第一章三角形的证明 专题复习 题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026年北师大版八下数学《三角形的证明》专题复习 1、 选择题：（每道小题只有一个正确选项） 1. 如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3. 如图，已知，，，垂直平分，则的周长等于（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为4的等边中，点为边上任意一点，于点，于点，则的长度和为( ) A. 4 B. 8 C. D. 7. 如图，与△ADE关于点A成中心对称，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 9. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 11. 如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 1 或 D. 1 或 3 12. 如图，在△AOB中，，点C的坐标为，点P是上一动点，连接，将绕C点逆时针旋转得到线段，使点D恰好落在上，则点D的坐标为（ ） A B. C. D. 13. 如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 14. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 15. 如图，是的角平分线，，则的面积是_________． 16. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则△EMF的面积为______． 17. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 18. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是______． 19. 如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是______． 20. 若等边内一点P到三边的距离分别为3，4，5，则的面积为______． 21. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根． 22. 如图，在△ABC中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为_____． 23. 如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是__________． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 25. 如图，等腰△ABC底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 26. 如图，在等腰直角△ABC中，为的中点，为上一动点，则以下结论：①；②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是_______．（只填写序号） 27. 如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 28. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D’处，则重叠部分的面积为_________． 29. 如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________． 30. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _____． 31. 如图，点为平面直角坐标系的原点，点A在轴上，是边长为的等边三角形． （1）点的坐标是______； （2）将先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，则点A的对应点的坐标是______； （3）以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是______． 32. 如图，正方形的边长为，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为______________. 33. 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当△CDM为等腰三角形时，的度数为_________． 34. 如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题： 35. 如图，中，，，，过的垂直平分线上一点作于，延长线于；且，连接． （1）求证：； （2）的长为______． 36. 如图，在等腰中，两条高线和交于点，． （1）你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由； （2）图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的． 2026年北师大版八下数学《三角形的证明》专题复习解析 一、选择题：（每道小题只有一个正确选项） 1. 如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 2. 如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，含的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键．先证明，，再求解，利用含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 如图，已知，，，垂直平分，则的周长等于（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，根据线段垂直平分线求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ． 垂直平分，， ，，， ， ． ， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力． 4. 如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC. 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 5. 如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，，再根据等腰三角形和三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在边长为4的等边中，点为边上任意一点，于点，于点，则的长度和为( ) A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接PA，根据△ABP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】如图，连接PA，过A做AD⊥BC于点D. ∴AD===2 ∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB•PE+C•PF=BC•AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴BC（PE+PF）=BC•AD， ∴PE+PF=AD=2． 故选择：D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积的计算方法；通过作辅助线，根据三角形面积相等得出结论是常用的方法． 7. 如图，与△ADE关于点A成中心对称，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与△ADE关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 8. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定②正确；作于，于，根据三角形的面积可证得③正确． 【详解】解：和的平分线相交于点， ，， ， 故①正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故②正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ， 故③正确． 故选：C 9. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， △POE和△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM=NF，PM=PN，故①正确， ∴S△PEM=S△PNF， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确， OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 10. 如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 由折叠知，， ∴； 由勾股定理得：， ∴；． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，判定是等边三角形是解题的关键． 11. 如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 1 或 D. 1 或 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形． 分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时， 矩形中，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时， ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 12. 如图，在△AOB中，，点C的坐标为，点P是上一动点，连接，将绕C点逆时针旋转得到线段，使点D恰好落在上，则点D的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质．过点D作于E，根据旋转的性质可得，，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明△ADE是等腰直角三角形，可得，然后写出点D的坐标即可． 【详解】如图，过点D作于E， ∵将绕C点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴点D的坐标为． 故选：D 13. 如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，． 故选：C． 二、填空题： 14. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， ∵BD为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2， ∵BD为高， ， ， ， ， 而， ， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 15. 如图，是的角平分线，，则的面积是_________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 16. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则△EMF的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平分，，可得，则，由平分，可得，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 17. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ，， ， ， ∴， ∴， 故答案为：12． 18. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是______． 【答案】或度 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出 ，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设 ，， 在中， ∴ 解得： ， 故答案为：． 19. 如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 过作于于，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案． 【详解】解：过作于于，连接， 分别平分和于， ， 即， ， 故答案为：5． 20. 若等边内一点P到三边的距离分别为3，4，5，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的面积，勾股定理， 连接，，，过点P作于点D，于点E，于点F，等边的边长为a，则．过点A作于点H，则，，，从而得到方程，求解即可解答． 【详解】解：如图，连接，，，过点P作于点D，于点E，于点F， ∴，，， 设等边的边长为a，即， ∴， 过点A作于点H，则， ∴在中，， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴． 故答案为： 21. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，进而即可求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，， ∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是就不存在了． 所以一共有6根钢管． 故答案为：6． 22. 如图，在△ABC中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点． 则， ， 即为的最小值． ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 23. 如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于，交于点，过点作交于点，由是的平分线可得，这时有最小值，即的长度，再根据，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作交于，交于点，过点作交于点， ， 是的平分线，，， ，这时有最小值，即的长度， ， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和点的位置． 24. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 25. 如图，等腰△ABC底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于△ABC是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵△ABC是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 26. 如图，在等腰直角△ABC中，为的中点，为上一动点，则以下结论：①；②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是_______．（只填写序号） 【答案】②④或④② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是关键． 根据等腰三角形的性质，中线等知识判定①；运用勾股定理可判定②；根据中位线可判定③；根据轴对称-最短路径的计算，勾股定理等知识判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是中点， ∴，不能确定是角平分线，故①错误，不符合题意； ∴， 在中，，故②正确； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴当时，即点是中点， 又∵点是中点， ∴，故③错误； 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，过点作于点， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，则， ∴， 在中，，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④ ． 27. 如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，进而得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：将沿着折叠，点恰好和点重合， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 28. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D’处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 29. 如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、 ∵四边形是矩形 ∴，， 由勾股定理得： ∵ ∴ ∵和的边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴m随着的增大而减小 ∴时，m最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 30. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 31. 如图，点为平面直角坐标系的原点，点A在轴上，是边长为的等边三角形． （1）点的坐标是______； （2）将先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，则点A的对应点的坐标是______； （3）以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，则，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理可得、即可解答； （2）先确定点A的坐标，然后根据平移的性质即可解答； （3）先作出，易得则点与点B重合，，，然后说明点B和点关于y轴对称，最后根据轴对称的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过B作轴， ∵是边长为的等边三角形． ∴， ∴， ∴，． ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意可得点， ∵将先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到， ∴点A的对应点的坐标是，即． 故答案为：． 小问3详解】 解：如图：以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，则点与点B重合，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B和点关于y轴对称，即． 故答案为：． 32. 如图，正方形的边长为，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转性质知、、，证，得，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ，， ， 在和中， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 33. 如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当△CDM为等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当△CDM为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 34. 如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵是平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据题意无法确定的大小、的大小关系， ∴无法得到，故④错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题： 35. 如图，中，，，，过的垂直平分线上一点作于，延长线于；且，连接． （1）求证：； （2）的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）根据题意得出，进而证明，即可得证； （2）勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，，，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在，中得出，进而根据建立方程，解方程得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵中，，，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴，，， 又∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，， 在中， ∵ ∴ 解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 36. 如图，在等腰中，两条高线和交于点，． （1）你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由； （2）图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的． 【答案】（1）或，理由见解析 （2）绕点E顺时针旋转得到 （或绕点E逆时针旋转得到） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，由同角的余角相等得，由等腰三角形三线合一的性质可得，则，以此可通过证明；②由等腰三角形三线合一的性质可得，以此可通过证明； （2）根据旋转的定义即可得到结论． 【小问1详解】 ①，理由如下： ，， ，， ，， ，即， 为等腰三角形，， ， ， ， 在和中， ， ； ②，理由如下： 为等腰三角形，， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴绕点顺时针旋转得到或绕点逆时针旋转得到． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $