数学二模模拟卷01（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C B C B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．250 13．1 14．, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 【解析】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．（4分） 因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为.（6分） （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得，（11分） 则的面积为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：由题知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以， 所以．（6分） （2）设平面的一个法向量， 由（1）知，， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量，（10分） 设平面的一个法向量， 由（1）知，， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量，（13分） 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 17．(15分) 【解析】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 至少有1次查验不顺利的概率为.（4分） （2）的可能取值为， ； ； . 所以的分布列列表为： 所以的均值为.（10分） （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题知，在抛物线上， 所以，根据焦半径公式，.（3分） （2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即， 解得（9分） （3） 解： 因为是轴上两个不同的动点，且满足， 所以直线的斜率互为相反数，（12分） 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得， 所以.(17分) 19．（17分） 【解析】（1）时，， ，（1分） 令，得，（2分） 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为.（5分） （2）（i）因为 ； 其中，（7分） 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列.（10分） （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：，（12分） 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．6 B．12 C．14 D．26 4．“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（新情景）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 7．（新定义）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（热点）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．关于的不等式的解集为 11．（数学文化）须弥座是一种古建筑的基座形式，它由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（   ） A．该正六棱台的高为 B．该正六棱台的侧面与下底面的夹角为 C．该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为 D．该正六棱台的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则 . 13．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 14．（创新题）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 16．（15分） （热点）如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．(15分) （新情景）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 18．（17分） （热点）已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 (1)求 (2)求直线的斜率的值； (3)是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．6 B．12 C．14 D．26 4．“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（新情景）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 7．（新定义）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（热点）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．关于的不等式的解集为 11．（数学文化）须弥座是一种古建筑的基座形式，它由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（   ） A．该正六棱台的高为 B．该正六棱台的侧面与下底面的夹角为 C．该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为 D．该正六棱台的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则 . 13．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 14．（创新题）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 16．（15分） （热点）如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．(15分) （新情景）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 18．（17分） （热点）已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 (1)求 (2)求直线的斜率的值； (3)是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【解析】因为，，故. 故选：A. 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．【答案】D 【解析】依题意，， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 3．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．6 B．12 C．14 D．26 3．【答案】C 【解析】； ． 故选：C. 4．“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．【答案】B 【解析】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 5．已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】C 【解析】因为函数是偶函数，所以， 因为，且函数在上是减函数， 所以，即. 故选：C 6．（新情景）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 6．【答案】B 【解析】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 7．（新定义）直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图象上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”， 与可看作一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．【答案】B 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数的图象关于原点对称的图象，判断其与函数图象 交点个数即可， 如图所示： 当时，，当时，，且，观察图象可得：它们有2个交点，故的“姊妹对点”有2个. 故选：B． 8．（热点）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 8．【答案】D 【解析】 为的内心，为角平分线交点， 又，故，， ，又，， 直线的斜率为，，在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9.【答案】AC 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10．（热点）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．关于的不等式的解集为 10．【答案】ABC 【解析】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，，， 对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B正确； 对于C，，的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由，得，则， 解得，D错误. 故选：ABC 11．（数学文化）须弥座是一种古建筑的基座形式，它由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（   ） A．该正六棱台的高为 B．该正六棱台的侧面与下底面的夹角为 C．该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为 D．该正六棱台的体积为 11．【答案】BCD 【解析】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，    对于A，由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为， 所以梯形的高为， 由此可得该正六棱台的高为，错误； 对于B，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧面与下底面的夹角为， 因为在直角梯形中，，，所以， 易知为锐角，所以，正确； 对于C，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧棱与下底面所成角为， 在直角梯形中，，得， 所以，正确； 对于D，该棱台上底面面积，下底面面积， 故棱台的体积为，正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则 . 12．【答案】 【解析】设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为， 所以，解得，， 从而. 故答案为： 13．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 13．【答案】 【解析】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 14．（创新题）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是 14．【答案】, 【解析】当位于半圆弧中点时，，而，所以，，． 以为建立平面直角坐标系，如图， 由已知， 因此半圆弧的方程为（在直线上方的部分）， 在半圆弧（包括端点）上，则， ， ， 又，所以， 由对称轴，当在半圆弧（包括端点） 上时，， 同理当在半圆弧（包括端点）上时有，在半圆弧（包括端点）上时有， 综上，， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 15．(13分) 【解析】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 16．（15分） （热点）如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 【解析】（1）证明：由题知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以， 所以． （2）设平面的一个法向量， 由（1）知，， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 由（1）知，， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．(15分) （新情景）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 17．(15分) 【解析】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 至少有1次查验不顺利的概率为. （2）的可能取值为， ； ； . 所以的分布列列表为： 所以的均值为. （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 18．（17分） （热点）已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 (1)求 (2)求直线的斜率的值； (3)是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 18．（17分） 【解析】（1）由题知，在抛物线上， 所以，根据焦半径公式， （2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 （3） 解： 因为是轴上两个不同的动点，且满足， 所以直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得， 所以 19．（17分） 已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 19．（17分） 【解析】（1）时，， ， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （2）（i）因为 ； 其中， 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列. （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：， 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 ! 姓 名： 准考证号： 注意事项 ! 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[AB][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 3 14 探 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D R 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）