第19章二次根式单元综合测试卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第19章二次根式单元综合测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 4．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 6．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则计算，逐一验证即可． 【详解】A．，运算正确，不符合题意； B．，运算正确，不符合题意； C．，运算正确，不符合题意； D．，但原式结果为2，显然错误，符合题意． 故选：D． 7．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 8．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 【详解】解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．如果最简根式和是同类二次根式，则 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 13．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．当时，代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 将原式变形为，再把a的值代入代数式中计算即可． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 15．已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 18．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 19．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 20．化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为． 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简以及分类讨论的数学思想，掌握二次根式的化简规则和绝对值的分类讨论方法是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再将根号内的二次三项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；然后结合的隐含条件，分区间讨论绝对值内表达式的正负，完成化简． 【详解】解：． 由题意知． ①当，即时，原式； ②当，即时，原式． 综上所述，当时，结果为；当时，结果为． 21．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 22．问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 23．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 24．对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第19章二次根式单元综合测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.计算：√5×√2=() A.6 B.6 C.5 D.1 2.下列根式中，一定是二次根式的是() A.√x2-1 B.x2+1 C.⑧ D.2 3.当x=1时，二次根式√5-x的值为() A.4 B.√6 C.6 D.2 4.设n为正整数且n<126-V2 n+1,则n的值为() √2 A.6 B.7 C.8 D.9 5.下列二次根式中，能与√3合并的是() A.√6 B.√S C.12 D.√18 6.下列运算错误的是() A.14×7=7√2 B.V60÷V5=2V5 C.√9a+√25a=8va D.3√2-√2=2 3x5x7xx2n+1=1山，则n的值为（) 2n-1 A.40 B.50 C.60 D.70 8.若一个三角形的三条边长分别是√2、√3、√7，则此三角形的面积是() A.3.5 B.3 C.2.5 D.2 9.计算-5-的结天足（) A.45-1 B.45-7 4 C.45+2 D.45-2 1 10.已知x=2024-V2023,则r-2V2023x-r+r-2V2024x+2x-2024的值为(） 试卷第1页，共3页 A.0 B.1 C.√2023 D.√2024 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.请写出一个正整数m的值使得√2m是最简二次根式，=」 12.如果最简根式-3b和√2b-a+2是同类二次根式，则b= 13.已知：√x-5+√x-7=6,则√x-5-√x-7的值为 4.当a=V万-25时，代数式a+5a-3 15.已知4=5L,6=3,那么a,方的大小关系是。b(填”或者<. 2 16.观察下列各式： 5+26=(2+3)+2V2x3=(√2)2+(V5)2+2V2xV5=(V2+V5)2, 8+2√万=(1+7)+2√×7=12+（√7）2+2x1×√万=1+√7)2，..请运用以上的方法化简 V7+210= 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.计算：32+V3-(52-25 18.计算： as周 ©号（丽 (a≥0，b≥0). (3)√75×32÷V12 n丽e 19.如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC为√72m,宽AB为 √32m,现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长 方形养鸡场的长为0+1m,宽为0-1m. 试卷第1页，共3页 (I)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬 菜.如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 20.化简：(x)2+√x2-6x+9. 21.若a2a+5与√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求√ab的值. 1 2.问题：已知a-2+5,求2a-8a+1的值 2-√5 小明是这样分析与解答的：“a= 2+5(2+52-⑤ =2-5,a-2=-5, .(a-2=3,.a2-4a+4=3,.a2-4a=-1, 2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×(-1+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 ()计算：2025+V2024 _； 1 (2若a=0-3求3a-18a+5的值. 23.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法. ()【回顾旧知，类比求解】 解方程：√x+1=2 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_，解这个方程，得x=·经检验，x=_是原方 程的解， (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：V9x2-5x+3x=1: ②代数式V2+4+V7-x2+4的值能否等于7？若能，求出x的值：若不能，请说明理由. 24.对于实数a,b定义一种新运算“o”,规定aOb=a2-√2b, 如302=32-√2×2=9-22 (1)201= （-60w2= (2)若√10Ox=8,求x的值. 试卷第1页，共3页