第一章 三角形的证明及其应用（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理三角形证明及应用的核心内容，涵盖内角和定理、等腰（边）三角形、直角三角形、勾股定理等知识点，用表格归纳性质判定，明确重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点是分层练习设计，培优篇基础题型如利用内角和求值，拔尖篇综合题型如动点问题、折叠问题，结合例题变式培养推理能力和创新意识，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学。

第一章 三角形的证明及其应用（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【培优篇】 7 【题型1 利用三角形的内角和及外角性质求值】 7 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 10 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 14 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 17 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 21 【题型6 直角三角形】 27 【题型7 利用勾股定理探究图形面积】 31 【题型8 由勾股定理求线段长度】 37 【题型9 勾股数（树）的运用】 41 【题型10 网格中判断直角三角形】 44 【题型11 直角三角形全等的判定】 47 【拔尖篇】 52 【题型12 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 52 【题型13 格点与等腰三角形】 56 【题型14 确定构成等腰三角形个数的点】 59 【题型15 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 63 【题型16 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 66 【题型17 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 73 【题型18 利用勾股定理解决折叠问题】 78 【题型19 勾股定理的证明】 83 【题型20 勾股定理的应用】 88 【题型21 利用勾股定理求最短距离】 91 【题型22 勾股定理及其逆定理的综合】 95 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点3 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点4 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点5 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点6 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点7 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点8 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点9 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点10 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 知识点11 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点12 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 知识点13 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点14 线段垂直平分线判定 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点15 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点16 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点17 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【培优篇】 【题型1 利用三角形的内角和及外角性质求值】 【例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理与三角形的外角性质并灵活运用．利用三角形的外角性质可得，由三角形的内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：，， ． ， 即， 解得． 故的度数是． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例4】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算；延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明： ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例5】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式5-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式5-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【题型6 直角三角形】 【例6】如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【答案】56 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【变式6-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 【变式6-3】如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得，，，由此得，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ∵点是的中点， ， 为等边三角形； （2）证明：∵和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中，, ， ． 【题型7 利用勾股定理探究图形面积】 【例7】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（   ） A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 【答案】A 【分析】延长交于点H，根据直角三角形与正方形性质得，，，得四边形是矩形，得，得的值已知，可求． 【详解】解：延长交于点H， ∵在、正方形和正方形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的值已知， ∴可以求出． 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，直角三角形性质，正方形的性质，矩形的判定和性质、三角形面积公式，是解题的关键． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形．在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积，、、之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】设，，，求得的值，再证明四边形为正方形，进而求得的值，在中，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】设，，， 则，，， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴四边形的面积为， 在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、正方形的判定与性质、整式混合运算等知识，难度较大，灵活运用勾股定理是解题关键． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)风车的面积为393 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 【题型8 由勾股定理求线段长度】 【例8】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 【答案】(1)12 (2)13 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）连接．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出是等边三角形，即可求解； （2）利用等边三角形的性质确定是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． 是等边三角形， ． 是绕点B逆时针旋转得到的， ， ． ， 是等边三角形． ，即点P与点D之间的距离是12． （2），是等边三角形． ， 是直角三角形， ， ， ． 由（1）知． ． 【题型9 勾股数（树）的运用】 【例9】（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 【变式9-3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形， ∴，， ∵所有的四边形都是正方形 ， ∴，， ∴利用勾股定理得，， ∴最大的正方形的面积为， 故答案为：． 【题型10 网格中判断直角三角形】 【例10】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在网格上位置，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了网络三角形．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，平移性质，是解题的关键． 平移到，连接，则，证明是等腰直角三角形，得，，在和中，根据，得． 【详解】解：如图，平移到，连接， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45． 【题型11 直角三角形全等的判定】 【例11】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）如图，连接BF，利用的性质，结合已知条件证明，从而可得结论； （2）如图，连接BF，证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式11-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 【变式11-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 先说明，再根据“斜边，直角边”证明，可得，然后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】证明：， ， 即， 在和中，，， ， ， ． 【变式11-3】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）依照题意补全图形； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2），理由如下： 如图，连接，并延长交于点，过点作于，于， ， ， 是的中点， ， 又， ， ，， 将线段沿所在直线翻折， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， ． 【拔尖篇】 【题型12 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例12】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 【变式12-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 【变式12-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【题型13 格点与等腰三角形】 【例13】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 【变式13-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 【变式13-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式13-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【题型14 确定构成等腰三角形个数的点】 【例14】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式14-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式14-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 【变式14-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型15 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例15】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又 ， ， 故答案为：4． 【变式15-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 【变式15-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式15-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型16 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例16】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式16-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式16-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 【题型17 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例17】如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得 ，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 【变式17-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式17-2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 【变式17-3】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】（1）猜想：．理由见解析；（2）73 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）结论：．利用勾股定理即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 【题型18 利用勾股定理解决折叠问题】 【例18】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 【变式18-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，平行线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 【变式18-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ． 【答案】5或20/20或5 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理的应用，正确画出图形，做到数形结合，是解决问题的关键． 由矩形的性质得到，，，根据已知条件得到，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质、勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ∵，， ，， ， ∴四边形是矩形， 同理四边形是矩形， ，， ∵将沿所在直线翻折得到， ，， 当点在边上时，点恰好落在直线上，如图所示： 在中， ， ， ， ， 在中，， 即， ； 当点在边延长线上时，点恰好落在直线上，如图所示： 同理可求， ， 在中，， 即， ； 故答案为5或20． 【变式18-3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，得到，，设的长为，在中，，，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是长方形，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设的长为，则，，， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【题型19 勾股定理的证明】 【例19】（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 【变式19-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 【变式19-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 【变式19-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）可得， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴．    【题型20 勾股定理的应用】 【例20】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 【变式20-1】如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 【变式20-2】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 【变式20-3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【答案】(1)； (2)17米 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 【题型21 利用勾股定理求最短距离】 【例21】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 【答案】(1)圆锥 (2)扇形 (3)见解析 (4)125 【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥； （2）圆锥的侧面展开图是扇形； （3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果； （4）直接用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥; 故答案为：圆锥； （2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形； 故答案为：扇形； （3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接，则为蜗牛爬行的最短路线． （4）由题易知． 在中，由勾股定理，得． 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125． 【变式21-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 【变式21-2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，长方体的棱长，，假设昆虫甲从长方体内顶点以的速度在长方体的内部沿棱向下爬行．同时，昆虫乙从长方体内顶点以相同的速度在长方体的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲 【分析】本题考查勾股定理的应用．将长方体的侧面部分展开，若昆虫乙在点处捕捉到昆虫甲，连接交于点，则当时，用时最短．设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行捕捉到昆虫甲需要．在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：将长方体的侧面部分展开，如图所示． 若昆虫乙在点处捕捉到昆虫甲，连接交于点， 则当时，用时最短． 设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行捕捉到昆虫甲需要，则． 由题意可知，， ∵在中，． ， 解得． 昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲． 【变式21-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【答案】沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，把“立体图形”转化为“平面图形”，然后根据勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展成平面图形如下： 如图1，在中， ． 如图2，在中， ． 如图3，在中， ． ∵， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为． 【题型22 勾股定理及其逆定理的综合】 【例22】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】（1）若，，，求证：； 【猜想证明】（2）根据（1）中的结论，小明猜想：当满足，利用勾股定理及其逆定理，可证明是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确． 【答案】（1）见解析（2）结论成立，见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先在中，由勾股定理得，同理，可得，则为直角三角形，即可证明； （2）先在中，由勾股定理得，同理，由，，得出，则为直角三角形，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， 同理， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）结论成立，理由如下： ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 同理， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【变式22-1】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图1，四边形，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)如图2，以为坐标原点，以、所在直线为轴、轴建立直角坐标系，点在轴上，若，求的坐标． 【答案】(1)36 (2)或 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，坐标与图形，三角形的面积等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）连接，根据勾股定理可以求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以解答本题； （2）先根据，求出的长度，再根据点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：连接， 在中，， ， ， 在中，，， ， 是直角三角形， ， ． （2）解： ， ， ， ， ，点在轴上， 的坐标为或． 【变式22-2】（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，发现是一组常见的勾股数，故易证是直角三角形； （2）由（1）易得是直角三角形，再根据勾股定理列出关于直角三角形的三边关系式，结合，可以将关系式转为是关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形． （2）解：是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 解得， 故的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键找到一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方是解本题的关键． 【变式22-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，是边上的高，已知，，． (1)求的长； (2)过点A作的角平分线交边于点E，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）先证明是直角三角形且，再根据等面积法计算即可； （2）过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，证明，设，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形且， ∵， ∴； （2）解：如图，过点E作交于点F， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【培优篇】 7 【题型1 利用三角形的内角和及外角性质求值】 7 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 8 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 9 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 10 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 11 【题型6 直角三角形】 12 【题型7 利用勾股定理探究图形面积】 13 【题型8 由勾股定理求线段长度】 15 【题型9 勾股数（树）的运用】 16 【题型10 网格中判断直角三角形】 17 【题型11 直角三角形全等的判定】 18 【拔尖篇】 20 【题型12 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 20 【题型13 格点与等腰三角形】 21 【题型14 确定构成等腰三角形个数的点】 22 【题型15 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 23 【题型16 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 24 【题型17 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 25 【题型18 利用勾股定理解决折叠问题】 26 【题型19 勾股定理的证明】 27 【题型20 勾股定理的应用】 29 【题型21 利用勾股定理求最短距离】 30 【题型22 勾股定理及其逆定理的综合】 31 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 知识点3 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点4 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点5 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点6 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点7 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点8 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点9 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 知识点10 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 知识点11 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 知识点12 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 知识点13 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点14 线段垂直平分线判定 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点15 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点16 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点17 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【培优篇】 【题型1 利用三角形的内角和及外角性质求值】 【例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例4】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【变式4-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例5】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【题型6 直角三角形】 【例6】如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【变式6-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式6-3】如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【题型7 利用勾股定理探究图形面积】 【例7】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（   ） A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 【变式7-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【变式7-2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）在中，，，以为边在三角形外部作正方形．在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积，、、之间的数量关系 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． (2)如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【题型8 由勾股定理求线段长度】 【例8】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【变式8-3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 【题型9 勾股数（树）的运用】 【例9】（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【变式9-2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【题型10 网格中判断直角三角形】 【例10】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【变式10-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在网格上位置，则 ． 【题型11 直角三角形全等的判定】 【例11】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【变式11-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【变式11-3】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【拔尖篇】 【题型12 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例12】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【变式12-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【变式12-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【变式12-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【题型13 格点与等腰三角形】 【例13】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式13-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【变式13-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【题型14 确定构成等腰三角形个数的点】 【例14】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式14-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式14-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式14-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型15 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例15】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【变式15-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【变式15-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【题型16 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例16】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式16-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【变式16-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【题型17 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例17】如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式17-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【变式17-2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【变式17-3】（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【题型18 利用勾股定理解决折叠问题】 【例18】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式18-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的面积为 ． 【变式18-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ． 【变式18-3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为 ． 【题型19 勾股定理的证明】 【例19】（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式19-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式19-2】如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【变式19-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【题型20 勾股定理的应用】 【例20】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 【变式20-1】如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【变式20-2】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【变式20-3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【题型21 利用勾股定理求最短距离】 【例21】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为_______； (2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______； (3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方． 【变式21-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【变式21-2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，长方体的棱长，，假设昆虫甲从长方体内顶点以的速度在长方体的内部沿棱向下爬行．同时，昆虫乙从长方体内顶点以相同的速度在长方体的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【变式21-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【题型22 勾股定理及其逆定理的综合】 【例22】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】（1）若，，，求证：； 【猜想证明】（2）根据（1）中的结论，小明猜想：当满足，利用勾股定理及其逆定理，可证明是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确． 【变式22-1】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图1，四边形，，，，，． (1)求四边形的面积； (2)如图2，以为坐标原点，以、所在直线为轴、轴建立直角坐标系，点在轴上，若，求的坐标． 【变式22-2】（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【变式22-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，是边上的高，已知，，． (1)求的长； (2)过点A作的角平分线交边于点E，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $