专厅08一元一次不等式题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题08一元一次不等式题型突破讲义 基础 过关题 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 能力 提升题 5.求一元一次不等式的解集 6.求一元一次不等式的整数解 7.在数轴上表示不等式的解集 8.求一元一次不等式解的最值 拓展 拔高题 9.列一元一次不等式 10.用一元一次不等式解决实际问题 11.用一元一次不等式解决几何问题 一.不等式 1.不等式的定义 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 2.常见不等号含义 ＞：大于 ＜：小于 ≥：大于或等于（不小于） ≤：小于或等于（不大于） ≠：不等于 3.会列不等式 能把文字描述（如 “大于、不超过、至少、至多”）转化为不等式。 4.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 5.解集 一个不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。 二.一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式定义 只含一个未知数 未知数次数是1 不等号两边都是整式 2.判断标准（三要素） 一元（一个未知数） 一次（最高次数为 1） 不等式（含不等号） 3.会识别：给出式子能判断是否为一元一次不等式。 4.会检验：给定数值，判断是否是该一元一次不等式的解。 三.解一元一次不等式 1.不等式的三条基本性质 性质 1：不等式两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变。 性质 2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。 性质 3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向必须改变（易错点）。 2.解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母（注意：分母为负时，不等号变向） (2)去括号 (3)移项（移项要变号） (4)合并同类项 (5)系数化为 1（除以负数要变号） 3.会在数轴上表示解集 空心圈：不包含（＞、＜） 实心点：包含（≥、≤） 方向：大于向右，小于向左。 4.核心易错点 两边乘除负数时，忘记改变不等号方向 四.用一元一次不等式解决问题 1.列不等式解应用题的基本步骤 (1)审：找不等关系 (2)设：设未知数 (3)列：根据不等关系列一元一次不等式 (4)解：解不等式 (5)验：检验解是否符合实际意义 (6)答：写出答案 2.关键：抓关键词列不等关系 至少 → ≥ 至多 → ≤ 不超过 → ≤ 不少于 → ≥ 不足、低于 → ＜ 超过、高于 → ＞ 3.实际问题常见类型 分配问题、比较费用问题、方案选择、积分问题、行程 / 工程不等关系等。 4.注意:结果要符合实际意义（如人数、件数必须为正整数）。 【题型1.不等式的定义】 1．语句“与的和是非负数”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键．根据和运算、非负数的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 3．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 4．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【题型2.不等式的解集】 5．若整数a满足，则a的值为 ． 【答案】22或23或24或25或26或27或28或29或30 【分析】本题考查了整数的定义，不等式，理解整数的定义是解题的关键． 根据整数的定义即可求解． 【详解】解：∵整数a满足， ∴或23或24或25或26或27或28或29或30， 故答案为：22或23或24或25或26或27或28或29或30． 6．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 7．如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 8．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【题型3.不等式的性质】 9．若，则 4（填“” “”“＝”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据移项即可得到． 【详解】解：由， 移项可得，即， 故答案为：． 10．如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，则，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 11．若的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 12．已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：，， 由得：，故A选项错误，不符合题意； 由①得：， 将代入②得：， 整理得：，故B选项错误，不符合题意； 为非负实数， ，，故C选项错误，不符合题意； ， ， ， ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键． 【题型4.一元一次不等式的定义】 13．请写出一个解集为的一元一次不等式 （未知数的系数不为1）． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知解集写出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 14．下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； ()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； 综上，是一元一次不等式的有()和()，共个． 故选：B． 15．已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【答案】-1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以，求解即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查 16．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【题型5.求一元一次不等式的解集】 17．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．不等式两边同乘以3即可． 【详解】解：解不等式， 两边同时乘 3得． 故答案为：． 18．如图表示某个关于x的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，不等式解的定义及解一元一次不等式，先分析数轴表示的不等式，再利用“解的定义”列不等式，最后解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由图形得：， ∵是的一个解， ∴， ∴， 故选：A． 19．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 20．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 解答题 21．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 移项得：， 合并同类项得： 系数化为得：． 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 22．不等式的解集中，最小的整数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 先移项，合并同类项，然后系数化1即可求出不等式的解集，在解集中找出最小整数解即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得， ∴不等式的解集中最小的整数是2． 故答案为：2． 23．不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项即可求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 则正整数解有3，2，1，一共3个． 故选：C． 24．已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式． 首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值． 【详解】解：， 移项得， 即， 所以． 由于根是正数，即， 因此， 两边乘以2得， 即． 所以a的取值范围是， 最大整数值为． 故答案为：． 25．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故选：B． 解答题 26．求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 【题型7.在数轴上表示不等式的解集】 27．如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 28．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 数轴表示如下所示： 故选：B． 29．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答． 【详解】解：解不等式， 可得， 根据数轴可得不等式的解集为， 可得方程， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键． 30．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为：故选：A． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 31．已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 32．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 33．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 34．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 解答题 35．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 【题型9.列一元一次不等式】 36．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，熟练掌握“用数学符号表示文字描述的数量关系”是解题的关键． 先明确“x的5倍” “与3的差”的数学表达式，再根据“不大于”对应的不等号，列出不等式． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 37．根据“的2倍与3的差不小于10”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键． 直接根据的倍与的差即，再利用不小于即大于等于，进而得出不等式． 【详解】解：∵“的倍”为，“与的差”为，“不小于”即， ∴不等式为， 故选：D． 38．（1）的两倍与3的差小于5，则这个不等式是 ； （2）用不等式表示“与3的和不小于1”为 ． （3）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． （1）根据题意选择正确的不等号，列出不等式即可； （2）根据题意选择正确的不等号，列出不等式即可； （3）根据题意选择正确的不等号，列出不等式即可． 【详解】（1）解：依题意，的两倍与3的差小于5，即 故答案为：． （2）解：根据题意可列不等式：， 故答案为： ． （3）根据题意，得， 故答案为：． 39．小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高米，妈妈身高米，小乐登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，熟练掌握不等式的意义是解题的关键，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵小乐身高米，现登上一处有级台阶的观景台（每级台阶高度为a米）， ∴此时小乐的高度为：， ∵妈妈身高米，并且两个妈妈的身高加起来都没小乐的高度高， ∴， 故选：A． 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 40．小明在图书馆借了一本正文为600页的图书，原计划十天内看完，前两天共看了120页（正文），由于突发原因，要求提前两天还书，则小明后6天平均每天至少要看 页正文才能将全书看完． 【答案】80 【分析】本题考查的是不等式的应用，设小明后6天平均每天至少要看页，可得，再解不等式即可． 【详解】解：设小明后6天平均每天至少要看页， ∴， 解得：， ∴小明后6天平均每天至少要看页， 故答案为：80． 41．某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他一个月通话时间为，根据张老师选择方案一比方案二优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论. 【详解】解：设他一个月通话时间为元，根据题意得： ， 解得：， 答：他一个月通话时间可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，解决本题的关键是正确列出一元一次不等式． 42．甲步行的速度为，先走30min后，乙从甲的出发地沿相同方向追赶甲，乙步行的速度最快为．乙至少需要 h才能追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了追及问题的一元一次不等式应用，掌握追及问题中，用不等式表示追上的条件，求解时间的最小值是解题的关键． 设乙行走时间为小时，根据乙走的路程甲的总路程建立不等式，求解得到追及时间的最小值． 【详解】解：设乙需要小时才能追上甲．甲先走30分钟，即小时， 乙走的路程为，甲的总路程为， 追及的条件是乙的路程甲的总路程， 因此： 解不等式： ． 故答案为：． 解答题 43．某单位计划组织员工外出旅游，人数为10~25．甲、乙两家旅行社的服务质量都较好，且旅游的报价都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可免去一位带队领导的旅游费用，其他游客给予八折优惠． (1)若该单位有20人外出旅游，则选择甲旅行社需要__________元，选择乙旅行社需要__________元． (2)假设你是该单位负责人，怎样选择可使其支付的旅游总费用较少？ 【答案】(1)3000；3040 (2)当人数为时，选择甲旅行社总费用较少；当人数为时，选择甲、乙旅行社总费用相同；当人数为时，选择乙旅行社总费用较少． 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握根据题意列出费用表达式，并通过分情况讨论比较大小是解题的关键． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，直接代入人数20计算总费用； （2）设人数为，分别列出甲、乙旅行社的费用表达式，通过比较两个表达式的大小，分情况讨论得出费用较少的选择． 