (2)共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件． (3)甲购进 44 件，乙购进 56 件时，可获最大利润 1992 元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元，再根据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元建立方程组求解即可； （2）设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件，根据购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元列出不等式组求解即可； （3）可求出每件甲纪念品的利润大于每件乙纪念品的利润，则甲越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种纪念品每件的进价为80元，乙种纪念品每件的进价为40元； （2）解；设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件． （3）解：， ∴每件甲纪念品的利润比每件乙纪念品的利润大， ∴甲纪念品越多，总利润越大， ∴甲购进 44 件，乙购进 56 件时获利最大，最大值为元． 题型13 不等式（组）实际应用之方案选择问题（★★★） 1．（2024·湖南·模拟预测）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元； (2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； （）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元， 由题意可得， 解得 答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元． （2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台． 根据题意得 解得． 共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类． 2．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 3．（2025·贵州毕节·三模）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)该工厂共有0种购买方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验是分式方程的解， ∴． 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元． （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件． 根据题意，得， 此不等式组无解． ∴该工厂共有0种购买方案． 4．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息： 信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元． 信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车． 任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ 任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用． 【答案】任务一：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元；任务二：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少，比预算节省200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可； （2）设租用辆大型客车，租用辆中型客车，根据总载客量不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论． 【详解】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得： ， 解得 所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元． 任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车， 根据题意得： ， 解得， 为正整数，所以可以为8或9． 方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车 方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车． ∵方案一的费用为：（元） 方案二的费用为：（元） ∴方案一的花费最少，比预算节省200元． 题型14 不等式（组）实际应用之分配问题（★★★） 1．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 2．（2023·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 ． 【答案】 【分析】设一楼有间房，则二楼有间房，再根据题意可列出不等式组，求得解集即可． 【详解】解：设一楼有间房，则二楼有间房， 根据题意有：，解得：， 且，即， 所以， 又因为：为正整数，因此． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断． 3．（2023·北京朝阳·一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 【答案】 1 1600 【分析】（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，根据题意列出不等式组求解即可； （2）33人中共有19名男士，则女士有14名，根据，，再结合该团已经租住了3间1人间，可得：安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省，据此解答即可． 【详解】解：（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数， 根据题意有：，解得：， ∵且x、y均为自然数， ∴可以取0和1， 当时，，不为自然数，舍去， 当时，，即他们租住了1间一人间． 故答案为：1． （2）33人中共有19名男士，则女士有14名， ∵，，该团已经租住了3间1人间， ∴安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省， 即：（元）． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查不等式组的应用、有理数的运算的应用，明确题意列出不等式组是解答本题的关键． 题型15 不等式（组）实际应用之其他问题（★★★） 1．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的边时，草坪的面积最小，为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪， ∴， 解得：， ∴x 的取值范围为； （2）解：由题意可得：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，的值最小，为， 故草坪的边时，草坪的面积最小，为． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的度数是固定的，为70° 【分析】本题主要考查平行线的判定、三角形内角和定理，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理得出，根据，．得出，进而得出，即可得证； （2）根据三角形内角和定理得出，在中，，在中，．根据题意可得且，解不等式组即可求解． （3）根据三角形内角和定理可得，在中，得出．在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）在中，， 所以． 因为，， 所以． 在中，， 在中，． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以且． 即， 解得；． 把代入得， 解， ∴． 移项得． 即， 解得． 所以． （3）在中，，所以． 因为，，所以． 在中，． 