精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上期2月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出 ，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 2. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标即为椭圆的右焦点，再利用椭圆的几何性质即可求得 值. 【详解】依题意，抛物线的焦点为，即椭圆的右焦点； 设椭圆的半焦距为，则，解得. 故选：B. 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，已知动点在圆 ：上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在圆上，利用三角代换，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】由可得， 由圆的对称性，不妨设在轴及轴上方， 则可设， 所以， 由，可知，故， 所以，即， 故选：D 5. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于 、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立等量关系式求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 即， 又，， 中，， ， 即 解得 由此可得双曲线的离心率 故选：C． 6. 已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】合理赋值即可判断A；根据，再升幂作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C；求出，再代入求解一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A，由，得，，两式相减得，故A正确； 对于B，又由，， 两式相加得，故B正确； 对于C，由，可得，又，两式相减得， 所以 ，故C错误； 对于D，由 ， 即，结合，得，故 D正确. 故选：C. 7. 已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令 的中点为E，设，利用点差法得到，设直线，求出M、N的坐标，再根据求出k、m，即可得解. 【详解】令 的中点为E，因为，所以， 设，，则， 两式相减得，， 所以，则， 设直线， 令得 ，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或 （舍去）， 所以直线，即. 故选：A. 8. 如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积求出，再利用错位相减法求解. 【详解】，设，所以，所以 ， ，， 所以， 以此类推，,， 所以， 所以， 设{nan}的前n项和为， ， 所以， 所以 ， 所以， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数 满足曲线 的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线 的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】曲线 的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆 上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是 ，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线 上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线 上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 设等差数列的前 项和为，公差为， ，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时， 的最大值为12 D. 数列前 项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，可判断AB；可判断C；求出，令，数列为递减数列，求得，，可判断D. 【详解】因为等差数列中 ，， 所以， 又，所以，故A正确； 因为当时， ，当时，， 所以的最大值为，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，所以， 令，所以数列为递减数列， ，. 由得 ， 所以数列的前 项和最大时，， 即数列前 项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 不存在点P，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点P共有6个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据椭圆的定义求出；B当点位于短轴顶点时，计算；C利用椭圆的定义以及在中利用余弦定理可得，再利用面积公式；D分、、三种情况，结合椭圆的对称性可判断. 【详解】由题意可知，， 则的周长为，故A正确； 当点位于短轴顶点时，，则， 此时，故B错误； 设，则， 在中利用余弦定理可得，， 即，即，即， 则，故的面积为，故C正确； 若，则由椭圆的对称性可知，点位于短轴顶点，共两个点； 若，由，以及椭圆的对称性可知，这样的点有个； 同理，若，这样的点也有个， 故使得为等腰三角形的点P共有6个，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前 项和，是等差数列的前 项和，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，其中，则，可得出，，即可得出的值. 【详解】因为是等差数列的前 项和，是等差数列的前 项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 13. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义得到的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线 ：就是一条形状优美的曲线，则曲线 上任意一点到直线的最小距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当， 时，曲线C的方程可化为， 当， 时，曲线C的方程可化为， 当， 时，曲线C的方程可化为， 当， 时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 则曲线 上任意点到直线的距离， 结合曲线的对称性， 只需考虑， 时的情况； 当， 时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 且到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线，该直线与圆交于两点，且. （1）证明直线 过定点，并求出该定点的坐标； （2）求过点且与圆 相切的直线方程. 【答案】（1）证明见解析， （2）或 【解析】 【分析】（1）整理直线 的方程为，利用系数为 建立方程组可求定点； （2）先由弦长、弦心距及半径关系待定系数 ，再按切线斜率是否存在分类求解方程，当切线斜率存在时，设点斜式方程为，由点线距离与半径相等求解可得. 【小问1详解】 直线 的方程可化为， 由，解得， ∴直线过定点. 【小问2详解】 圆的标准方程为， 圆心，圆心 到直线的距离， 故，解得， ，故， ∴，圆半径 . 由于在圆外，过点且与圆 相切的直线有两条. 当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， 故方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 16. 设数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系推导出满足的关系式，再据此求解即可； （2）解法一：求出的通项表达式，结合错位相减法即可求解；解法二：对进行裂项，即，再直接求和相加即可． 【小问1详解】 因为，当时，，∴， 当 时，， ∴，即， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 【小问2详解】 解法一：， 故， 所以， 错位相减得 ， 故． 解法二：∵， ∴． 17. 如图，在四棱锥 中，底面为正方形， ，平面平面． （1）求证：平面； （2）若 ，，四棱锥 的体积为，求点到平面 的距离． 【答案】（1）因为底面为正方形，所以 ， 又 ，且，平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 连接，易知 ， 因为平面平面，平面 平面 ， 平面，所以 平面 ，又 平面 ，则， 又因为 ， 平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得 平面 ，从而得 ，再由面面垂直的性质得 平面 ，进而可得，即可求解； （2）根据条件，由棱锥的体积公式得 ，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量及，再由点面距的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意 ，则正方形的面积为 ， 又，得到 ， 由（1）知平面，又 平面，则 ， 以 点为坐标原点，以，，所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 ，，， ，由，所以 ， 则 ， 所以 ， ， ． 设平面 的法向量为 ，则，即， 令，得 ，所以 ， 则点到平面 的距离为． 18. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前 项和； （3）记，，证明：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前 项和与第 项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； 【小问2详解】 令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前 项和， 当时，， 显然不适合，所以； 【小问3详解】 ，即， 由， 于是 . 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的两个焦点分别为，为椭圆 上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点的直线：与椭圆 交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆 上一点，且，求的值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的范围求出面积的最大值表达式，再利用给定的最大值及取得最大值的条件求出 即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求出的表达式，再判别式及利用韦达定理列出不等式求出范围；（ii）由（i）的信息，利用向量的坐标运算，结合点在椭圆上列式求得答案. 【小问1详解】 设，椭圆 的半焦距为，则，， ，当且仅当，即点为椭圆短轴端点时取等号， 而当时，的面积取得最大值，则，， 因此， 所以椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由消去并整理得， 由，得，设 ， 则，显然同号，则， 由，得， 由，得，则，设， 于是，解得， 由点在点之间，得，则， 所以的取值范围. （ii）由（i）知， 由，得， 由，得，点， 而点在椭圆 上，因此，解得，满足题意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 7. 已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数 满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 10. 设等差数列的前项和为，公差为， ，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为12 D. 数列前项和为，最大 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 不存在点P，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点P共有6个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则___________． 13. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线，该直线 与圆交于两点，且. （1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 设数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥 中，底面为正方形， ，平面平面． （1）求证：平面； （2）若 ，，四棱锥 的体积为，求点到平面 的距离． 18. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； （3）记，，证明：． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线 ：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $