8.2立方根（第2课时 立方根的性质和计算器求值)（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦立方根的相关性质及估算，涵盖负数立方根性质、计算器求立方根、小数点移动规律及x³=a型方程解法。通过“求∛(-27)的值”问题导入，回顾立方根定义与性质，类比平方根学习过程，以“观察-猜想-验证-归纳”为支架构建新知。 其亮点在于采用类比推理与探究式教学，通过议一议推导负数立方根性质培养数学思维，结合长方体体积问题体现模型意识。课堂小结系统梳理知识与易错点，助力学生提升运算及逻辑思维能力，也为教师提供结构化教学资源。

8.2 立方根 第2课时 立方根的相关性质及估算 第八章 实 数 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。 通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。 感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。 一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根． 1.立方根的定义是什么？ 知识回顾 2.立方根有什么性质？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 3.平方根和立方根的异同点 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 无平方根 零 有一个,是负数 零 正数 负数 零 导入新课 你发现与值的关系了吗？ 大家能快速求出的值吗？有什么简便方法可以直接得出结果？ ∴ = ∵ 立方根性质 引出课题：今天我们继续学习立方根的相关知识，重点探究立方根的性质拓展、计算器求一个数的立方根及实际应用。 4 新知探究 探究点1 一个负数立方根的性质 议一议 （1） 计算和，它们有什么关系？ =2 = 2 （2）你能从中发现什么规律？ （3）你能推导出这个的结论吗？ 被开方数互为相反数 结果也互为相反数 结果 设，则， ∴， ， 即 。 新知探究 探究点1 一个负数立方根的性质 议一议 一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反数 （或负数的立方根可以将负号提到根号外）。 （4）你能用语言表述上面的结论吗？ （5）怎样化简下列各式： 你做对了吗？ 新知探究 探究点2 用计算器求一个数的立方根 议一议 用计算器求， ►依次按键、3 ►显示近似值：1.442249570， ∴. 类似于开平方根，我们是利用立方与立方根的关系求立方根的。 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。我们可以借助计算器来求一个的立方根 一些计算器设有键， 用它可以求出一个数的立方根（或其近似值） 用计算器求算术平方根的操作步骤 按键“” →输入被开方数 →按等号键. 方法： 示 例 用计算器求. ►依次按键、2、1、9、7， ►显示:13 ∴ 具体操作可参见计算器的使用说明 7 新知探究 探究点2 用计算器求一个数的立方根 议一议 常用计算器求立方根的方法 计算器上有“”这个键直接进行开立方运算 开立方运算要用到的键是________ 开立方运算的按键顺序为: __________________________ 被开立方数 = 开立方运算要用到的键是_____________ 开立方运算的按键顺序为: _________________________________ 被开立方数 = 注意：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同。 3 计算器上有“”这个键进行开立方运算 注意：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同 8 新知探究 探究点3 立方根的值与被开方数的小数点位置的关系探究 议一议 （1）用计算器计算 ··· ··· ··· 0.06 0.6 6 60 被开方数的小数点向右或向左移动3位， 它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 ··· 新知探究 探究点3 立方根的值与被开方数的小数点位置的关系探究 议一议 ··· ··· ··· 0.06 0.6 6 60 ··· 被开方数的小数点向左(或右)移动3n(n为正整数)位， 它的立方根的小数点就相应地向左(或右)移动n位; 你发现了什么规律? （1）用计算器计算 新知探究 探究点3 立方根的值与被开方数的小数点位置的关系探究 议一议 （2）用计算器计算（结果保留小数点后三位）， 你能利用你发现的规律求出，，的近似值。 4.642 4.642 4.642 小数点向左移动3位 小数点向左移动1位 小数点向左移动6位 小数点向左移动2位 小数点向右移动3位 小数点向右移动1位 0.4642 0.04642 46.42 被开方数的小数点向右或向左移动3位， 它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 新知探究 探究点4 型方程的解法 议一议 （1）方程的解是什么？为什么？ （2）你能解下列方程吗？ 若， 则 方程 解得：。 根据立方根的定义， 开立方 解得： 解得： （3）移项 解： 典例分析 例1：求下列各式的值. (1); (2) ; （3） . 解： (1); (2); (3). 典例分析 例2：一个长方体木箱的体积是，长是宽的 2 倍，高是宽的 3 倍，求这个木箱的长、宽、高（结果保留根号）。 解：设木箱的宽为，则长为，高为； 根据长方体体积公式，得： ； 化简方程：， 解得：； 答:长为，宽为，高为。 典例分析 例3.已知的平方根是，的立方根是4，与是同类项，求的立方根. 解：根据题意得：， 解得，， ∴， ∴的立方根是， 即： 答：的立方根是． 新知巩固 1. 求下列各式的值： 解： ; 教材P50 练习 新知巩固 2.用计算器求下列各式的值： (结果保留小数点后三位) 显示： 19 所以： =19 (1)依次按键 6 8 5 9 = 解： 显示： 41 所以：=41 (2)依次按键 6 8 9 2 1 = 显示： 0.3039911124 所以： ≈0.304 (3)依次按键 0 · 0 2 8 0 9 2 = 教材P50 练习 新知巩固 3.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ 解： (1)因为13=1，23=8，所以1＜ ＜2. (2)因为43=64，53=125，所以4＜ ＜5. (3)因为83=512，93=729，所以8＜ ＜9. (4)因为(-4)3=-64，(-3)3=-27，所以-4＜ ＜-3. 教材P50 练习 拓展提升 1.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ （1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 真题感知 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． （1）∵， ∴， ∴， ∴ 即 ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 解： 真题感知 2.已知a的平方根是它本身，b是的立方根，求的值 解:∵a的平方根是它本身， ∴， ∵b是的立方根， 即b是8的立方根， ， 则：． 真题感知 3.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）． 解：设正方体的棱长为xcm，由题意得， ， 解得， 答：正方体的棱长约为6cm． 课堂小结 （1）性质拓展：（负数的立方根可将负号提到根号外）； (2)用计算器求算术平方根的操作步骤： 按键“”→输入被开方数→按等号键； （3）被开方数的小点向左（或向右）移动3位． 它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位； （4）方程的解为； （5）实际应用： 将立方体（或长方体）体积问题转化为立方根求解问题。 知识总结： 课堂小结 （1）混淆立方根与平方根的运算法则： 平方根的被开方数需非负，立方根的被开方数可任意实数； （2）审题不清： 未区分题目考查的是平方根还是立方根，导致求解错误。 方法总结： （1）符号处理法：利用简化负数立方根的计算，避免符号错误； （2）实际问题中，通过设未知数、建立方程（或等量关系），将实际问题转化为数学问题求解； （3）综合运用平方根与立方根知识时，先根据已知条件求出相关字母的值，再代入求解目标式子。 易错提醒： 课后练习 2.用计算器求下列各式的值 (结果保留小数点后三位) (1) (2)- (3) ± 显示： 17.728 433 77 所以： (1)依次按键 5 5 7 2 = 解： 显示： -0.425 290 370 3 所以：- -0.425 (2)依次按键 1 ÷ 1 3 = - 显示： 2.961985444 所以：± (3)依次按键 2 5 · 9 8 6 5 5 8 = 习题8.2 教材P51页 课后练习 3.比较下列各组数的大小： 解： (1) 因为7 < 23 , 所以 < 2； (2) 因为9 < 2.53 , 所以 < 2.5； (3) 因为-3 > , 所以 > ； ； 习题8.2 教材P51页 课后练习 7.一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？n倍呢？ 解:设正方体的棱长为x，则体积为x3。 体积 x3 8x3 27x3 64x3 125x3 216x3 ··· nx2 棱长 x 2x 3x 4x 5x 6x ··· 答:体积扩大为原来的8倍，棱长变为原来的2倍； 体积扩大为原来的27 倍，棱长变为原来的3倍； 体积扩大为原来的n倍，棱长变为原来的 倍 习题8.2 教材P51页 课后练习 解： 8.(1)求 的值。 对于任意数a， 等于多少？ (2)求的值。 对于任意数a 等于多少？ (1) (2) 习题8.2 教材P51页 课后练习 9.任意找一个数，比如1 234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方······如此进行下去，你有什么发现？ -1234 -1 0 1 1234 ··· -1 -1 -1 -1 ··· -10.7260 -2.2054 -1.3016 -1.0919 ··· 0 0 0 0 ··· 解: 1 1 1 1 ··· 10.7260 2.2054 1.3016 1.0919 ··· 习题8.2 教材P51页 a = 0或±1时： 每次开立方所得的结果均为它们本身； a <1时：每次开立方所得的结果逐渐增大，并趋近于 1； a >1时：每次开立方所得的结果逐渐减小，并趋近于 1。 感谢聆听! $