把代入得，所以的度数是固定的，为70°． 3．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______； (2)已知点，过点作平行于轴的直线． ①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标； ②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围； (3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查了新定义：与的“度量”，一元一次不等式组的拓展；理解新定义，能根据具体情况进行分类讨论，会解含有绝对值的不等式组是解题的关键； （1）由与的“度量”的定义，即可求解； （2）由线上与点的“度量”为2得，求出，即可求解；设直线上存在与点的“度量”为2的点为，由新定义得，可得，由即可求解； （3）由新定义可求、、、，进行分类讨论①，②，③④分别解出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：2； （2）解：由题意得： ， 过点作平行于轴的直线， 可设直线上点的坐标为， 直线上与点的“度量”为2， ， 整理得：， 解得：， 直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或； 设直线上存在与点的“度量”为2的点为， ， 整理得：， ， ， 解得：， 故的取值范围； （3）解：由题意得： ， 同理可求：， ， ， ， ①， 解得：或， ②， 解得：， ③ 解得：， ④ 解得：， 综上所述：或． 4．（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．    (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）； 当点运动到轴上时，求的面积； (3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①点在正方形内；② (3) 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形性质等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）用待定系数法可得直线解析式； （2）①当时，的坐标为，画出图形可知点在正方形内； ②当在轴上时，，此时的坐标为，用三角形面积公式可得的面积； （3）在直线上移动，当时，点在内部（含边界），解不等式即可解题． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线解析式为； （2）解：①当时，的坐标为，如图：    由图可知，此时点在正方形内； ②当在轴上时，，此时的坐标为，如图：     ， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图：    令，， ，即在直线上移动， 联立方程，解得， 由图可知，当时，点在内部（含边界）， 解得， 的取值范围是． 1．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 2．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，先求出k的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可．由条件可得和，根据非负性得出 k 的取值范围为 ，代数式为二次函数，开口向上，故最小值在时取得． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． 3．（2025·江苏苏州·三模）已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ，， ， A、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； B、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法正确，故本选项符合题意； D、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的两个交点坐标，则可得一个球从出发到落地的用时，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为， 将原点代入得：，解得， ∴， 令，则， 解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和， ∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴， 解得． 故答案为：． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知x，y，z为正整数，且，则满足的(x，y，z)有 组． 【答案】10 【分析】本题考查不等式的性质；二元二次方程的解，由可得，进而解得，又有x，y，z为正整数可得，4，5，6，当时，可得，从而解得或或或或，同理解出当，5，6时y、z的值即可． 【详解】解：∵x，y，z为正整数，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，原方程等价于，则，即， 解得或或或或． 同理，可得还有解为：， 则满足的解共10组． 故答案为：10． 6．（2025·重庆·模拟预测）我们规定：一个四位正整数M，其各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和为8，则称 为“齐发数”．把四位数 的千位数字与十位数字交换位置、百位数字与个位数字交换位置后得到新的四位数 规定 例如： ，∵，，∴是“齐发数”，则．如果“齐发数” ，则 ；已知四位自然数 是“齐发数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练掌握根据题意列式是解题的关键，根据题中“齐发数”的定义即可计算出的值，再根据题意求得，然后除以8，根据的取值找到满足条件的数的最大值． 【详解】解：∵“齐发数” ， ∴， ∴； ∵ 是“齐发数”， ∴千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴， ∴是8的倍数， ∵， ∴， ∴，即， ∴要求的最大值， ∴千位上的数字应尽可能大， ∵， 则百位上的尽可能小， ∴，， ∴，， ∴满足条件的数的最大值， 故答案为：；． 7．（2024·辽宁抚顺·二模）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 8．（2024·湖北·一模）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 【答案】(1) (2)的最大值为，的最大值为1420 (3)当时，选A产品；当时，选A产品或B产品均可；当时，选B产品 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题中所给的利润计算公式求解即可； （2）根据（1）中的函数解析式进行求解即可； （3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ∴当时，最大， ∴ ， 在中，， ∴抛物线开口向下， ∴顶点横坐标， 又∵B产品每日最多产销300件， ∴当时，最大，最大为； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴当时，A产品的最大利润更大，选A 产品； 当时， 解得，此时 A、B 产品利润相等，两种产品均可以选择； 当时， 解得， ∵， ∴时，B产品的最大利润更大，选B 产品． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 2．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 3．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 5．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 7．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 8．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 9．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $