第八章 立体几何初步（单元测评卷）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 2．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积即可． 【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，解得， 所以圆锥的底面半径，圆锥的母线， 这个圆锥的表面积是：. 故选：C． 3．已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 故选：A. 5．在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接相交于，连接,则是的中点， 故，故即为异面直线与所成的角或其补角， 由于，故， 由于, 故, 故,结合, 故，即异面直线与所成的角为， 故选：C 6．如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则点O到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等体积法求解即可. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 设点O到平面的距离为， 由， 得，解得， 即点O到平面的距离为. 故选：D. 7．正四面体中，分别是棱的中点，则不正确的选项为（    ） A．平面 B． C．平面 D．四点共面 【答案】C 【分析】选项A，根据条件得到，利用线面平行的判定定理，即可判断出选项A的正误；选项B，根据条件得到面，利用线面垂直的性质，即可判断出选项B的正误；对于选项C，根据条件得到，而不垂直，即可判断选项C的正误；对于选项D，利用，即可判断选项D的正误. 【详解】将正四面体放置到正方体中， 对于选项A，如图1，因为上棱的中点，所以， 又面，面，所以平面，所以选项A正确，    对于选项B，如图2，取中点，连接，因为四面体是正四面体， 所以，又，面， 所以面，又面，所以，故选项B正确，    对于选项C，如图3，由选项A知，，又是等边三角形，所以与不垂直， 故与不垂直，若平面，又平面，则，所以选项C错误， 对于选项D，如图3，因为是的中点，所以，又， 所以，故四点共面，所以选项D正确，    故选：C. 8．已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连接，过作， 因为，由正弦定理得，得，同理可得， 由题意， 设正三棱台的外接球球心为O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为2 B．表面积为 C．高为 D．体积为 【答案】ABC 【分析】首先根据圆台的上底面周长求出，进而可根据母线的公式求出母线长和高，从而可求出体积、表面积. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，因为扇环所对的圆心角为180°， 所以，又，所以，同理， 故圆台的母线，高， 体积， 表面积，故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC. 10．如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面平面PBM C．存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D．若，则直线CM与平面PAM所成角为 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直的性质可得面平面，即可求解判断AB；根据线面平行的性质即可求解可判断C，直线与平面所成的角为，求解可判断D. 【详解】对于A，平面平面， 平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，设平面平面，假设底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故C错误； 对于D，由A知平面，在矩形中，， 直线与平面所成的角为，在中，，故D正确. 故选：ABD 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（） A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，过做一个平面，使得该平面与平面平行，该平面与正方体左侧面的交线段即为动点的轨迹；对于B，或其补角为异面直线与的夹角，在三角形中求角即可；对于C，由A知平面，故点到平面的距离为定值，又的面积为定值，进而体积为定值；对于D，取的中点，连接，则四边形为为正方体的截面，计算边长即可求面积. 【详解】对于A，如图： 分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确； 对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误； 对于B，如图： 连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对于D，如图： 取的中点，连接，取的中点，连接， 易知且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且. 同理可证四边形也为平行四边形，所以且， 所以且. 所以四点共面，即四边形为为正方体的截面，，同理可求得四边形为的其它边长也为， 故该四边形为为棱形，对角线，， 故该棱形的面积为，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ； 【答案】 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 故答案为：. 13．如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为    【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】      解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 14．正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为 . 【答案】 【分析】画出截面图形，由梯形的面积计算即可. 【详解】取中点，延长交于点， 如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线， 则，，， 设梯形的高为则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 16．（15分） 正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，结合梯形的面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）取，O分别为上、下底面的中心，连接，，，得到底面，过点作，得到四边形为矩形，求得正四棱台的高为，结合台体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成， 因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为， 可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为， 所以正四棱台表面积为. （2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心， 连接，，，则底面，且，， 过点作交AO于点，则底面， 可得四边形为矩形，且，所以， 因为，所以，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】 （1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 18．（17分） 如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析； (2)19 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案； 【详解】（1）由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2），，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 19．（17分） 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第八章立体几何初步综合检测卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.下列四个命题中正确的是() A.所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B.正三棱锥的每个面都是正三角形 C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D.以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 2.若一个圆锥的轴截面是面积为4√3的等边三角形，则该圆锥的表面积为() A.8π B.4π C.12π D.16π 3.己知直线1，m及平面，B,则下列命题正确的是() A.若111a,a∩B=m,则1m B.若1/1a,m/1a,则11lm C.若1⊥a,m/1a,则1⊥m D.若1/1a,m⊥1，则m⊥a 4.如图所示，梯形A'B'CD'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2,B'C'=A'B'=1,则 平面图形ABCD中对角线AC的长度为() B D A.5 B.5 C.2 D.2 5.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,AB=√2，E是PC中点，则异面直线PA与BE所成的角为() A月 B. c牙 D.8 6.如图，在四面体OABC中，OA,OB,0C两两垂直，己知0A=0B=2,0C=1,则点O到平面ABC 的距离为() 1/5 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B Q A.6 B.3 C.3 D.6 4 3 3 7.正四面体A-BCD中，E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，则不正确的选项为() A.EFI/平面ACD B.AC⊥BD C.AB⊥平面FGH D.E,F,G,H四点共面 8.己知正三棱台ABC-A,B,C,的高为5，AB=3√5，A,B,=6V2,则该正三棱台外接球的表面积为() A.68π B.88π C.96π D.100元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的() A.母线长为2 B.表面积为11π C.高为 D.体积为23 1O.如图，已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点P的位置不确定，点M在棱CD上，且AM⊥BM, 平面PAM⊥平面ABCD,则下列结论正确的是() D A.PA⊥BM B.平面PAM⊥平面PBM C.存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D.若4D=25,MD-2,则直线CM与平面PAM所成角为写 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，O为正方体的中心，M为DD,的中点，F为侧面正方 形AAD,D内一动点，且满足BF∥平面BC,M,则() 2/5 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B D B A.动点F的轨迹是一条线段 B.直线AB,与BC,的夹角为60° C.三棱锥F-BC,M的体积是随点F的运动而变化的 D.平面AMC,截正方体所得截面的面积为2√6 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH,正四棱锥 P-EFGH的高为1，EF=2,AE=1,则该组合体的体积为 D A 13.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2AA,=2,N为AC的中点，M为线段AA,上的点则 MN+MB的最小值为 A N C M B B 14.正方体ABCD-AB,CD的棱长为x,点M是棱AA的中点，过C,D,M三点作正方体的截面，则该截 面的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(13分) 如图所示，在ABC中，AC=12cm,AC边上的高BD=12cm· B D (1)画出水平放置的ABC的直观图； (2)求直观图的面积. 16.(15分) 正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4. (1)求它的表面积； (2)求它的体积 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E,F分别为AD,PC的中点，设平面PCD∩平 面PBE=I D 1 D E B (I)证明：DF/平面PBE; (2)证明：DF111: ③)在棱AB上是否存在点N,使得EN11平面FBD?若存在，求出4N的值；若不存在，说明理由 NB 18.(17分) 如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5√5，∠ADC=90°，∠BAD=30,点E,F满足 AE=2AD,A正=！AB,将△AEF沿EF翻折至PEF,使得PC=4V万 2 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C (I)证明：EF⊥PD; (2)求五棱锥P-BCDEF的体积 19.(17分) 如图，三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，CD=2√5，平面ABD⊥平面BCD, AD⊥CD,P,M分别为AD,CD的中点 BE D (I)证明：BP⊥平面ACD; (2)求MP与平面BPC所成角的余弦值； (3)求二面角P-BM-D的正弦值， 5/5