【详解】（1）解：甲旅行社费用：元； 乙旅行社费用：元； 答：甲需要3000元，乙需要3040元． （2）解：设该单位有人外出旅游，则选择甲旅行社的总费用为（元），选择乙旅行社的总费用为元． ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； 故：当人数为时，选择甲旅行社总费用较少；当人数为时，选择甲、乙旅行社总费用相同；当人数为时，选择乙旅行社总费用较少． 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 44．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 解答题 45．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 46．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，_______米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． (3)若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n（）块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是________．（写出满足条件的n的值） 【答案】(1)； (2)； (3)65或78． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的实际应用、列式计算等知识点，理解题意、读懂图形、找到等量关系，列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组求解即可； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程求出整数解即可． 【详解】（1）解：由方案一可知：(米)， 方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)． 故答案为：． （2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍， 由题意可得：，解得：． （3）解：设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片， ∴，即， ∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍， ∴，解得：（其中，且a，n都是正整数）， ∴当时，；当时，． 综上所述，n的值是65或78． 故答案为：65或78． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08一元一次不等式题型突破讲义 01 题型梳理 基础 1.不等式的定义 2.不等式的解集 过关题 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 能力 5.求一元一次不等式的解集 6.求一元一次不等式的整数解 提升题 7.在数轴上表示不等式的解集 8.求一元一次不等式解的最值 9.列一元一次不等式 拓展 10.用一元一次不等式解决实际问题 拔高题 11.用一元一次不等式解决几何问题 02 重点内容 不等式 1.不等式的定义 用不等号(>、<、≥、≤、≠)表示不等关系的式子叫不等式。 2.常见不等号含义 >:大于 <:小于 ≥：大于或等于（不小于） ≤：小于或等于（不大于） :不等于 3.会列不等式 能把文字描述（如“大于、不超过、至少、至多”）转化为不等式。 4.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 5解集 试卷第1页，共3页 个不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。 元一次不等式的概念 1.一元一次不等式定义 只含一个未知数 未知数次数是1 不等号两边都是整式 2.判断标准（三要素) 一元（一个未知数） 一次（最高次数为1） 不等式（含不等号） 3.会识别：给出式子能判断是否为一元一次不等式。 4.会检验：给定数值，判断是否是该一元一次不等式的解。 三.解一元一次不等式 1.不等式的三条基本性质 性质1：不等式两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变。 性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。 性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向必须改变（易错点）。 2.解一元一次不等式的一般步骤 ①)去分母（注意：分母为负时，不等号变向） (2)去括号 3)移项（移项要变号） (④合并同类项 (⑤系数化为1（除以负数要变号） 3.会在数轴上表示解集 空心圈：不包含(>、<) 实心点：包含（≥、≤） 方向：大于向右，小于向左。 4核心易错点 两边乘除负数时，忘记改变不等号方向 试卷第1页，共3页 四.用一元一次不等式解决问题 1.列不等式解应用题的基本步骤 )审：找不等关系 2)设：设未知数 )列：根据不等关系列一元一次不等式 (④解：解不等式 ⑤)验：检验解是否符合实际意义 ⑥答：写出答案 2.关键：抓关键词列不等关系 至少→≥ 至多→≤ 不超过→≤ 不少于→之 不足、低于→< 超过、高于> 3.实际问题常见类型 分配问题、比较费用问题、方案选择、积分问题、行程/工程不等关系等。 4.注意：结果要符合实际意义（如人数、件数必须为正整数）。 基础过关题 【题型1.不等式的定义】 1.语句“x与y的和是非负数”用不等式表示为： 2.下列式子：①x+y=5;②2x<4;③y-6;④m-4>5;⑤n≠7.其中是不等式的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.不超过a的最大整数是3，试用不等式表示a应满足的条件： 4.李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式() A.x<0 B.x=2 C.-2x+3>1 D.-2a≤0 【题型2.不等式的解集】 试卷第1页，共3页 5.若整数a满足21<a<31,则a的值为一 6.关于x的不等式(a-3x>a-3的解集是x>1,则a的取值范围是() A.a>3 B.a<3 C.a>1 D.a<1 7.如果关于x的不等式(m-2)x>n的解集是x>1,那么m,n满足的等量关系是 ，m的取值范围是 8.下列关系式中，不含有x=-1这个解的是() A.2x+1=-1 B.2x+1>-1 C.-2x+2>3 D.-2x-1<3 【题型3.不等式的性质】 9.若4x+5≥9，则4x 4(填“>”“<=“≥”或“≤”). 10.如果x>y,那么下列正确的是（) A.x+5<y+5 B. 1 1 2x<2 2 C.5x+1>5y+1 D.-5x>-5y 11.若m+2025)x<m+2025的解集为x>1,则m的取值范围是 12.已知两个非负实数a,b满足2a+b=3,3a+b-c=0,则下列式子正确的是() A.a-c=3 B.b-2c=9 C.0≤a≤2 D.3≤c≤4.5 【题型4.一元一次不等式的定义】 13.请写出一个解集为x<3的一元一次不等式」 (未知数的系数不为1)· 14.下列式子(1)5>4；(2)4x≤3x+1;(3)x2+1>x;(4)3x+1>9,是一元 一次不等式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.已知3m-2x2+m>1是关于x的一元一次不等式，那么m=_。 16.若关于x的一元一次不等式2a-x2+34>2,则a的值( B.1或 1 A.-1 C.-1或 D. 3 3 3 能力提升题 【题型5.求一元一次不等式的解集】 试卷第1页，共3页 17.不等式写x<2的解集是 18.如图表示某个关于x的不等式的解集，若x=m-2是该不等式的一个解，则m的取值 范围是() 3m+8 A.m<-5 B.m≤-5 C.m>-5 D.m≥-5 19.一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1 次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 是 输入x ×5 +2 ≥37 输出结果 否 20.若关于x的不等式r-b>0的解集为x<写，则关于x的不等式(a+)x>b-a的解集是 () 1 1 C.x-2 1 1 A.x<- 2 B.x< 2 D.x72 解答题 21.解下列不等式： (1)2(x-3≤8； z. 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 22.不等式4x-127的解集中，最小的整数是」 23.不等式3(x-1)<2x+1的正整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 24.己知关于x的方程3x+a=x-7的根是正数，则实数a的最大整数值为 25.若关于x,y的方程组 2x+y=3m 的解满足x-2y>7,则m的最小整数解为() x+3y=2 A.3 B.4 C.5 D.6 解答题 试卷第1页，共3页 26.求不等式x-5+2≥3x,1-4的正整数解. 3 2 【题型7.在数轴上表示不等式的解集】 27.如图，该数轴表示的不等式的解集是 3210 2→ 28.不等式x-2>1的解集在数轴上表示正确的是() A.1012345 B. -1012345 C.1012345 D. -1012345 29.关于x的不等式3≥k-x的解集在数轴上表示如图，则k的值为一 -5-4-3-2-1012345> 3x-2y=2k-5, 30.若关于x,y的方程组 2x-3y=3k 的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在 数轴上表示正确的是() B. 0 -8 0 C. D. 0 8 0 在数轴上表示为： 故选：A. -8 0 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 31.己知x4的最小值为a,x-7的最大值为b,则ab= 32.若不等式x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解，则m的取值范围是()， A.m≤-1 B.m<-1 c.m≥-1 D.m>-1 33.己知m为整数，若m+2023,4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的m的最小值 为」 试卷第1页，共3页 2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数4的最小值为() x-a<0, 34.已知关于x的不等式组 A.2 B.3 C.4 D.5 解答题 2x+y=5 35.己知x、y满足 3x-4y=1m+2和x+y≤0，求m的最小值. 拓展拔高题 【题型9.列一元一次不等式】 36.根据“x的5倍与3的差不大于2”，可列不等式为 37.根据“x的2倍与3的差不小于10”列出的不等式是() A.2x-3<10B.2x-3>10 C.2x-3≤10 D.2x-3≥10 38.(1)x的两倍与3的差小于5，则这个不等式是 (2)用不等式表示“4m与3的和不小于1”为 (3)a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 39.小乐和妈妈去公园游玩，小乐身高1.4米，妈妈身高1.6米，小乐登上一处有10级台阶的 观景台（每级台阶高度为α米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！” 由此可得关于a的不等式是(). A.1.4+10a>1.6×2 B.1.4+10+a>1.6×2 C.10a>1.6x2 D.1.6×2>1.4+10a 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 40.小明在图书馆借了一本正文为600页的图书，原计划十天内看完，前两天共看了120 页（正文），由于突发原因，要求提前两天还书，则小明后6天平均每天至少要看页 正文才能将全书看完。 41.某通信运营商推出两种话费收费方案.方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1 元min.方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元/min.若张老师选择方案一比方案 二优惠，则他一个月的通话时间可能为() A.60min B.70min C.72min D.80min 42.甲步行的速度为5km/h,先走30min后，乙从甲的出发地沿相同方向追赶甲，乙步行 试卷第1页，共3页 的速度最快为6km/h.乙至少需要 h才能追上甲. 解答题 43.某单位计划组织员工外出旅游，人数为10-25.甲、乙两家旅行社的服务质量都较好， 且旅游的报价都是每人200元.该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠， 乙旅行社表示可免去一位带队领导的旅游费用，其他游客给予八折优惠， (1)若该单位有20人外出旅游，则选择甲旅行社需要 元，选择乙旅行社需要 元 (2)假设你是该单位负责人，怎样选择可使其支付的旅游总费用较少？ 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 44.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公 式：设三角形的三条边长分别为Q、b、C,则三角形的面积S可由公式 S=√p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九 韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为() A.2 B.3 C.√7 D.11 解答题 45.如图，点A,B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是-2，点B对应的 数字是m,且AB=10 叉 B -2 m (1)求m的值： (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A,B的距离之和大于30个单位 长度，求此时点C对应的数n的最小整数值， 46.某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相 同的长方形大玻璃（如长方形ABCD),并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型 号玻璃片大小、形状都一样 E 丙 甲 丙丙丙丙 丙 丙 丙 扇窗户 方案 方案二 (1)若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE= 米，AF= 米 试卷第1页，共3页 (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、 丙两种玻璃片.设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割.若所购大玻 璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值 (3)若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n(60<n<80)块大玻璃片并按以上方案进行切 割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则的值是·（写出 满足条件的n的值) 试卷第1页，共3页