精品解析：安徽省定远县第三中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷）

安徽省定远县第三中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为（） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列是递增数列 C. D. 数列是等比数列 11. 已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，求时n的值. 16. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 19. 已知数列满足且． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）令，记的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省定远县第三中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 3. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 5. “”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，两点到直线：的距离相等， 则， 即， 解得或， 所以“”是“，两点到直线：的距离相等”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆与直线相切于原点得到圆心在直线上，并依据与切线垂直得到圆心坐标参数关系；再代入圆经过抛物线焦点的条件求出圆心具体坐标，进而得到半径与圆的标准方程. 【详解】由抛物线得焦点， 又圆经过并与直线相切于原点， 设圆心，半径，圆过且在此点与直线相切，说明直线， 直线的斜率，则的斜率， 垂直条件：，， 且在圆上，所以，即， 经过：则， 代入和得： 展开得：，即， 即 故，， 由圆心为，半径，圆的方程为 故选：C 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列是递增数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】令结合等比数列定义即可分析求解判断AB；由等比数列前n项和公式即可求解判断C；求出数列通项公式即可由等比数列定义分析判断D. 【详解】因为， 所以即， 所以数列是以3为首项和公比的等比数列，且数列是递增数列，故AB正确； 数列的前项和为，则， 所以由得，故C错误； 因为，所以常数， 所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB 11. 已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算以及坐标法可判断各选项. 【详解】A选项：由已知若，则在线段靠近的三等分点处，此时点不在正方体表面，A选项错误； 如图所示建立空间直角坐标系， B选项：由已知，又点在棱上，则可设，， 则由，得，解得，B选项正确； C选项：由已知，设，， 则，即， 则， 所以与所成角的余弦值为， 当时，， 当时，设，则， 综上所述，即，C选项正确； D选项：由已知，设，且， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 若平面，则，即， 即点在直线上， 又直线与正方形有公共点，所即存在点可使得平面，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由线面平行得到，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式、下标和性质结合题意直接计算即可得解. 【详解】因为数列为等差数列且， 所以. 故答案为： 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，求时n的值. 【答案】（1） （2）1或10 【解析】 【分析】（1）由条件结合等差数列的通项公式列方程即可求得与公差的值，从而求得通项公式； （2）由等差数列的求和公式列方程求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题知 解得 所以. 【小问2详解】 由（1）可得. 当时，，即，解得或. 故当时，n为1或10. 16. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）圆的标准方程. （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由圆所过的点结合待定系数法计算求解即可； （2）由圆心到直线距离和弦长公式列等量关系求出直线斜率即可得解. 【小问1详解】 设圆M的方程为， 则由题有， 所以圆的方程为， 则圆的标准方程. 【小问2详解】 由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径， 当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3， 此时弦长，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线，即， 又，所以圆心到直线距离或. 所以直线的方程为或. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再由平面夹角的向量法公式直接计算即可求解； （2）由点到平面的向量法距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，连接，因为平面，所以， 又，所以，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，即，取，则， 同理可得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 若，则， 又由（1）平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1）的方程为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的不等式组求出即可求解； （2）由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； （3）联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，则， 所以， 所以直线的方程为即； 【小问3详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 19. 已知数列满足且． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）令，记的前项和为，证明：． 【答案】（1） 因为且， 所以，即 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）； （3） ， 所以的前项和为 . 【解析】 【分析】（1）由题设得到即可由等比数列定义得证并求出通项公式； （2）由错位相减法结合等差等比前n项和公式计算即可； （3）由计算，从第三项起进行放缩结合等比数列前n项和公式计算即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）， 所以数列的前项和 ； 所以， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $