第八章 立体几何初步全章综合检测卷（提高篇）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第八章 立体几何初步全章综合检测卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·山东烟台·期末）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（5分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 5．（5分）（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 7．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·广东广州·期末）如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（     ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．的面积与的面积相等 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·月考）下列命题中为假命题的有（    ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 10．（6分）（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 11．（6分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为 . 13．（5分）（24-25高一下·甘肃兰州·月考）《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 14．（5分）（24-25高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 16．（15分）（24-25高二上·四川乐山·月考）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 17．（15分）（24-25高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 18．（17分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 19．（17分）（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·山东烟台·期末）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解题思路】利用线面，面面关系的判定定理与性质定理可判断A，B；通过作图举反例可说明C错误；利用线面垂直的性质即可判断D正确. 【解答过程】对于A，由，可得或相交或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，如图，长方体中，取平面为平面，平面为， 为直线，则，，但是得不到，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.可判断D正确. 故选：D. 2．（5分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【解答过程】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 3．（5分）（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆台的上、下底面的半径，结合圆台的母线长，代入圆台的表面积公式计算即可． 【解答过程】∵圆台的上、下底面面积分别为和， ∴圆台的上、下底面半径分别为6和7，又圆台的母线长5， ∴圆台的表面积为. 故选：B． 4．（5分）（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，作出三视图对应的原图形，进而求得周长. 【解答过程】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A. 5．（5分）（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【解答过程】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 6．（5分）（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【解答过程】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·广东广州·期末）如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（     ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．的面积与的面积相等 【答案】D 【解题思路】对于A由线面垂直的性质定理即可判断，对于B计算，点到平面的距离即可判断，对于C由面面平行的性质定理即可判断，对于D计算即可判断. 【解答过程】对于A：，点为的中点，所以，由正三棱柱 有：平面平面， 又平面平面，平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：由平面，所以为点到平面的距离，又， 所以，，所以，故B正确； 对于C：由正三棱柱 ，平面平面，又平面， 所以平面，故C正确； 对于D：取的中点为，连接，由，，所以， ，，所以，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·月考）下列命题中为假命题的有（    ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 【答案】AB 【解题思路】利用圆台、棱台、棱柱的结构特征逐项判断即得. 【解答过程】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误； 对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D正确. 故选：AB. 10．（6分）（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【解题思路】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【解答过程】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【解题思路】根据线面角的定义判断A，取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，求解可判断B，利用等体积法求解可判断C，利用定义法求得异面直线所成的角的余弦值可判断D. 【解答过程】因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角不是，故A不正确； 如图，取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面面，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 因为，，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B正确； 因为，，所以， ，， 设到面的距离为，由，得， 所以，解得，故C正确； 如图，过分别作，交于点，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以两条异面直线所成的角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·安徽宣城·期末）已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为 . 【答案】 【解题思路】利用斜二测画法还原直观图可得原平面图形，计算周长即可. 【解答过程】由题可知，，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形，为平行四边形，如图所示， 则， 所以, 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·甘肃兰州·月考）《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解题思路】先作出异面直线成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解. 【解答过程】 连接，则，则异面直线与所成角的平面角为, 设，则，. 则，则.. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 . 【答案】 【解题思路】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【解答过程】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图． 【解答过程】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 16．（15分）（24-25高二上·四川乐山·月考）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【解答过程】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 17．（15分）（24-25高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用三棱锥体积公式应用等体积计算点到平面距离即可. 【解答过程】（1）证明：取棱的中点E，连接． 因为四边形是菱形， ，所以． 因为E是棱AD的中点，所以，则． 因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为，所以的面积． 由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积． 因为，所以的面积． 设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积． 因为，所以， 解得，即点A到平面的距离为． 18．（17分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 【答案】(1)作图见解析 (2)小几何体与大几何体的比值为 【解题思路】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【解答过程】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. 19．（17分）（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【解答过程】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $