精品解析：河南省南阳市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

河南省南阳市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，， ，则， 所以函数的零点位于区间. 故选：C. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求的值即可. 【详解】因为分段函数， 所以， . 故选：D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 【答案】B 【解析】 【详解】设夹谷石，则， 所以， 所以这批米内夹谷约为石，故选B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 4. 某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先按分层抽样比例算出甲、乙抽取的件数，再计算30件产品的总平均数，最后代入分层抽样方差公式，结合各组方差、组平均数与总平均数的差值计算总方差. 【详解】甲厂总数200，乙厂总数100，总量比甲：乙=2：1，总样本量30. 甲抽取： 件，乙抽取： 件. 因为甲平均数，乙平均数， 所以， 总方差 其中：， ，， 代入计算：. 最终这30件产品的方差为. 故选：C. 5. （北师大必修一 P128C组第3题）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与指数函数的单调性可比较数的大小. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：A. 6. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（ ） A. 2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B. 2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C. 2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D. 2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的图像的对称轴为， 当时，函数开口向下，则可得时，不恒成立，故不符合题意； 当时，，函数在上单调递增，符合题意； 当时，由在上单调递增可知， 二次函数在上单调递增，且恒成立， 则，解得． 综上所述：函数在上单调递增，的范围为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A. 8. 已知函数是的反函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，点是函数图像上的两个不同点，则 B. 若a，b，c均为正数，且，则 C. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 D. 对于正数m，n，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反函数，再结合取特殊值、凹凸性、函数单调性、反函数对称性、构造函数比大小，逐一判断A、B、C、D四个选项的正误. 【详解】方法一：取特殊值 对于A，由是的反函数知取点， ，又 故A错误． 方法二：（数形结合） 如图： 设A，B是图像上任意不同两点，连接AB，取线段AB中点，过点作轴垂线交于，则，显然，．故A错误． 对于B，由A知函数图象与函数图象在上有交点，设交点横坐标为，则此时，故B错误． 对于C，因为函数图象与函数图象关于对称，设函数图象与函数图象交点为，函数图象与函数图象交点为，函数与图象交点为，如图： 则点A，点关于点对称，即，故C正确． 对于D，由已知得，即 令，则原不等式化为，又在R上为增函数，则，故D错误． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数满足既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次判断每个选项的定义域、奇偶性、单调性，筛选出同时满足奇函数且在定义域内单调递增的函数. 【详解】选项A：，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，排除A. 选项B：，定义域为，关于原点对称，，是奇函数，且，在上单调递增，满足条件，B正确. 选项C：定义域，关于原点对称，，是奇函数. 单调性：内层在上递增，外层对数函数递增，复合后单调递增，满足条件，C正确. 选项D：分段函数，定义域，关于原点对称， 当时，，则，而，因此. 当时，则. 当时，，则. 综上，，满足奇函数定义. 当时，单调递增；时，单调递增； 时，单调递增；且分段点处连续衔接，整体在上单调递增，满足条件，D正确. 故选：BCD 10. （改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上具有单调性 B. 若关于的方程有三个实数根，则 C. 若，则的最小值为5 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断分段函数单调性，再分别对A、B、C、D四个选项，结合函数单调性、方程根的分布、基本不等式、分段函数不等式求解，逐一验证对错。 【详解】对于A：易知在均为单调递增，且当时，，故在上单调递增．故A正确； 对于B：令，由得： ，即 得：要使方程有三个实数解， 则①，解得：②，解得：.. 所以：或．故B错误； 对于C：由A知在上单调递增，由得，即， 所以，当且仅当时，等号成立．故C正确； 对于D：． （1）当，解得：； （2）当， 因为，在单调递增，当时， 所以不成立，不等式无解； （3）当， 因为，在单调递增，当时，，所以不成立，不等式无解； 综上：不等式的解集为．故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案. 【详解】已知命题“”为假命题， 则该命题的否定：“”为真命题. 此时二次函数的判别式满足 . 即， 化简可得： 综上，实数的取值范围是 . 故答案为： 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，即可得出的值. 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在实数，满足且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入函数表达式化简，分离参数，将问题转化为等于关于的函数，结合的范围，求该函数的值域即为的取值范围. 【详解】，即为， 题意转化为在上有解． 令． 因为均为偶函数，所以只需要研究当时，交点情况即可． 又， 所以当，即能成立． 因为，所以， 当，即能成立． 因为，所以， 所以 综上所述：实数的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得； （2）由可得，分为空集、非空两种情况，列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 已知， 当时，． 因为，所以， 【小问2详解】 选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 16. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. （1）求的值； （2）求恰有一人通过体能测试的概率； （3）求至少有一人通过体能测试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． 【小问2详解】 记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. 【小问3详解】 记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 17. “臣本布衣，躬耕于南阳”，南阳武侯祠是全国重点文物保护单位和国家AAAA级旅游景区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值及满意度评分的平均数； （2）景区将对满意度评分位列前的游客发放纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； （3）若采用分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取5名游客参加景区交流大会，大会需要从这5名游客中抽取2名进行发言．求这2名发言者分数差大于10分的概率． 【答案】（1），84.6 （2）92 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即可求解； （2）游客的满意度评分至少要达到分位数，利用分位数的定义，结合直方图列式求解即可； （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型概率公式运算求解即可. 【小问1详解】 由图可知：，解得， ， 【小问2详解】 因为满意度评分位列前，所以游客的满意度评分至少要达到分位数， 因为， 所以分位数在区间内，设为， 则，解得. 【小问3详解】 记“这2名发言者分数差大于10分”为事件A. 在中抽取人，记为；则在抽取3人，记为； 所有的取法为：，共10种． 满足条件的共6种． 所以 即这2名发言者分数差大于10分的概率为． 18. 已知函数且． （1）求函数的定义域； （2）讨论的单调性； （3）当时，若存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数真数大于0，结合指数函数单调性分和解不等式求定义域； （2）根据复合函数“同增异减”，结合内外层函数单调性讨论单调性； （3） 由得递增，将不等式转化为函数值大小关系，再分离参数求的取值范围. 【小问1详解】 要使函数有意义必须，即． 若，则； 若，则． 综上所述：当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为； 【小问2详解】 令． 当时，函数为增函数，为增函数， 所以函数为增函数，增区间为； 当时，函数为减函数，为减函数， 所以函数为增函数，增区间为． 【小问3详解】 当时，函数的定义域为，在上单调递增． 所以原不等式可化为在上能成立，只需能成立. 令，则． 又所以， 所以，即实数的范围为． 19. 已知函数． （1）若， （i）判断的奇偶性，并证明； （ii）若存在，使得方程有解，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）奇函数，证明见解析；（ii） （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可求得，进而求得，利用奇偶性的定义为奇函数； （ii）由题意可得在有解，进而结合函数的单调性可求得的取值范围； （2）化简，由题意得，利用换元法结合函数的单调性可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由已知得：． （i），定义域为． 化简得：，． 所以， 所以为奇函数； （ii）因为， 则， 所以， 所以化为：， 即． 又在单调递增，所以，则， 所以，即存在，使得成立， 因为，所以； 【小问2详解】 由已知得：或． 又，且，则， 所以，在单调递增，则． 由已知，即，且． ，则， 令，则函数在上单调递增， 因为，所以．即，解得：． 所以实数的范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 4. 某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（ ） A. B. C. D. 5. （北师大必修一 P128C组第3题）已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（ ） A. 2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B. 2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C. 2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D. 2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 8. 已知函数是的反函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，点是函数图像上的两个不同点，则 B. 若a，b，c均为正数，且，则 C. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 D. 对于正数m，n，满足，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数满足既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. （改编自北师大必修一 P197例1）袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与独立 11. 已知函数，则（ ） A. 在上具有单调性 B. 若关于的方程有三个实数根，则 C. 若，则的最小值为5 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 13. 若，则______． 14. 已知函数，若存在实数，满足且，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. （1）求的值； （2）求恰有一人通过体能测试的概率； （3）求至少有一人通过体能测试的概率． 17. “臣本布衣，躬耕于南阳”，南阳武侯祠是全国重点文物保护单位和国家AAAA级旅游景区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值及满意度评分的平均数； （2）景区将对满意度评分位列前的游客发放纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； （3）若采用分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取5名游客参加景区交流大会，大会需要从这5名游客中抽取2名进行发言．求这2名发言者分数差大于10分的概率． 18. 已知函数且． （1）求函数的定义域； （2）讨论的单调性； （3）当时，若存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若， （i）判断的奇偶性，并证明； （ii）若存在，使得方程有解，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $