精品解析：山东青岛市崂山区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，俯视图是三角形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若线段，，则 B. 若A，B两地在地图上的距离为，比例尺为，则两地实际距离为 C. 若线段，C是的黄金分割点，且，则 D. 在平坦空地立一根木杆，从上午到中午木杆的影长变化是从长变短 3. 如图，是的直径，是弦，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B. 从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C. 转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，是其对角线，沿折叠使点C落在上的处，得到，连接．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，于点F，交延长线于G．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：______． 12. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 13. 如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接．若是的切线，，，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作x轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．点为一次函数上一点，若，则点坐标为______． 15. 如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向下移动一定距离，使其过点，得到一条新的抛物线，过点作直线轴，交抛物线于点B，交抛物线于点C，则以下结论：①；②若点及点均在抛物线上，则；③；④；⑤，其中结论正确的是______． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：线段， 求作：，使得，，且．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 19. 为进一步了解“A．中国海洋大学”、“B．中国石油大学”、“C．山东科技大学”、“D．青岛大学”四所高校科创实力，九年级科创小分队的同学们计划进行为期一周的研学调研．为了调研的客观公平，每人将随机分配前往一所高校．请用画树状图或列表的方法，求小山和小海被分配到同一所高校进行研学的概率． 20. 随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生使用无人机的情况，数学社团的同学们通过问卷调查获得了数据，并对同一批统计数据进行了整理分析． 【整理数据】 （1）填空：______，“娱乐摄影”对应的圆心角度数为______°． （2）补全无人机用途的条形统计图． 【分析数据与决策判断】 （3）估计学生每周使用无人机时长的中位数在（ ）之间． A．25-40分钟 B．40-55分钟 C．55-70分钟 D．85-100分钟 （4）结合进一步的访谈调查发现，同学们对无人机的工业级应用（如快递物流、地理测绘等）并不了解，其中“每周使用无人机时长”在40分钟以上的同学更愿意参与下一步的科普讲座活动，已知全校学生约500人，请估计大约需要准备多少坐席？ 21. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 22. 已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 23. 如图，在中，为的中点，连接，并延长至点，使得点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由． 24. 提出问题：小明想将一张矩形纸片剪开，不留缝隙不重叠地拼成一个正方形，他认为剪拼的关键是确定新正方形的边长，他想找到一种画出边长的办法． 初探：小明从最简单的情形开始尝试，如图1，矩形长为2，宽为1，沿，剪两刀后就能拼成一个与原矩形面积相等的正方形，此时，新正方形边长为______； 解决：小明发现上述方法对于其它长方形不一定适用，于是他又做了新的尝试，如图2，延长到点M，使，以为直径构造圆，延长交圆于点N．此时图中长度恰好为新正方形边长的线段是______，请说明理由． 应用：如图3，矩形长为6，宽为4，若剪两刀后就能拼成一个与原矩形面积相等的正方形，则这个新正方形的边长为______； 请你在图3中画出裁剪线及拼接后的图形，并简要说明裁剪线是如何确定的． 25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； （3）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 26. 如图①，在中，，如图②，由四个与全等的直角三角形拼成，内外各围成一个正方形．点P从点A出发，沿大正方形边顺时针匀速运动，速度为；同时，点Q从点E出发，沿小正方形的边顺时针运动，速度为．连接，运动时间为，解答下列问题． （1）当时，是否存在一个时刻t，使得？如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （2）当时，连接，设的面积为S，求S与t的关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在一个时刻t，使得的面积恰好是外围大正方形面积的？如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体中，俯视图是三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，解题的关键是掌握常见几何体的俯视图形状． 分别分析每个选项中几何体的俯视图形状，再与题目要求的三角形进行比对． 【详解】解：A、圆锥的俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意； B、球的俯视图是圆，此选项不符合题意； C、正方体的俯视图是正方形，此选项不符合题意； D、三棱柱的俯视图是三角形，此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若线段，，则 B. 若A，B两地在地图上的距离为，比例尺为，则两地实际距离为 C. 若线段，C是的黄金分割点，且，则 D. 在平坦的空地立一根木杆，从上午到中午木杆的影长变化是从长变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，平行投影，比的应用，比例尺，根据黄金分割，平行投影，比的应用，比例尺进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、若线段，，则，比值计算正确，故选项A不符合题意； B、若A，B两地在地图上的距离为，比例尺为，则两地实际距离为，不是，故本选项错误，故B符合题意； C、若线段，C是的黄金分割点，且，则，故此选项正确，不符合题意； D、上午到中午，太阳高度角逐渐变大，木杆的影长会从长变短，该选项正确，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，是的直径，是弦，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；因此此题可根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴； 故选：C． 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．过点C作于点D，则，，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 则，，． ∴由勾股定理得． ． 故选：D． 5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B. 从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C. 转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D. 从一副去掉大小王扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出结果即可． 【详解】解： 和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点A与点C是对应点，点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点D的坐标为：，即． 故选：A． 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8. 某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得， ， 故选：D． 9. 如图，菱形中，是其对角线，沿折叠使点C落在上的处，得到，连接．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、含30度直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30度直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键；连接，与交于点O，由题意易得，，，由折叠的性质可知：，则有，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，与交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，于点F，交延长线于G．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据正方形和等边三角形性质得，，根据得，，进而得，是线段的垂直平分线，则，再证明得是等腰直角三角形，继而得，由此得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵于点F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵于点F，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵于点F， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，通过直接代入已知值进行计算. 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该商品经过两次涨价后的价格=该商品的原价这两次涨价的平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接．若是的切线，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握以上知识，合理作图是关键，如图所示，连接，过点作于点，根据切线的性质，等边对等角，圆周角定理，直角三角形两锐角互余得到，则，结合含30度角的直角三形的性质得到，根据图形特点，扇形面积的计算，由代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作x轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．点为一次函数上一点，若，则点坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的性质及交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据点在反比例函数的图象上，横坐标为1， 轴，点在一次函数的图象上，可求出点、点坐标，利用即可求出点的横坐标，问题可解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，横坐标为1， ． 轴，点在一次函数的图象上， ， ． ， ， ， 或， 或． 故填：或． 15. 如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向下移动一定距离，使其过点，得到一条新的抛物线，过点作直线轴，交抛物线于点B，交抛物线于点C，则以下结论：①；②若点及点均在抛物线上，则；③；④；⑤，其中结论正确的是______． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、解一元一次不等式及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的图象与性质及数形结合的数学思想对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 又抛物线由抛物线向下平移得到， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 又因为抛物线经过， 所以， ∴， 将分别代入和得， ，， ∴，故①正确； ∵，，且， ∴，故②错误； 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，即．故③正确； 由上述过程可知，， 则．故④正确； 因为，所以， 则．故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 已知：线段， 求作：，使得，，且．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作边长为的等边三角形，过点作于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解方程； （2）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤及方法；（2）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求出结论； （2）根据方程的系数结合根的判别式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）， ，即， ∴， ∴，． （2）∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是． 19. 为进一步了解“A．中国海洋大学”、“B．中国石油大学”、“C．山东科技大学”、“D．青岛大学”四所高校科创实力，九年级科创小分队的同学们计划进行为期一周的研学调研．为了调研的客观公平，每人将随机分配前往一所高校．请用画树状图或列表的方法，求小山和小海被分配到同一所高校进行研学的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及小山和小海被分配到同一所高校进行研学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小山和小海被分配到同一所高校进行研学的结果有4种， ∴小山和小海被分配到同一所高校进行研学的概率为． 20. 随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生使用无人机的情况，数学社团的同学们通过问卷调查获得了数据，并对同一批统计数据进行了整理分析． 【整理数据】 （1）填空：______，“娱乐摄影”对应的圆心角度数为______°． （2）补全无人机用途的条形统计图． 【分析数据与决策判断】 （3）估计学生每周使用无人机时长中位数在（ ）之间． A．25-40分钟 B．40-55分钟 C．55-70分钟 D．85-100分钟 （4）结合进一步的访谈调查发现，同学们对无人机的工业级应用（如快递物流、地理测绘等）并不了解，其中“每周使用无人机时长”在40分钟以上的同学更愿意参与下一步的科普讲座活动，已知全校学生约500人，请估计大约需要准备多少坐席？ 【答案】（1）24，216；（2）图见详解；（3）B；（4）大约需要准备260个坐席 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、中位数及频数直方图，解题的关键是理解题意； （1）根据统计图可进行求解； （2）由（1）可知：“娱乐摄影”的人数为人，然后可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义可进行求解； （4）由题意易得个，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由统计图可知：被抽取的总人数为（人）， ∴，“娱乐摄影”对应的圆心角度数为； 故答案为24，216； （2）解：由（1）可知：“娱乐摄影”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：由（1）可知：被调查的总人数为50人，所以中位数为第25和第26数据的平均数，则根据频数直方图可知：中位数为40—55分钟之间； 故选B； （4）解：由频数直方图可知： （个）； 答：大约需要准备260个坐席． 21. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； （1）过点作于点，作于点，得到四边形为矩形，推出，根据，设，则，利用勾股定理求得，最后利用，求得，即可求解； （2）过点作于点，于点，得到四边形为矩形，，根据，可求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴ ∵河堤的坡度为 ， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴鱼线的长度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴鱼上钩时，鱼线变短了米， 故答案为：． 22. 已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数待定系数法，一次函数的图像与性质，轴对称的最短路径问题等，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当三点共线时，的周长最小，先求出点的对称点，求出直线的解析式，再求解点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得： ， ∴； 将和代入得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴ ∴． 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，当时，， ∴． 23. 如图，在中，为的中点，连接，并延长至点，使得点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，由点是的中点，得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再由（1）的全等的性质结合 ，推出四边形为平行四边形，最后结合推出四边形为矩形即可． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵和中， ， ∴． 【小问2详解】 四边形矩形，理由如下： ∵， ∴等腰三角形． ∵为的中点， ∴． ∵由（1）得， ∴， ∵，， ∴四边形平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． 24. 提出问题：小明想将一张矩形纸片剪开，不留缝隙不重叠地拼成一个正方形，他认为剪拼的关键是确定新正方形的边长，他想找到一种画出边长的办法． 初探：小明从最简单的情形开始尝试，如图1，矩形长为2，宽为1，沿，剪两刀后就能拼成一个与原矩形面积相等的正方形，此时，新正方形边长为______； 解决：小明发现上述方法对于其它长方形不一定适用，于是他又做了新的尝试，如图2，延长到点M，使，以为直径构造圆，延长交圆于点N．此时图中长度恰好为新正方形边长的线段是______，请说明理由． 应用：如图3，矩形长为6，宽为4，若剪两刀后就能拼成一个与原矩形面积相等的正方形，则这个新正方形的边长为______； 请你在图3中画出裁剪线及拼接后的图形，并简要说明裁剪线是如何确定的． 【答案】初探：；解决：BN，理由见解析；应用：；图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形与正方形的面积关系、勾股定理、圆周角定理及图形剪拼的应用，解题的关键是利用面积相等确定新正方形的边长，并结合几何定理推导线段长度． 初探：根据矩形面积等于正方形面积，计算边长； 解决：利用圆周角定理（直径所对的圆周角为直角）及勾股定理，推导线段 为新正方形的边长； 应用：先由面积相等求边长，再结合前面的几何方法确定裁剪线的作法，进而完成矩形到正方形的剪拼。． 【详解】[初探]：解：矩形的面积为 正方形与原矩形面积相等， 正方形边长为． 故答案为：． [解决]：证明：∵是直径， ∴=， ∴+=， ∵=， ∴+=， ∴==， ∴， ∴，即， ∴， ∴新正方形的边长为． 故答案为：． [应用]解：矩形的面积为， 新正方形的边长为， 故答案为：． 拼图方式不唯一，例如，如图1，延长至M，使，作以为直径的圆，延长交圆于点N，再以F为圆心，为半径作圆，交矩形边于点Q，过G作于点K，沿剪开后可拼成正方形，且． 如图2，延长至M，使，作以为直径的圆，延长交圆于点N，再分别以H、G为圆心，为半径作圆，交矩形、边于点I、J，连接，过J作与交于点K，沿剪开后可拼成正方形，且． 25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； （3）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】（1）； （2）落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）不能，喷头至少向上调整高度米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【小问1详解】 解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； 【小问3详解】 解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 26. 如图①，在中，，如图②，由四个与全等的直角三角形拼成，内外各围成一个正方形．点P从点A出发，沿大正方形边顺时针匀速运动，速度为；同时，点Q从点E出发，沿小正方形的边顺时针运动，速度为．连接，运动时间为，解答下列问题． （1）当时，是否存在一个时刻t，使得？如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （2）当时，连接，设的面积为S，求S与t的关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在一个时刻t，使得的面积恰好是外围大正方形面积的？如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理得，则，可证明当时，点P在上运动，点Q在上运动，则，，证明，得到，即，解方程即可得到结论； （2）可证明当时，点P在上运动，点Q在上运动，过点P作于点M，证明，可求出，根据，列式求解即可； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：不存在一个时刻t，使得，理由如下： 如图所示， 假设存在一个时刻t，使得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）， ∴假设不成立， ∴当时，不存在一个时刻t，使得； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，点P在上运动，点Q在上运动， 如图所示，过点P作于点M，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：存在一个时刻t，使得的面积恰好是外围大正方形面积的， 由题意得，， 解得或（舍去）， 存在一个时刻t，使得的面积恰好是外围大正方形面积的，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $