专题4.2 提公因式法 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

提公因式法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 用提公因式法分解因式 考点梳理 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 示例： · 分解： 公因式为，分解结果为。 · 分解： 公因式为 (-2ab)，分解结果为（注意括号内各项符号的变化）。 典例引领 考向01 公因式 【例1】用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 考向02 提公因式法分解因式 【例2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握好因式分解的方法是关键．通过提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 对点提升 【对点1】与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式由系数最大公因数和字母公因式组成，字母取指数最小值，由此求解即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：与的系数最大公因数为，字母的指数最小值为，字母的指数最小值为， 故公因式为， 故选：A． 【对点2】小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 2．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件，将表达式进行因式分解和代入求值． 【详解】解：， 故选：C． 3．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 4．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 5．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 7．所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【详解】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 8．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 9．已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 10．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【详解】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 2、 填空题 11．如图，一次函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 12．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 13．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 15．若，则的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 3、 解答题 16．阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】(1)； (2)嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，因式分解的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：由图1可知， ， ， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ，， ， ， 嘉嘉同学的想法正确． 17．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)3 【分析】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）①根据同底数幂乘法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；②根据幂的乘方运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；③再根据对称式的定义判断即可；④根据同底数幂除法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可； （2）根据对称式的定义可得，则可证明，根据，可得，据此可得答案； （3）根据（2）所求可得，则可求出的值，再根据完全平方公式可得答案． 【详解】（1）解：①， 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式， 因为， ∴， ∴代数式是对称式； ②， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式是对称式； ③代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴代数式是对称式； ④， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式不是对称式； 故答案为：①②③； （2）解：交换代数式中字母m、n的位置可得 ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 19．已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 20．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 提公因式法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 用提公因式法分解因式 考点梳理 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 示例： · 分解： 公因式为，分解结果为。 · 分解： 公因式为 (-2ab)，分解结果为（注意括号内各项符号的变化）。 典例引领 考向01 公因式 【例1】用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 考向02 提公因式法分解因式 【例2】因式分解： ． 对点提升 【对点1】与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【对点2】小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 5．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 8．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 2、 填空题 11．如图，一次函数的图象经过点和，则的值为 ． 12．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解： ． 13．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 14．已知，则 ． 15．若，则的和为 ． 3、 解答题 16．阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 17．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 18．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 19．已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 20．（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $