精品解析：安徽合肥一中2025-2026学年高二上学期期末教学质量测评数学试题

安徽合肥一中2025-2026学年高二上学期期末教学质量测评数学试题 一、单选题（本题共8小题，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若直线 的倾斜角的大小为，则实数 （ ） A. B. C. D. 2. 过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ） A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变 5. 双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 11. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若是函数的导数，则 C. 若有两个解，则 D. 设至少有三个整数解，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且 ．设，则数列的前5项和 _____． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为 ，渐近线为，，点在圆上，则的最小值为_______． 14. 函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足 ，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 16. 已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，． （1）求抛物线的方程； （2）过作直线与抛物线交于，，求的值． 17. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知椭圆过点，且与双曲线 有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）如图，为椭圆的上顶点，为椭圆上的两点，点关于轴的对称点为，设的中点为点． ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②若射线为的平分线，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． （1）设 ，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； （2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． （3）已知“函数”的定义域为 ，不等式 的解集为．证明：函数在 上是严格减函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽合肥一中2025-2026学年高二上学期期末教学质量测评数学试题 一、单选题（本题共8小题，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若直线 的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线 的倾斜角的大小为，则直线 的斜率为， 则，所以直线 即直线， 所以，解得. 故选：D 2. 过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 4. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ） A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果. 【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势. 故选:B. 5. 双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率的定义求出与的关系，从而得出与的关系，再根据渐近线方程定义即得. 【详解】由可得：又因故有而双曲线： 的渐近线方程为即： 故选：D. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B 7. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 8. 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】表示到原点的斜率； 表示与原点连线的斜率， 而在曲线图像上， 故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B. 【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 设等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可求得结果． 【详解】对于A，由题意，得，则，所以，所以，故A正确； 对于C，由题意，得，则，所以，故C正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于D，由知，等差数列单调递增，所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 【答案】BC 【解析】 【分析】利用圆的性质可判定两圆圆心所在直线即公共弦的中垂线，从而判定A；两圆方程作差可判定B；利用弦长公式可判定C；根据两圆位置关系可判定D. 【详解】根据题意可知圆，则,半径， 圆，则，半径， 易知线段的中垂线为直线,显然两圆心都不在上，故A错误； 由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确； 圆心到直线的距离为，所以，故C正确； 因为，所以圆与圆相交，所以有两条公切线，故D错误. 故选：BC 11. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若是函数的导数，则 C. 若有两个解，则 D. 设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令 ，得， 当， ，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令 ，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得 ， 当 时，，函数在上单调递增， 当 时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数 满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确. 故选：BCD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且 ．设，则数列的前5项和 _____． 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】利用等差数列求出通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得数列是公差为3的等差数列，而 ， 则，， 所以数列的前5项和. 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为，渐近线为，，点在圆上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求出、的值，可得出双曲线的方程，根据双曲线的定义可知点在双曲线的右支上，进而可得出，利用、、三点共线结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】由题意可得 ，可得，双曲线的渐近线方程为，故， 所以，双曲线的方程为，则， 因为，点在双曲线的右支上， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 因为，. 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取最小值. 故答案为：. 14. 函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将题设问题等价转化成函数图象与直线 在上有两个交点，利用导数工具研究函数的单调性和最值并数形结合即可求解. 【详解】由题可得方程在上有两个根 方程在上有两个根 函数图象与直线 在上有两个交点， ，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又时且，， 所以时，则，时，则 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 时 且时且，如图， 所以函数图象与直线 在上有两个交点，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足 ，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 又，即，又 ，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 16. 已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，． （1）求抛物线的方程； （2）过作直线与抛物线交于，，求的值． 【答案】（1）. （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【小问1详解】 设圆的半径为，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知. 设直线的方程为 ，，. 代入抛物线方程，整理得 ， ，所以， 所以 ， . 所以的值为2. 17. 如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. （1）证明：； （2）若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得 平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则 平面， 且，所以， 因为，平面 可得 平面，且平面， 所以. 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 故. 18. 已知椭圆过点，且与双曲线 有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）如图，为椭圆的上顶点，为椭圆上的两点，点关于轴的对称点为，设的中点为点． ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②若射线为的平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，设，利用椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）①设、、，利用点差法可求得的值； ②设设直线、的斜率分别为、，推导出，将直线、的方程分别与曲线的方程联立，可求出点、的坐标，设直线的方程为，将点、的坐标代入直线的方程，利用方程思想与可求出的值，即可的直线所过定点的坐标. 解法1：由化简得出，求出的范围，再结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求出的取值范围； 解法2：分析可知，则，故只需求出的范围即可，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，利用弦长公式、二次函数的基本性质可求得的取值范围，进而可得出的取值范围. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，，左右焦点为， 双曲线 的焦点为和，则 ， 因为， 所以，可得， ， 故椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 ①设、、， 则有，两式作差得， 即，即， 由题设知 ，，故，即， 又，则． ②设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为 ， 由题设知和均不等于． 又直线的斜率为，故其倾斜角为，从而有， 从而 ，，即 ， 又，故． 设直线、的斜率分别为、，则． 设直线、的方程分别为 、 ， 联立直线和曲线得，解得， 代入直线得，故点，同理可得， 设直线的方程为，代入点坐标得 ， 化简得，同理有， 故、是方程的两个根，故 ， 解得，故直线方程为，过定点． 法1：由①知，即，即，即， 所以，且， 从而， 因为，而在区间内单调递减， 所以，故． 法2：因为，故，故，只需求的范围． 设直线的方程为， 与曲线联立得， 因为点在曲线内部，则必有，则，， 从而， 令，则， 因为 ，则，则 ，即， 故，所以． 19. 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． （1）设 ，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； （2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． （3）已知“函数”的定义域为 ，不等式 的解集为．证明：函数在 上是严格减函数． 【答案】（1） 函数 的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. （2） 因为数列是公差为的等差数列， 所以 ， ， ， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且 ， 所以，故 对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的， ，所以， 即，故. （3） 假设 不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得 ， 严格减， ∴当时， 严格增， 当时， 严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数 ， 严格减， 当时， 严格增， 当时， 严格减， ，即 ，即 （当时，取等）， 而 ，结合 ，得严格增， ∴当时, ， 与 的解集为矛盾， ∴假设不成立，即 严格减. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式 的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $