精品解析：山东莱西市第四中学2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题

2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题 一．选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 在四个数π、、0、－1中，是无理数的（ ） A. π B. C. 0 D. －1 2. 中国国家图书馆藏书约万册，居世界第五位，把万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 笛卡尔心形线 D. 费马螺线曲线 4. 如图，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是描述某校国学社团成员年龄的条形图，关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数 C. 众数是16 D. 方差 7. 如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 8. 四边形内接于，，是的切线，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为( ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 10. 记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，例如max{﹣2，0，2}＝2，则函数y＝max{﹣3x﹣3，2﹣x，x}的图象大致为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. ________． 12. 一只不透明的口袋中装有若干个白球，再将8个红球放入袋中，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记录颜色、放回搅匀后再摸，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，根据频率的稳定性，估计袋中的白球有__________个． 13. 如图，在半径为6cm、圆心角为的扇形中，半径的垂直平分线交于点C，连接，则由，，围成的阴影部分面积为______． 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为_____． 15. 如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 16. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，且OP＝2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_____． 三．解答题（本题满分72分，共8道小题） 17. （1）已知，求代数式 的值； （2）解不等式组 ，并把其解集表示在数轴上． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 19. 承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 20. 如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，， （1）点A到的距离是______； （2）若，则______°; （3）求线段的长度． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的值和反比例函数的表达式． （2）请根据图象，直接写出时的取值范围． （3）设，且，当时，；当时，．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23. 已知正方形中，，点F是边上一动点（不与点C，D重合），连接并延长交的延长线于点G，点E是的中点． （1）如图1，当点F为中点时，求证：． （2）如图2，连接，当时，求的长． （3）如图3，连接，将绕点E逆时针旋转，使点D的对应点落在（不与点A重合）上，连接．问的度数是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 24. 如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线交平行四边形的边于点P． （1）连接，求证：； （2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； （3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题 一．选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 在四个数π、、0、－1中，是无理数的（ ） A. π B. C. 0 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：、是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意； 、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 、是负整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数． 2. 中国国家图书馆藏书约万册，居世界第五位，把万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 3. 数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 笛卡尔心形线 D. 费马螺线曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图像的定义逐项判断即可． 【详解】A．赵爽弦图不是轴对称图形，故该选项错误； B．斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故该选项错误； C．笛卡尔心形线是轴对称图形，故该选项正确； D．费马螺线曲线不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念：被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合，这样的图形为轴对称图形；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 4. 如图，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图概念即可解题. 【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替, 故选B. 【点睛】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 6. 如图是描述某校国学社团成员年龄的条形图，关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数 C. 众数是16 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键． 根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：A、平均数是，结论错误，故A不符合题意； B、总人数为20人，中位数是，结论正确，故B符合题意； C、众数是15，结论错误，故C不符合题意； D、方差，结论错误，故D不符合题意． 故选：B． 7. 如图，正方形中，E是上一点，将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接CG，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则点C到直线的距离为1．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，再由角平分线的定义得到，由正方形的性质可得，，则可导角证明，据此可判断①；过点B作于P，可证明，得到，，则可证明，则，据此可判断②；过点B作交于T，则，可证明是等腰直角三角形，，则，再证明，得到，则，据此可判断③；连接，由勾股定理得，利用等面积法得到，则，可得；由勾股定理得，由勾股定理得，据此可判断④． 【详解】解：根据翻折可知，点A和点F关于对称， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点B作于P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点B作交于T，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接， ∵正方形的边长为2，E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴点C到直线的距离为，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8. 四边形内接于，，是的切线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弦切角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质．连接，由弦切角定理知，又得是等边三角形，确定的度数，再由圆内接四边形的性质就可以求出． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：C． 9. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点 ，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为( ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与轴交点问题，根据二次函数的性质结合函数图象，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为 整理得，故②③正确； 由图像可知，当时，，故④正确． ∴正确的有①②③④， 故选：A． 10. 记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，例如max{﹣2，0，2}＝2，则函数y＝max{﹣3x﹣3，2﹣x，x}的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别画出的函数图象，进而进行判断即可，根据定义即可求解． 【详解】解：如图，分别画出的函数图象， 根据定义可知，y＝max{﹣3x﹣3，2﹣x，x}，取三个一次函数中，函数值较大的函数值，故大致图象与C符合， 故选C 【点睛】本题考查了新定义，根据一次函数图象交点求不等式，理解新定义是解题的关键． 二．填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为：． 12. 一只不透明的口袋中装有若干个白球，再将8个红球放入袋中，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记录颜色、放回搅匀后再摸，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，根据频率的稳定性，估计袋中的白球有__________个． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式的运用，掌握概率公式的计算方法是关键，根据题意设白球有个，根据概率公式列式求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为零， ∴是原分式方程的解， ∴白球有个， 故答案为：42 ． 13. 如图，在半径为6cm、圆心角为的扇形中，半径的垂直平分线交于点C，连接，则由，，围成的阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，证明，根据计算求解即可． 【详解】解：连接交于，如图： 半径的垂直平分线交于点C， ， ， 由题意知， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等知识点，解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积． 14. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】作轴，轴，垂足分别为， ，与交于点，首先求出的坐标，再证明为等腰直角三角形，进而得出，再证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出，然后设点的坐标为，则点 的坐标为，再根据，得出，解出即可得出点 的坐标，再把点 的坐标代入，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为， ，与交于点， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵点、 在直线上， ∴设点的坐标为，则点 的坐标为， ∵点、 在反比例函数上， 又∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴点 的坐标为， ∴， ∴k的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、解一元一次方程，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并正确作出辅助线． 15. 如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于 _______ ． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义及平行线的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的周长为，， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 16. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，且OP＝2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点P关于OA的对称点F，点P关于OB的对称点E，连接EF，OE，OF，则EF即△PMN周长的最小值，由作图可知△OEF是等腰三角形，即可求解； 【详解】解：作点P关于OA的对称点F，点P关于OB的对称点E，连接EF，OE，OF， 则EF即△PMN周长的最小值， ∵∠AOB＝60°， ∴∠EOF＝120°， 由对称性可知：OF＝OP＝OE＝2， ∴∠OEF＝∠OFE＝30°， ∴EF＝2. 故答案是：2. 【点睛】考查轴对称求最短路线问题；熟练掌握利用点的对称将三条线段和转化为一条线段是解题的关键． 三．解答题（本题满分72分，共8道小题） 17. （1）已知，求代数式 的值； （2）解不等式组 ，并把其解集表示在数轴上． 【答案】（1）2；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集． （1）先计算分式的乘法，再代入求值即可； （2）先求解每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：（1） • ， 当时，原式2； （2）解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2） 补图如下： ； （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数为， 补图略 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 19. 承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在 处放置一平面镜，她从点 沿后退，当退行3米到达 处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点 和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、 、 在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 【答案】咸阳钟楼的高度米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，设，则，，证明，得出，即，求出x的值，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：根据题干可知：米，米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， （米）， 答：咸阳钟楼的高度米． 20. 如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，， （1）点A到的距离是______； （2）若，则______°; （3）求线段的长度． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、勾股定理逆定理、等面积法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据点到直线的距离的定义即可解答； （2）先根据勾股定理逆定理可得，然后根据角的和差可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可解答； （3）运用等面积法解答即可． 【小问1详解】 解：点A到的距离为，即点A到的距离是6． 故答案为6． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【小问3详解】 解：由， ∴， 解得：． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的值和反比例函数的表达式． （2）请根据图象，直接写出时的取值范围． （3）设，且，当时，；当时，．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）； （2）或 （3）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点，，分别代入，求得的值，进而求得反比例函数的解析式； （2）根据题意画出函数图象，结合函数图象，即可求解； （3）根据题意，求得时的的值，进而即可求解． 【小问1详解】 将点，，分别代入， 得， 解得： ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 根据图象可知：时的取值范围为或； 【小问3详解】 解：不正确，理由如下， 当且时， 若当，即 解得：或（舍去） 如图所示，当时，， 当时，同理可得时，， ∴圆圆的说法不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据图象求不等式的解集是解题的关键． 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 23. 已知正方形中，，点F是边上一动点（不与点C，D重合），连接并延长交的延长线于点G，点E是的中点． （1）如图1，当点F为中点时，求证：． （2）如图2，连接，当时，求的长． （3）如图3，连接，将绕点E逆时针旋转，使点D的对应点落在（不与点A重合）上，连接．问的度数是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ． 为的中点， ． 在和中， ． （2） （3）是， 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，结合，，即可证明； （2）过点E作，则，由点 为的中点，得到点M，N分别为的中点，可得，，在中，由勾股定理，得，即可求得，由此得到的长； （3）根据旋转的性质和直角三角形斜边上的中线性质，得到，可以利用三角形内角和定理，结合等腰三角形的判定和性质求得；或者由，得到点A，，F，D共圆，利用圆周角定理也可以证得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E作，则． 点 为的中点， 点M，N分别为的中点． ，． ，， ，． 又， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． 【小问3详解】 的度数是定值． 方法一：根据旋转的性质，可得． 点E是的中点，为直角三角形， ， ． ，． ， ， ． 方法二：根据旋转的性质，可得． 点E是的中点，为直角三角形， ， 点A，，F，D共圆． ， 是直径， ， ． 24. 如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线交平行四边形的边于点P． （1）连接，求证：； （2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； （3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间的最小距离为； 【小问3详解】 解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $