专题01：平面向量线性运算【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题01：平面向量线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量的线性运算】 【练方法】 1.法则应用：利用三角形法则（首尾相接，和向量为起点到终点）、平行四边形法则（起点相同，和向量为对角线）处理加减运算；数乘运算结合几何意义（长度缩放、方向共线） 2.基底转化：选择一组不共线的向量作为基底，将未知向量用基底线性表示，通过运算律（交换律、结合律、分配律）化简表达式 3.起点终点衔接：关注向量的起点与终点，通过“首尾相连”“起点重合”等特征，将分散的向量转化为连续的线性运算 （24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. （2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）经典例题2例题    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D （25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. （24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C （24-25高一下·北京平谷·期中）已知P为所在平面内一点，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以 ， 故选：A. 【题型2：由向量线性运算求参数】 【练方法】 1.向量相等条件：若，（不共线），则且；坐标形式下，向量相等对应横、纵坐标分别相等 2.化简后对比系数：对等式两边的向量先进行线性运算化简，再根据向量相等的充要条件建立方程（组），求解参数 （24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ）经典例题1例题 A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. （24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C （2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【详解】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． （2023·四川绵阳·一模）如图，在中，，P为CD上一点，且满足 ，则m的值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数的方程，解之即可. 【详解】因为，即， 所以, 又 所以，解得. 故答案为：. （22-23高一下·河北石家庄·期中）已知是的重心，若，则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解. 【详解】连接并延长交于，如图，    因为是的重心，则是的中点， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故选：B. 【题型3：三点共线及向量共线问题】 【练方法】 1.共线定理：向量与非零向量共线存在唯一实数，使得 2.三点共线充要条件：若三点共线，则（为实数）；或对任意点，且 3.参数推导：通过线性运算表示相关向量，结合共线定理建立参数关系，求解比例或参数值 （25-26高三上·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： （24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，.小试牛刀1 (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. （23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．小试牛刀2 (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 （24-25高一上·北京昌平·期末）如图，在中，.设.小试牛刀3 (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【详解】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 【B·能力提升题型】 【题型1：共线定理及其应用】 【练方法】 1.构造共线向量：在几何图形中（如三角形、梯形），利用中点、分点、平行线等条件构造共线向量，结合共线定理（）建立比例关系 2.向量表达式化简：通过共线定理将复杂向量表达式转化为含参数的线性形式，用于证明三点共线、求线段比例或化简向量式 （24-25高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据三点共线可设，且，结合题意可得，再利用乘“1”法运算求解即可. 【详解】由题意可知：三点共线，可设，且， 因为，即, 又因为，，，， 则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. （24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】因为，所以， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D． （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ．小试牛刀1 【答案】3 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平面向量共线定理，再结合重心性质得出对应系数之间的关系，即可得出结果. （24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）小试牛刀2 (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. （2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 .小试牛刀3 【答案】 6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 【题型2：线性运算与面积之比】 【练方法】 1.系数与面积的关联：在中，若，则与的面积比为（若为的系数），与的面积比为 2.共线分点的面积比：若点在三角形的边上（如在上，），则与的面积比为，结合向量线性运算推导系数与面积比的关系 3.等底等高转化：利用等底等高三角形面积相等的性质，结合向量线性运算确定点的位置，简化面积比的计算 【多选题】（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ）经典例题1例题 A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B （24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C （23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B （23-24高一下·河南安阳·月考）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ．小试牛刀3 【答案】/0.25 【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可. 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 【题型3：线性运算在几何中的应用】 【练方法】 1.基底法：选择图形中不共线的两边向量作为基底，将所有相关向量用基底线性表示，通过向量运算分析长度、角度、平行/垂直等几何性质 2.坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，通过坐标运算（加减、数乘、数量积）求解几何问题（如长度、角度、面积） 3.几何性质结合：结合三角形中位线、平行四边形对角线平分等几何性质，简化向量线性运算的推导过程 【多选题】（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD （2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）．经典例题2例题 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量的平行四边形法则及矩形的概念判断即可. 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． （24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 ，点Q为线段AB的中点.则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. （24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知为内切圆的圆心，且，则 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： （23-24高一下·四川广安·期中）【多选题】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 【C·拓展培优题型】 【题型1：等和线的应用】 【练方法】 1.等和线定义：若一组平行线与过点的两条射线分别交于，则对线上任意一点，有，且（为等和线对应的常数，与平行线到的距离成正比） 2.等和线识别与应用：识别平行于的直线为等和线，确定值（如等和线过时，过时），利用的变化求解的取值范围、最值等问题 已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（　　）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：由题意可知，为外接圆的圆心，如图所示， 在圆中，劣弧所对的圆心角为，点为定点，点为优弧上的动点， 则点满足题中的已知条件，延长交于点， 设，由题意可知：， 由于三点共线，据此可得：， 则，则的最大值即的最大值， 由于为定值，故最小时，取得最大值， 因为，所以当时，最小，取得最小值， 此时，为等边三角形 所以． 故选A． 【点睛】本题主要考查向量基本定理的应用，利用三点关系，得到是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图:    设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于, 过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,, ,其中,又, 所以, 当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,, 当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题 如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．小试牛刀1    【答案】2 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 【题型2：向量的四心】 【练方法】 1.重心（）：，或（为任意点）；性质：重心分中线为 2.垂心（）：；或对，垂心满足（为外心） 3.内心（）：（为的三边长度，对应）；性质：内心到三边距离相等 4.外心（）：；或（若为外心） （24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ）经典例题1例题 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 【多选题】（22-23高一下·广东·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D. 【详解】对于A， ，为等边三角形，故A正确； 对于B， ，，、、三点不共线，故B错误； 对于C，设，，分别为，，的中点，则， ，， ，即，故C正确； 对于D， ，，， ，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 【多选题】（24-25高一下·江苏无锡·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    )小试牛刀1 A．若，则 B．若，则点､､三点共线 C．若点是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】A：根据向量的数乘和加减法法则即可判断；B：根据向量共线的性质即可判断；C：根据三角形重心的性质即可判断；D：根据向量共线和三角形面积即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若M、B、C三点共线，则存在唯一实数，使得， 则， ∵，∴，则λ无解，故M、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，延长AM交BC于D，∵M是△ABC重心，∴D是BC中点， 则， ∴，故C正确； 对于D，∵且，∴， 设则，则三点共线， 由MD=AD可知的面积是面积的，故D正确． 故选：ACD． （23-24高一下·贵州毕节·月考）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ）小试牛刀2 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 【多选题】（22-23高一下·重庆万州·月考）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 【答案】ACD 【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误. 【详解】A：由为的重心，则，，， 所以，即，正确； B：，由为外心，所以， 即，同理，故为垂心，错误. C：，所以， 因为，故，而， 所以，即，正确. D：，所以， 因为，故，正确. 故选：ACD 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    3．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 4．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在中，点满足，为的中点，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：. 5．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，根据向量的线性运算得，进一步得到，求比值运算即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 6．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 8．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 9．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 10．（23-24高一下·甘肃定西·月考）已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（    ） A．点在内部 B．是边的一个五等分点 C．是边的一个三等分点 D．是边的中点 【答案】D 【分析】利用向量的运算法因为则将等式变形，得到，即得出结论． 【详解】因为，所以， 即，即，所以是边的中点. 故选：D. 11．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，方法一：延长至点，令，从而可得三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故. 故选B： 二、多选题 12．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 13．（22-23高一下·四川成都·期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 14．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 【答案】重 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 15．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 16．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，且为梯形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形与的面积，即可结果. 【详解】由， 所以，若分别为的中点，如下图， 则，即，又，则， 故，所以， 综上，， 令梯形的高为，则，， 所以. 故答案为： 17．（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 【答案】 【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得. 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 18．（22-23高一下·山东菏泽·期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用向量的线性运算得到关于与的表达式，再根据三点共线可得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】依题意，作出图形如下，    因为，，，则， 所以 ， 因为三点共线，所以， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 19．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 20．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题01：平面向量线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量的线性运算】 【练方法】 1.法则应用：利用三角形法则（首尾相接，和向量为起点到终点）、平行四边形法则（起点相同，和向量为对角线）处理加减运算；数乘运算结合几何意义（长度缩放、方向共线） 2.基底转化：选择一组不共线的向量作为基底，将未知向量用基底线性表示，通过运算律（交换律、结合律、分配律）化简表达式 3.起点终点衔接：关注向量的起点与终点，通过“首尾相连”“起点重合”等特征，将分散的向量转化为连续的线性运算 （24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）经典例题2例题    A． B． C． D． （25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·北京平谷·期中）已知P为所在平面内一点，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由向量线性运算求参数】 【练方法】 1.向量相等条件：若，（不共线），则且；坐标形式下，向量相等对应横、纵坐标分别相等 2.化简后对比系数：对等式两边的向量先进行线性运算化简，再根据向量相等的充要条件建立方程（组），求解参数 （24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ）经典例题1例题 A． B．3 C． D． （24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． （2023·四川绵阳·一模）如图，在中，，P为CD上一点，且满足 ，则m的值为 ．小试牛刀2 （22-23高一下·河北石家庄·期中）已知是的重心，若，则（    ）小试牛刀3 A．1 B． C． D． 【题型3：三点共线及向量共线问题】 【练方法】 1.共线定理：向量与非零向量共线存在唯一实数，使得 2.三点共线充要条件：若三点共线，则（为实数）；或对任意点，且 3.参数推导：通过线性运算表示相关向量，结合共线定理建立参数关系，求解比例或参数值 （25-26高三上·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 .经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 .经典例题2例题 （24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，.小试牛刀1 (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. （23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．小试牛刀2 (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． （24-25高一上·北京昌平·期末）如图，在中，.设.小试牛刀3 (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【B·能力提升题型】 【题型1：共线定理及其应用】 【练方法】 1.构造共线向量：在几何图形中（如三角形、梯形），利用中点、分点、平行线等条件构造共线向量，结合共线定理（）建立比例关系 2.向量表达式化简：通过共线定理将复杂向量表达式转化为含参数的线性形式，用于证明三点共线、求线段比例或化简向量式 （24-25高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A．2 B．8 C．9 D．18 （24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ．小试牛刀1 （24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）小试牛刀2 (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. （2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 .小试牛刀3 【题型2：线性运算与面积之比】 【练方法】 1.系数与面积的关联：在中，若，则与的面积比为（若为的系数），与的面积比为 2.共线分点的面积比：若点在三角形的边上（如在上，），则与的面积比为，结合向量线性运算推导系数与面积比的关系 3.等底等高转化：利用等底等高三角形面积相等的性质，结合向量线性运算确定点的位置，简化面积比的计算 【多选题】（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ）经典例题1例题 A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 （23-24高一下·河南安阳·月考）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ．小试牛刀3 【题型3：线性运算在几何中的应用】 【练方法】 1.基底法：选择图形中不共线的两边向量作为基底，将所有相关向量用基底线性表示，通过向量运算分析长度、角度、平行/垂直等几何性质 2.坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，通过坐标运算（加减、数乘、数量积）求解几何问题（如长度、角度、面积） 3.几何性质结合：结合三角形中位线、平行四边形对角线平分等几何性质，简化向量线性运算的推导过程 【多选题】（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）．经典例题2例题 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 （24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 ，点Q为线段AB的中点.则 .小试牛刀1 （24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知为内切圆的圆心，且，则 .小试牛刀2 （23-24高一下·四川广安·期中）【多选题】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【C·拓展培优题型】 【题型1：等和线的应用】 【练方法】 1.等和线定义：若一组平行线与过点的两条射线分别交于，则对线上任意一点，有，且（为等和线对应的常数，与平行线到的距离成正比） 2.等和线识别与应用：识别平行于的直线为等和线，确定值（如等和线过时，过时），利用的变化求解的取值范围、最值等问题 已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设，则的最大值为（　　）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为经典例题2例题 A． B． C． D． 如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．小试牛刀1    【题型2：向量的四心】 【练方法】 1.重心（）：，或（为任意点）；性质：重心分中线为 2.垂心（）：；或对，垂心满足（为外心） 3.内心（）：（为的三边长度，对应）；性质：内心到三边距离相等 4.外心（）：；或（若为外心） （24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ）经典例题1例题 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【多选题】（22-23高一下·广东·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【多选题】（24-25高一下·江苏无锡·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    )小试牛刀1 A．若，则 B．若，则点､､三点共线 C．若点是的重心，则 D．若且，则的面积是面积的 （23-24高一下·贵州毕节·月考）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ）小试牛刀2 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【多选题】（22-23高一下·重庆万州·月考）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东惠州·期末）如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在中，点满足，为的中点，则（   ）      A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 8．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 9．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 10．（23-24高一下·甘肃定西·月考）已知的三个顶点及平面内一点，满足，则点与的关系为（    ） A．点在内部 B．是边的一个五等分点 C．是边的一个三等分点 D．是边的中点 11．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一下·四川成都·期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 三、填空题 14．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 15．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 16．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 17．（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 18．（22-23高一下·山东菏泽·期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 四、解答题 19．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 20．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $