精品解析：湖北武汉市黄陂区2025-2026学年上学期期末训练九年级数学试卷

九年级数学训练题 亲爱的同学，在答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1.本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，三大题，24小题，全卷共6页，考试时间120分钟，满分120分. 2.试卷选择题及非选择题答案均写在答题卡上，写在试卷上无效. 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效. 1. 下列国产新能源汽车的车标标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 水中捞月 C. 一箭双雕 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的判断，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 选项A是必然事件，选项B和D是不可能事件，只有选项C是随机事件． 【详解】解：A．瓮中捉鳖是必然事件； B．水中捞月是不可能事件； C．一箭双雕可能发生也可能不发生，是随机事件； D．拔苗助长是不可能事件； 故选：C． 3. 如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 5. 下列对二次函数的性质描述不正确的是（ ） A. 开口向上 B. y有最小值 C. 对称轴为直线 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式性质． 根据二次函数顶点式的性质，判断开口方向、最值、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴，开口向上，A正确； ∴函数有最小值，最小值为，B正确； ∴对称轴为直线，C正确； ∴顶点坐标为，而非，D不正确； 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，， ∴． 故选：A． 7. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则P（一次打开锁）． 故选：B. 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 8. 如图，在矩形铁皮上剪下和扇形，将作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥的侧面，设的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， 整理得：． 故选：C． 9. 已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，由原二次函数与轴的交点可得其因式形式，从而用表示和，再代入新二次函数表达式并化简，最后求解方程得到与轴的交点横坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于点和， ∴， ∴，， 对于新二次函数， 代入，得，， 令，则， ∵， ∴，即， ∴或， ∴新图像与轴交点的横坐标为，， 故选：． 10. 如图，的半径与等边的高都等于2，与边相切于点P，与、分别交于E，F．当在边上滚动时，的长度（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 随P点位置的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于G，于H，连接、、，交于I，先证明，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：作于G，于H，连接、、，交于I， ∵的半径与等边的高都等于2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度， 故选B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置. 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，得到飞镖落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现飞镖落在黑色部分频率稳定在左右， ∴飞镖落在黑色部分的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为：， 故答案为：． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个， 小分支有个． 根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得． 故答案为：． 14. 如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质，切线的性质，三角形面积的计算，构造辅助线求圆的半径是解题的关键．连接，设与切于三点，连接，求出，根据三角形面积公式求得的面积即可． 【详解】解：连接，设与切于三点，连接，则 是的内切圆， ， 在中，，，， ， ， ， ， 令 ，即， 解得，， ， 故答案为：18. 15. 抛物线（a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且；③方程一定有两个不相等的实数根；④，其中正确的结论有：_________．（直接填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 由点在抛物线上可得；由可得；由抛物线有两个不等实根可得；方程的判别式恒大于零，故有两个不等实根；结论②不一定成立，反例当时n可能大于，即可解答． 【详解】解：对于①：当时，，故，①正确﹒ 对于②：由当时，， ∵，且， ∴，即， 抛物线对称轴为，且经过，， 当时，， 由根与系数的关系，，， 反例∶如时，抛物线， 当时，， 则，故②不一定成立﹒ 对于④：由于抛物线经过和且，故有两个不等实根，判别式，因，故，即，④正确﹒ 对于③：方程的判别式﹒由且（见④），故，故一定有两个不相等的实数根，③正确﹒ 故答案①③④﹒ 16. 如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接，先利用圆的性质、平行线的性质证明可得，再证明四边形是平行四边形可得，再根据中位线的性质可得，即，则点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上；再求出，最后求出点P在直径为的圆周上面运动一周的周长即可解答． 【详解】解：如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上， 又∵， ∴当点C绕运动一周时，点P在直径为的圆周上面运动一周，运动的路径长为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. 17. 若关于x一元二次方程有一个根是，求c的值及方程的另一个根． 【答案】c的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先根据一元二次方程的解的性质求出c的值，再解一元二次方程即可得另一个根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴或， 解得，， ∴c的值为，方程的另一个根为． 18. 如图，是等边三角形，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）直接写出的形状：_________； （2）求证：． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）由旋转的性质得，，可得是等腰直角三角形； （2）由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，，则，由是等腰直角三角形，得，可得，则，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴． 19. 如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． （1）直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； （2）若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【小问1详解】 解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 20. 如图，为的直径，点D为上一点，连接． （1）如图1，若，连接，若，求证：是的切线； （2）如图2，点E在的上，连接，，若，，，求的半径R． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理； （1）连接，由，得到，由，得到，结合，得到，，则与相切； （2）过点E作于H，交于点F，根据垂径定理得到，，结合得到，，，再利用勾股定理求出，得到，最后在中，由勾股定理可得：，代入列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：与相切，证明如下： 如图1，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴与相切. 【小问2详解】 解：如图2，过点E作于H，交于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴，， 在中，，，， ∴ ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， 解得，即的半径． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．经过格点A，格点B，与网格线相交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图，每个画图不超过3条辅助线． （1）在图1中，先作出的圆心O；再将半径绕圆心O顺时针旋转，作出旋转后的半径； （2）在图2中，先在圆上取一点E（点E不与点B重合），使；再过点A作的切线l． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查与圆有关的无刻度的直尺作图； （1）由得到是直径，则的中点即为圆心；找一个格点，使，则与交点即为点，此时由圆周角定理可得，即将半径绕圆心O顺时针旋转； （2）把向左平移2格得到与交点即为，则，即可得到经过中点，根据垂径定理得到，；取中点，与上一行格线交点，延长交下一行格线于点，则，，得到，则，根据是直径得到是切线l． 【小问1详解】 解：作出的圆心O；再将半径绕圆心O顺时针旋转，作出旋转后的半径；如图所示： 【小问2详解】 解：点E和切线l，如图所示： 22. 某水产品专卖店经销一种成本为40元/千克的水产品，依据专卖店运营定价，该水产品的销售单价不低于50元/千克．为调研该水产品的市场销售行情，专卖店开展试销活动．设试销期间该水产品的售价为x元/千克（x为整数），每日销售量为y千克，每日销售利润为W元．市场调研发现每日销售量y与售价x之间满足一次函数关系，所得部分数据如下表所示： x（元/千克） 50 51 52 53 y（千克） 500 490 480 470 （1）直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，每日可获得最大利润？ （3）该商店预计每日销售利润不低于8000元，直接写出售价x的取值范围． 【答案】（1）（，x为整数） （2）当销售价定为70元/千克时，每天获得最大利润9000元 （3）售价x取值范围为：（x为整数） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数关系式或一元二次方程． （1）根据待定系数法即可求出答案； （2）根据每日利润每千克的利润销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 将时，，时，代入得， 解得， ∴与的函数解析式为（，x为整数）； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标， 又∵，x为整数， ∴当时，最大， 答：当销售价定为70元/千克时，每天获得最大利润9000元； 【小问3详解】 解：当时：， 解得，或， ∵， ∴当时，， ∴x的取值范围为（x为整数）． 23. 已知中，，，点D为直线上一点． （1）如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； （2）如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； （3）如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理和旋转的性质，通过旋转的性质构造全等三角形（手拉手旋转模型），从而建立线段之间的联系是解题关键． （1）利用旋转的性质，通过证明全等即可找到线段关系； （2）作垂线构造全等三角形，再利用角平分线和等腰直角三角形的性质建立线段关系即可； （3）作垂线构造全等三角形，找到线段关系，再通过角度运算，得到特殊角，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由旋转的性质，得，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， 如图，延长，与交于点H，过点E作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G， 同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． （1）直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； （2）如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； （3）如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）t的值为1 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象与性质； （1）根据平移求出解析式为，即可得到顶点M的坐标为； （2）过点M作于H，由M的，可得，再求出，根据为等边三角形，，得到，，代入解方程即可． （3）设：，联立与抛物线得①；②；由：，联立与抛物线得③，设为：，联立与抛物线得④，⑤，通过消元整理化简得，，当时，y恒等于，直线恒过定点． 【小问1详解】 解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为：， 顶点M的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点M作于H， 由M的，可得， 又联立， ∴，， 解得，， ∴ ∵为等边三角形，， ∴，， ∴，即 解得，， ∵， ∴， 即t的值为1； 【小问3详解】 证明：由（2）可知， ∴的解析式为：， 如图，由：， 联立与抛物线得：， ∴， ∴①，②； 由：； 联立与抛物线得： ， ∴③， 设为：， 联立与抛物线得：， ， ∴④，⑤， ∴①②得：⑥， 由③得⑦， 将⑦代入⑥中， ∴， 化简得⑧， 将④⑤代入⑧中，得， 化简得， ∴； ∴当时，y恒等于， ∴直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学训练题 亲爱的同学，在答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1.本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，三大题，24小题，全卷共6页，考试时间120分钟，满分120分. 2.试卷选择题及非选择题答案均写在答题卡上，写在试卷上无效. 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效. 1. 下列国产新能源汽车的车标标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 水中捞月 C. 一箭双雕 D. 拔苗助长 3. 如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列对二次函数的性质描述不正确的是（ ） A. 开口向上 B. y有最小值 C. 对称轴直线 D. 顶点坐标为 6. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 21 7. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形铁皮上剪下和扇形，将作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥侧面，设的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，的半径与等边的高都等于2，与边相切于点P，与、分别交于E，F．当在边上滚动时，的长度（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 随P点位置的变化而变化 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置. 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是___________． 12. 当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 13. 某种植物主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 14. 如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 15. 抛物线（a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且；③方程一定有两个不相等的实数根；④，其中正确的结论有：_________．（直接填写序号） 16. 如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. 17. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求c的值及方程的另一个根． 18. 如图，是等边三角形，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）直接写出的形状：_________； （2）求证：． 19. 如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． （1）直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； （2）若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 20. 如图，为的直径，点D为上一点，连接． （1）如图1，若，连接，若，求证：是的切线； （2）如图2，点E在的上，连接，，若，，，求的半径R． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．经过格点A，格点B，与网格线相交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图，每个画图不超过3条辅助线． （1）在图1中，先作出的圆心O；再将半径绕圆心O顺时针旋转，作出旋转后的半径； （2）在图2中，先在圆上取一点E（点E不与点B重合），使；再过点A作的切线l． 22. 某水产品专卖店经销一种成本为40元/千克的水产品，依据专卖店运营定价，该水产品的销售单价不低于50元/千克．为调研该水产品的市场销售行情，专卖店开展试销活动．设试销期间该水产品的售价为x元/千克（x为整数），每日销售量为y千克，每日销售利润为W元．市场调研发现每日销售量y与售价x之间满足一次函数关系，所得部分数据如下表所示： x（元/千克） 50 51 52 53 y（千克） 500 490 480 470 （1）直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，每日可获得最大利润？ （3）该商店预计每日销售利润不低于8000元，直接写出售价x的取值范围． 23. 已知中，，，点D为直线上一点． （1）如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________； （2）如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：； （3）如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）． 24. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． （1）直接写出抛物线解析式：_____（用含t的式子表示）； （2）如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； （3）如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $