精品解析：湖北恩施土家族苗族自治州巴东县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025年秋季学期期末教学质量监测 九年级数学试题卷 范围：九上全册 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题感选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答、填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程解是（ ） A. B. C. D. 3. 对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ） A. 形状相同 B. 顶点相同 C. 最小值相同 D. 最大值相同 4. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 5. 方程配方后得，则值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆外 D. 不能确定 7. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 8. 如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（ ） A B. C. D. 9. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为（ ） A. 12.5寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸 10. 如图，抛物线过点（，，均为常数，且），与轴两个交点的横坐标为和，下列说法： ①； ②； ③抛物线必过；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 12. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：“一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为_____．（结果化为一般式，不需要解方程） 13. 如图，由16个相同小正方形格子组成的图形，在图中任取一点，则点落在阴影部分的概率为________． 14. 如图，将矩形的沿折叠，点在边上，点恰好落在矩形的对称中心处，则的值为________． 15. 如图，将一锐角为的三角板（）放入扇形中，点落在半径上，直角顶点落在上，，则的长为________，图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（共75分） 16. 定义运算：，例如．若，求满足条件的的值． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，． （1）尺规作图：将线段绕点顺时针旋转到位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，则 ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）判断此方程的根的情况； （2）若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 19. 2025年12月6日，在巴东巫峡口景区举办的“我爱长江·我爱巴东·巫峡登高”红叶季登高活动中，参赛者甲和乙登顶后各获得“巫峡口神农溪无源洞”免费体验券一张，现两人确定在三个景区中，随机选择一个景区游玩一天．请用列表或画树状图的方法，求他们选择同一个景区的概率． 20. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求，的值，并在平面坐标系中画出该函数的图象； （2）点为平面内的一点，为二次函数图象上一动点，点到轴的距离为，试比较与的大小． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，点在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某超市销售马年主题玩具，每个进价6元．当售价定为12元时，每周售出240个．市场调查发现：售价每涨2元，每周销售量减少60个．设每周销售量为个，销售单价为元． （1）请直接写出与之间函数表达式； （2）当销售单价定为多少元时，每周销售完这些玩具可获得最大利润？最大利润是多少元？ 23. （1）如图1，已知是等边三角形，为它的外接圆，点是上任一点． ①求的度数； ②求证：； （2）根据上面的解答，完成下列作图探究．如图2，，，请在上找一点使得，保留作图痕迹，不写作法，简单说明理由． 24. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求的长； （2）将点向左平移个单位长度得到点，点关于原点的对称点在抛物线上，求的值： （3）点关于轴的对称点为，线段绕点旋转得到线段（点的对应点为，点的对应点为），若点都在抛物线上，直接写出点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末教学质量监测 九年级数学试题卷 范围：九上全册 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题感选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答、填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判断即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得． 【详解】解：， 移项得， 解得， 故选：B． 3. 对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ） A. 形状相同 B. 顶点相同 C. 最小值相同 D. 最大值相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意； ∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，准确区分必然事件、随机事件、不可能事件是解题的关键．根据事件发生的可能性，“手可摘星辰”是不符合客观现实的，属于不可能事件． 【详解】解：：“黄河入海流”是必然事件； ：“大漠孤烟直”是随机事件； ：“手可摘星辰”是不可能事件； ：“红豆生南国”是随机事件． 故选：． 5. 方程配方后得，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的步骤．通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，进而确定和的值，最终计算． 【详解】解：， ， ， ， 与比较，得，， ． 故选：． 6. 如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理可得，再由点与圆的位置关系即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意可得：的半径为， ∵， ∴点在圆外， 故选：B． 7. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 8. 如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 9. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为（ ） A. 12.5寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理，设直径为寸，利用列方程即可． 【详解】解：连接， 设直径的长为寸，则半径寸， ∵为⊙O的直径，弦于E，寸， ∴ ， 根据勾股定理得， 解得， (寸)． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 10. 如图，抛物线过点（，，均为常数，且），与轴两个交点的横坐标为和，下列说法： ①； ②； ③抛物线必过；其中正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，结合图象可得抛物线的对称轴，即，从而判断①正确；由抛物线与轴两个交点关于对称轴对称，得出，即可判断②正确；抛物线是由抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，从而可得将点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度为，即，即可判断③正确，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴结合图象可得抛物线的对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴两个交点的横坐标为和， ∴抛物线与轴两个交点关于对称轴对称， ∴， ∴，故②正确； 抛物线是由抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 将点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度为，即， ∵抛物线过点， ∴抛物线必过，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，函数图象的开口向上，写出即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线的开口向上． 故答案为：（答案不唯一，只要二次项系数为正数即可）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一． 12. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：“一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为_____．（结果化为一般式，不需要解方程） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是关键．已知宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列出方程，并化为一般式即可． 【详解】解：已知宽为x步，则长为步， 根据题意得， 去括号，并整理得． 故答案为：． 13. 如图，由16个相同的小正方形格子组成的图形，在图中任取一点，则点落在阴影部分的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，该图形由16个相同的小正方形格子组成，且阴影部分的小正方形格子有个，用阴影部分的小正方形格子数除以小正方形格子总数即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵该图形由16个相同的小正方形格子组成，且阴影部分的小正方形格子有个， ∴点落在阴影部分概率为， 故答案为：． 14. 如图，将矩形的沿折叠，点在边上，点恰好落在矩形的对称中心处，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，连接，由题意可得、、共线，则，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，则，，由勾股定理可得，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是矩形的对称中心， ∴、、共线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将一锐角为的三角板（）放入扇形中，点落在半径上，直角顶点落在上，，则的长为________，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，，求出，得出，求出，连接，证明点、、、四点共圆，得出，证明为等边三角形，得出，从而可得，证明，得出，求出，作于点，则，从而可得，，求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 定义运算：，例如．若，求满足条件的的值． 【答案】满足条件的的值为或5． 【解析】 【分析】本题考查实数的新定义，解一元二次方程．根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， 即或， 解得：或， 答：满足条件的的值为或5． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，． （1）尺规作图：将线段绕点顺时针旋转到位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，则 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先过点作线段的垂线，再以点为圆心，在垂线上截取，则即为所作； （2）由旋转的性质可得，，求出，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图：即为所作， 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得，， ∵，， ∴， 如图，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）判断此方程的根的情况； （2）若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值． 【答案】（1）该方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程根与系数的关系． （1）利用根的判别式求得，即可得到方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系求得，，根据题意得到，，据此计算得出答案即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：设两根为和且， 由根与系数的关系得：，， ∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大， ∴，， ∴，， 解得， ∴整数． 19. 2025年12月6日，在巴东巫峡口景区举办的“我爱长江·我爱巴东·巫峡登高”红叶季登高活动中，参赛者甲和乙登顶后各获得“巫峡口神农溪无源洞”免费体验券一张，现两人确定在三个景区中，随机选择一个景区游玩一天．请用列表或画树状图的方法，求他们选择同一个景区的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．用树状图列举出可能出现的情况，再进一步即可求解． 【详解】解：用分别表示巫峡口，神农溪，无源洞， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果：、、、、、、、、， 其中甲、乙两人都选择同一个景区结果有3种， 他们选择同一个景区的概率． 20. 已知二次函数图象经过点和点． （1）求，的值，并在平面坐标系中画出该函数的图象； （2）点为平面内的一点，为二次函数图象上一动点，点到轴的距离为，试比较与的大小． 【答案】（1），图象见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，作函数图象，二次函数的性质等． （1）利用待定系数法可求得，得到二次函数的解析式，再根据列表、描点、连线，可画出该函数的图象； （2）设点，得到，求得，，据此比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 列表： 0 1 2 2 1 2 描点、连线，该函数的图象如图： 【小问2详解】 解：∵点， 为二次函数图象上一动点， ∴设点， ∵由图象得， ∴点到轴的距离为， ∴， ， ∴，即． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，点在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，，再由三角形内角和定理可得，从而得出，即可得证； （2）连接，证明是的切线，得出，再结合题意得出，从而得出，由勾股定理可得，设，则，再结合，得出，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、证明直线是圆的切线、切线长定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22. 某超市销售马年主题玩具，每个进价6元．当售价定为12元时，每周售出240个．市场调查发现：售价每涨2元，每周销售量减少60个．设每周销售量为个，销售单价为元． （1）请直接写出与之间的函数表达式； （2）当销售单价定为多少元时，每周销售完这些玩具可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为13元时，每周可获得最大利润，最大利润是1470元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，找到等量关系准确地列出函数关系式，并将关系式进行配方是解决问题的关键． （1）根据“销售量原销量因价格下降而增加的销量”可得； （2）根据“总利润单件利润销售量”，列出解析式，然后利用配方法求出二次函数最值得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，有：， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴与之间函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴当时，W的值最大为1470， 答：当销售单价定为13元时，每周可获得最大利润，最大利润是1470元． 23. （1）如图1，已知是等边三角形，为它的外接圆，点是上任一点． ①求的度数； ②求证：； （2）根据上面的解答，完成下列作图探究．如图2，，，请在上找一点使得，保留作图痕迹，不写作法，简单说明理由． 【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，再由圆周角定理即可得出结果；②由等边三角形的性质可得，，结合圆周角定理可得，，求出， 再由圆周角定理可得，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧在边的下方交于点，作直线，交边上方圆弧于点，连接，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，作直线交边下方的圆弧于点，连接、、，则． 【详解】（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长至点，使得，连接， ， 则， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧在边的下方交于点，作直线，交边上方圆弧于点，连接，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，作直线交边下方的圆弧于点，连接、、，则， ， 理由如下： 由作法可得：垂直平分、垂直平分， 连接、、， 由线段垂直平分线的性质可得：，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 由（1）②可得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求的长； （2）将点向左平移个单位长度得到点，点关于原点的对称点在抛物线上，求的值： （3）点关于轴的对称点为，线段绕点旋转得到线段（点的对应点为，点的对应点为），若点都在抛物线上，直接写出点，的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点，，． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的平移，中心对称的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）分别令，求出的值，令，求出的值，即可得出的坐标； （2）根据平移的性质得出，再根据中心对称的性质得出，代入，求出的值； （3）根据题意可得点，设点，，再由旋转的性质可得，据此计算即可求解． 小问1详解】 解：对于， 当时，， 解得，， ∴，, 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 又将点C向左平移个单位长度得到点D， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 把点代入，得： ， 解得，或， 所以，； 【小问3详解】 解：根据题意得：点， 设点，， ∵将线段绕点旋转得到线段，， ∴， 解得：， ∴点，， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点问题，中心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $