精品解析：云南楚雄州中小学2025-2026学年上学期期末教育学业质量监测高中二年数学试题

楚雄州中小学2025—2026学年上学期期末教育学业质量监测 高中二年级数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册4.2.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】空间中点坐标到平面的距离就是该点竖坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点到平面的距离为6. 故选：B. 2. （ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先使用平方差公式消掉分母的，再使用复数的模的公式即可求解. 【详解】， 故选：A. 3. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得数列是周期数列进而可得所求值. 【详解】由，所以，两个式子相除得， 所以数列是以2为周期的周期数列，且，所以. 故选：B 4. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点坐标确定焦点所在轴，进而得到的值，结合，即可求得的值. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，所以， 则，解得. 故选：D. 5. 已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由点在圆外得到，由直线与圆相交得到，再结合充要条件的概念即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为. 点在圆外等价于； 直线与圆相交等价于，即. 故“点在圆外”是“直线与圆相交”的充要条件. 故选：C 6. 已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点坐标，根据为的中点，表示出点坐标，根据点在直线上，得到点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为的中点，所以，所以 所以，由点在直线上，得， 化简得，故的方程为. 故选：D 7. 已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得的对数函数单调递增，设，则有，二次函数部分在上单调递增，设，则有，结合的取值范围，可得，因为为递增数列，所以有，即，综上，可求得的取值范围. 【详解】由题意得，则有时，， 当时，， 因为为递增数列， 设， 当时，数列单调递增， 则有，且 即，， 整理得，因为，所以， 设，易得时单调递增， 且有，即，，解得， 综上，的取值范围是， 故选：C. 8. 在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题：对任意，都有，则的否定：存在，使得 B. 函数且的图象恒过定点 C. 集合的子集有4个 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判定A，应用指数函数定点判断B，应用子集公式计算判断C，结合基本不等式及充分不必要条件判断D. 【详解】的否定：存在，使得，A正确； 当时，，函数且的图象恒过定点，B正确； 集合有三个元素，故有个子集，C错误； 当时，，当且仅当取等号，即充分性满足， 当时，取，即必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列的前项和为是以为公差，为首项的等差数列，则（ ） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由是等差数列可得，进而可判断A，再由与的关系可得，从而可判断BCD选项. 【详解】因为是以为公差，为首项的等差数列，所以， 则，故，所以A错误； 当时，，当时，， 因为也满足上式，且，所以是公差为的等差数列， 且，所以B正确，C错误. 令，即，解得，即数列的前4项为正数，自第5项以后都是负数，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 设是抛物线上的动点，是的焦点，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，过点作轴，垂足为，根据抛物线的定义判断A，由，利用基本不等式判断B，过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义判断C，由A可得，再结合B判断D. 【详解】对于A：由题可知的焦点的坐标为，准线为直线， 设，则. 过点作轴，垂足为， 则，， 故A正确. 对于B：因为，所以， 所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以，故B错误. 对于C：过点作准线的垂线，垂足为，所以， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为，故C正确. 对于D：由，可得， 所以，且， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出乙队在一场比赛中获胜的概率，再根据独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式来计算乙队两场友谊赛只获胜一场的概率. 【详解】因为乙队每场比赛获胜的概率为， 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 故答案为：. 13. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，且，所以有，设，由双曲线的定义，利用和勾股定理的关系，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是以为直径的圆在第一象限与的交点，则有， 因为是的中位线，所以，又，所以. 由题意得点在双曲线的右支上.由，令，则， 又为的中点，则点在双曲线的左支上. 因为，且是的中点， 所以，所以. 在中，由勾股定理可得， 即，整理可得. 在，由勾股定理可得， 即，化简得， 又，所以，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，边化角即可求解； （2）由三角形面积公式得到，再结合余弦定理，求得，即可求解. 【小问1详解】 因为， ， 故， 因为，所以， 所以， 故. 【小问2详解】 因为的面积为，所以. 又，所以， 则，解得， 所以， 所以的周长为. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】（1） （2）圆与圆外切，. 【解析】 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【小问1详解】 由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 17. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. 【小问2详解】 由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 18. 如图，在五棱锥中，平面平面. （1）证明：. （2）已知，且点均在球的球面上. （i）证明：点在平面内. （ii）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 又平面，所以. （2） （i）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，过点作轴，垂足为. 因为，所以， 又，所以，则， . 设，球的半径为， 则 解得. 故点在平面内. （ii） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得； （2）（i）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，球的半径为，由列式解方程求出，即可证明点在平面内.（ii）求出，由异面直线的向量公式即可求出直线与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：由（i）可知， ， 所以直线与所成角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）且 （2）（i）不存在，理由见解析（ii）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据已知斜率条件，利用过两点的直线斜率公式转化为代数方程，化简即可； （2）（i）先设直线 并与椭圆联立，并利用韦达定理得到根与系数的关系，再通过面积比的几何关系转化为代数等式，推导出 ，最后结合 时 与 的矛盾，得出不存在满足条件的直线 ； （ii）先求出 坐标并写出向量 ，代入点积公式化简，再将 代入，利用韦达定理消去 ，最后通过让表达式与 无关，解得点 的坐标即可. 【小问1详解】 由题意，设，则， 化简得且， 所以的方程为且. 【小问2详解】 （i）设，直线. 由，得， 即，则， ， ， 即，即， 因为点在轴的正半轴上，则，所以， 又，所以不存在直线，使得的面积是面积的4倍. （ii）直线的方程分别为， 令，则， 则， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当点的坐标为或时，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州中小学2025—2026学年上学期期末教育学业质量监测 高中二年级数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册4.2.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 2. （ ） A. 1 B. C. 5 D. 3. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线，圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题：对任意，都有，则的否定：存在，使得 B. 函数且的图象恒过定点 C. 集合的子集有4个 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知数列的前项和为是以为公差，为首项的等差数列，则（ ） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 11. 设是抛物线上的动点，是的焦点，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为6 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 13. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 17. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在五棱锥中，平面平面. （1）证明：. （2）已知，且点均在球的球面上. （i）证明：点在平面内. （ii）求直线与所成角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $