精品解析：江苏省南通市和镇江市丹阳市区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

江苏省南通市和镇江市丹阳市区2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】命题“”, 则其否定为：. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解集合，通过集合交集的定义求解即可. 详解】由题意可得，，所以，解得， 又因为，所以，因为， 所以，所以. 故选：C. 3. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角基本关系式求解. 【详解】因为，又为第二象限角， 则，解得. 故选：D 4. 已知扇形的面积为，圆心角为2rad，则该扇形的周长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 分析】利用扇形面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】，，该扇形的周长为 故选：A 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解. 【详解】 ， 所以.又因为， ，所以，. 故选：B 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出增长率，再根据指数增长模型列出方程求解. 【详解】设该地区的某种群数量为，根据题意可得， 则， 设经过年增长为原来的2倍，则， 所以， ， 解得. 故选：B. 7. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为偶函数，且在上为减函数，再利用对数函数性质得，从而可解. 【详解】因为函数定义域为，且， 则函数为偶函数， 且与在上为减函数，所以函数在上为减函数， 因为， ，而， 所以， 所以， 即. 故选：A 8. 已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以，令，得，即①，又为偶函数， 得②，所以有， 所以，故的周期为4， 因为，①中令，得，所以， ②中令，所以，令，代入，所以， 解得，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. 若，则的最小值为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用作差法判断AB；利用基本不等式判断C，结合指数函数的性质判断D. 【详解】因， 则，所以，A正确； ，所以，B正确； ，当且仅当，即时，等号成立， 而，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于中心对称 B. C. 的图象可由图象向左平移个单位长度得到 D. 对于，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象确定的值，并确定，判断BD；再代入点，即可确定函数解析式，代入法判断A；图象变换判断C. 【详解】由图象可知函数最大值为3，最小值为，所以， 对于，都有，D正确； 又所以，故，B正确； 又过点，所以， 所以，则， 不妨取，因此， 则， 所以函数的图象关于中心对称，A错误； 图象向左平移个单位长度得到 ，C正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，若函数的零点所在区间为，则 B. 若函数有两个零点，则 C. 函数有5个零点 D. 若函数有三个零点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据函数单调性可知方程的解在区间，可判断A；函数有两个零点，即方程有两个解，结合图象判断B；方程的根为或，结合图象判断C；根据题意则，则，结合对勾函数的性质求范围，判断D. 【详解】当时，即， 令，则函数为上的增函数， 且， 所以方程的解在区间， 即函数的零点所在区间为，故，A正确； 函数有两个零点，即方程有两个解， 也就是的图象与直线有两个交点， 根据图象可得，B错误； 函数的零点即为方程的根， 则或， 根据图象，有两个解，有三个解， 所以函数有5个零点，C正确； 若函数有三个零点，且，则， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 且在上单调递减，所以， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若幂函数是偶函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得. 【详解】解：因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不满足，舍； 当时，，为偶函数，满足条件. 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质计算出答案. 【详解】，，且， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的最小正周期为，则，从而求出的大致范围，再由的范围求出的范围，确定左端点的范围，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 设的最小正周期为，则，即，即，解得， 当，则， 又，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出集合，再由集合的交补运算即可； （2）先解集合，再由集合的包含关系求参数范围即可． 【小问1详解】 由，解得，即， 所以或. 又，即，解得：， 所以， 所以或； 【小问2详解】 由， ，则， 是的必要不充分条件， 是的真子集， ， 当时，，满足是的真子集； 当时，，满足是的真子集； 综上，实数的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与单位圆在第一象限的交点的横坐标分别为和. （1）若为锐角，求的值； （2）当将角的终边顺时针旋转后与角的终边重合时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一，利用平方关系，结合两角和的余弦公式即可求得结果，解法二，利用平方关系，结合两角和的正切公式即可求得结果； （2）已知三角函数值，结合诱导公式和二倍角公式，即可求得三角函数值. 【小问1详解】 解法一：因为的终边与单位圆交点的横坐标分别为和， 则， 又， ， ， ， . 解法二：因为的终边与单位圆交点的横坐标分别为和， 则， ， ， ， ， 则， ， . 【小问2详解】 依题意：， 则 . 17. 已知函数. （1）求函数的图像的对称中心； （2）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数记为. （i）求函数在上的值域； （ii）记，若且，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用整体法求该函数的对称中心. （2）（i）利用降幂公式及换元法将问题化为二次函数在给定区间内求值域问题. （ii）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用该函数的值域，即可求解. 【小问1详解】 由 令，得， 所以函数的对称中心为 【小问2详解】 （i）， 由 令， 当时，；当时， 的值域为. （ii）由， 则， 又，从而 所以，即，同理 又， 则， 所以． 18. 若二次函数的顶点坐标为是函数的两个零点，且. （1）求的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 法一：结合韦达定理，利用平方差公式得，然后解方程即可得解； 法二：由题意可设，利用顶点坐标列式求解即可. （2） 将恒成立问题转化为对恒成立，然后当时，， 当时，参变分离得， 进而利用基本不等式求解最值，即可得解. （3）先求出当时， ，然后当时，按照和分类讨论，结合二次函数值域列不等式组求解即可. 【小问1详解】 法一：由题意知：， 且， 即， 由， 法二： 是函数的两个零点，且， 则可设， 又函数的顶点坐标为，则， 解得：. . 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 对恒成立， 当时，， 当时，对恒成立； 对恒成立， ，（当且仅当即取“=”）， . 【小问3详解】 的值域为， ①当时，单调递增， ②当时，， （i）当时，在上单调递增且， . 的值域为 ， ， ， （ii）当时，在上单调递增，在[1，m]上递减且， . 的值域为， ， ， 综上：. 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） （1）判断函数是否是上的有界函数，并说明理由； （2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）已知有界函数，则是否存在整数，使得对，不等式恒成立？其中为正整数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）存在，2 【解析】 【分析】（1）方法一：令，整理，由一元二次方程有解以及有界函数的定义，求解即可； 方法二：换元，令，利用基本不等式以及有界函数的定义，求解即可. （2）由函数为有界函数以及对数函数的性质求解即可. （3）方法一：由题意可得，，对为偶数与奇数分别进行讨论，得到与的关系，由存在得到的取值范围即可求解 方法二：由题意问题等价于，对为偶数与奇数分别进行讨论，得到与的不等式，再对与讨论求解即可. 【小问1详解】 方法一：令整理得①， 因为方程①有解，当时，符合题意， 当时，，解得且， 综上，， 从而，所以函数是上的有界函数. 方法二：令， 当时，， 当时，令，则， 从而，当且仅当时等号成立， 解得且， 综上，， 从而，所以函数是上的有界函数. 【小问2详解】 因为函数在上是以4为上界的有界函数，从而，因此， 即， 又，所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值8， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 假设存在满足题意，， 当为正偶数时，，即， 设，易知， 则，所以； 当为正奇数时，，即， 同理设，易知， 则，所以， 若存在，则且，即， 则，此时，所以. 法二：由题意问题等价于对任意恒成立. ∵当为正奇数时，， 当为正偶数时，， . ∴当，即时，不存在满足题意的； 当，即时，存在满足题意的，且. 为正整数，，此时，，为整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市和镇江市丹阳市区2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的面积为，圆心角为2rad，则该扇形的周长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（ ）（参考数据：） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（ ） A 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. 若，则的最小值为2 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于中心对称 B. C. 的图象可由图象向左平移个单位长度得到 D. 对于，都有 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，若函数的零点所在区间为，则 B. 若函数有两个零点，则 C. 函数有5个零点 D 若函数有三个零点，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若幂函数是偶函数，则___________. 13. 已知函数，则的值是__________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与单位圆在第一象限的交点的横坐标分别为和. （1）若为锐角，求的值； （2）当将角的终边顺时针旋转后与角的终边重合时，求. 17. 已知函数. （1）求函数的图像的对称中心； （2）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数记为. （i）求函数在上的值域； （ii）记，若且，求的最大值. 18. 若二次函数的顶点坐标为是函数的两个零点，且. （1）求的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若的值域为，求实数的取值范围. 19. 若函数与区间同时满足：①区间为定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） （1）判断函数是否是上的有界函数，并说明理由； （2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）已知有界函数，则是否存在整数，使得对，不等式恒成立？其中为正整数，若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $