第六章 平面向量及其应用全章综合检测卷（基础篇）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第六章 平面向量及其应用全章综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念即可判断. 【解答过程】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 3．（5分）（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【解答过程】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 4．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【解答过程】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 【答案】A 【解题思路】根据两向量垂直得到方程，求出，进而得到，，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【解答过程】因为⊥，所以，解得， ，， 设与的夹角为，则， 所以. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【解答过程】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 8．（5分）（24-25高一下·山东青岛·期中）在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【解答过程】以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，则，， 所以， 因为，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【解答过程】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，若，则 ，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10．（6分）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解题思路】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【解题思路】利用余弦函数的单调性可判断A；由正弦定理可判断B；分析的正负可判断C；由正弦定理、两角和的正弦展开式可判断D． 【解答过程】对于A，，函数在上单调递减， 所以，故A正确； 对于B，，由正弦定理可得，，故B错误； 对于C，， ，，为三角形的内角， 且三角形中最多只有一个钝角， ，可知，，均为锐角，得到为锐角三角形，故C正确； 对于D：，且， 所以由正弦定理可得， 又， 因此， ，，则或， 当时，三角形为等腰三角形， 当时，，三角形为直角三角形， 综上，三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量满足，，且，则 . 【答案】 【解题思路】由可得，结合及题中条件即可求解. 【解答过程】∵，∴. ∵，， ∴， ∴，∴. 故答案为：. 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，于点，为的中点．若，则 .    【答案】 【解题思路】根据三角形边长和角度，以为基底表示出，即可得. 【解答过程】在中，，∴， 又因为，可得； 可得， ∵为的中点， 所以，由， 因此. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则 ． 【答案】 【解题思路】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【解答过程】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解答过程】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 16．（15分）（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)1， (2) 【解题思路】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【解答过程】（1）. . （2）因为， ， 所以，解得. 17．（15分）（24-25高一下·贵州黔西·月考）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【解答过程】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 18．（17分）（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可. （2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，. 又因为， 所以，解得：或. （2）因为，， 所以，. 又因为，， 所以，解得：， 则. 所以，. 设向量，的夹角为， 由，得 所以向量，的夹角为. 19．（17分）（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章综合检测卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（5分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 4．（5分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（5分）（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 7．（5分）（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·山东青岛·期中）在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10．（6分）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 11．（6分）（24-25高一下·安徽合肥·期中）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量满足，，且，则 . 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，于点，为的中点．若，则 .    14．（5分）（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 16．（15分）（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 17．（15分）（24-25高一下·贵州黔西·月考）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 18．（17分）（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 19．（17分）（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $