精品解析：河南洛阳市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

2025——2026学年第一学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A B. C. D. 2. 全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 1 4. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知，则的最值为（ ） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值3 D. 最大值3 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中值为1的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，若，则________. 13. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，则_________. 14. 已知函数，函数，若．，不等式成立，则实数取值范围为________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求值. （2）若，求的值. 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 设函数满足. （1）求常数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于不等式. 18. 已知函数，将函数的图象左移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最小值. 19. 如图，已知直线，垂直于直线，，.点是的中点，是上一动点，作，交直线于，设. （1）写出的周长关于角的函数解析式； （2）求最小值. 20. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选:D. 2. 全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以 故选：C 3. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及两角和的正弦公式求解. 【详解】. 故选：A 4. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移变换求解即可. 【详解】因为， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：B 5. 已知，则的最值为（ ） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值3 D. 最大值3 【答案】C 【解析】 【分析】配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值. 【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3； 令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值. 故时，无最大值. 故选：C. 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可． 【详解】是定义在上的偶函数，且在上是增函数， 在上为减函数，则， ，， ， ，即． 故选：B． 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数图象求出振幅、周期、和相位，确定函数解析式；再计算一个周期内的函数值和，利用周期性求得结果. 【详解】由图象可知，函数最大值为，且，故. 由图象得，解得最小正周期，，得. 此时，将点代入：，即， 所以，结合，得.因此. 因为函数最小正周期，则， 所以 . 故选：C 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性与单调性，进而得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由题知的定义域为，，所以函数为奇函数. 因为均为上的增函数， 所以函数为上的增函数， 所以， 所以，即，且， 所以，当且仅当时等号成立， 即，解得，， 所以，当，时，取得最小值. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象变换，周期为，则根据对称性，周期为，而，同理可判断各选项. 【详解】作的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A错误； ，周期为，故B正确. 由于的周期为，周期为，故C正确； 由于的周期为，则根据对称性，周期为，故D正确； 故选：BCD 10. 下列各式中值为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式，二倍角公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】画出的大致图像，根据图像对选项进行分析，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】的大致图像如图所示.若方程有三个不等的实数解， 则根据图像可得，且，故A错误. 令，得，令，得，则，故B错误； 所以，故C正确. ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为锐角，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出和，再代入两角和的正切公式计算结果. 【详解】已知为锐角，，则，. 所以. 故答案为： 13. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得函数周期为8，根据题意结合周期性可得答案. 【详解】由可得：， 所以函数周期为8，则， 由，则，解得. 故答案为：1. 14. 已知函数，函数，若．，不等式成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令,利用二次函数图像的性质求函数的最大值,令对函数按进行讨论求出函数最大值，由题可得解不等式即可得到所求范围 【详解】，当时，令, 可得，对称轴为，故最大值为, 即得最大值为, 当时，令，则. 当时，, 当时，二次函数对称轴为，故函数在对称轴处取到最大值为, 当时，开口向上，0距对称轴远，故当时取到最大值为, 所以 由题意可得, 即当时，，解得，故. 当时，，满足题意, 当时，，解得 综上：. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式求出，再利用同角三角函数的关系求出； （2）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式求出的值. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 则， 因为，所以， 因为，所以. 17. 设函数满足. （1）求常数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）函数在上是单调递增函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求解的值； （2）利用函数单调性的定义，通过作差判断函数的单调性； （3）先根据函数的奇偶性将不等式进行转化，再结合函数的单调性求解不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，是奇函数， ∴，∴， 经检验时， 【小问2详解】 由（1）知，设，，且，则 ， ∵，，∴. 又∵， ∴，即， ∴函数在上是单调递增函数. 小问3详解】 由，得，即. 又∵在上单调递增， ∴，即，解得， ∴原不等式的解集为. 18. 已知函数，将函数的图象左移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，解不等式，，可得出函数的增区间； （2）由可计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 函数的图象左移个单位，再向下平移1个单位， 得到函数 所以函数的最小正周期为， 令，，整理得：，. 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， ∴ 当即时，函数最小值为. 19. 如图，已知直线，垂直于直线，，.点是的中点，是上一动点，作，交直线于，设. （1）写出的周长关于角的函数解析式； （2）求的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题知，进而在，中求解，再结合勾股定理求得即可求得周长； （2）令，将问题转化为求，的值域问题即可. 【小问1详解】 解：在中，∵，且， ∴； ∵，∴，∴在中，， ∴， ∴的周长，. 【小问2详解】 解：， 令，则， ∵，∴，∴， ∴， ∵在上单调递减， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 20. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义及对数运算性质求解即可； （2）把函数有2个零点问题转化为有2个根，令，则函数有2个正号零点，结合二次函数零点分布分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以， 即，所以， 即，所以，得， 经检验当时，函数是偶函数. 【小问2详解】 函数有2个零点， 即关于的方程有2个不相等的实数根， 化简上述方程得，即， 所以，所以. 令，得关于的方程. 记，且， ①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根， 不符合题意. ②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点， 因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即， 解得或，又，所以. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $