20.1.1 勾股定理及其验证 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版数学8年级下册培优精做课件 20.1.1 勾股定理及其验证 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年2月8日 2026年2月8日星期日9时25分29秒 2026年2月8日星期日9时25分30秒 导入新知 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五. 勾 股 弦 知识点 1 勾股定理的认识与证明 如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形,所得正方形的面积分别为9，16, 25, 且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 3 4 5 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系? （图中每个小方格是1个单位面积） A中含有____个小方格，即 A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 9 9 18 9 A B C 图1 结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: SA+SB=SC 　 　【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？　　 返回 9 1. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________． 25 34 SA＋SB＝SC 中考考法 5 【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？ A B C 图2 结论：仍然成立. A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 34 25 9 （图中每个小方格是1个单位面积） 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流． A B C 问题2 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗? 问题4 那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是: a b c 至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC . a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 问题1 去掉网格结论会改变吗？ 问题3 去掉正方形结论会改变吗？ 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2. a b c 猜想： 拼图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚. 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． 2. (4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理． 中考考法 返回 中考考法 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看. 赵爽拼图证明法： c 图1 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 图2 c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形. 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 b  a 〓 M N P 剪、拼过程展示： 12 www.1230.org 初中数学资源网 “赵爽弦图” 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 c a b ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 证明： ∴. 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab. ∴a2 +b2=c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4ab+c2 =c2+2ab， 返回 3. C [邯郸月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 中考考法 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证明： ∵S梯形， S梯形， 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 勾 股 弦 a b c 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则. A B C A B C 　　勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方. c b a a2 + b2 =c2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2 公式变形 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解： (1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 C A B 利用勾股定理求直角三角形的边长 c b a 考点1 ； 返回 4. B [廊坊月考]如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　) 中考考法 （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 在Rt△ABC中， ∠C=90°. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得， (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得， (舍去). 提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长 （舍去）. 考点2 ∴. ∵∠A=30°，b=15， ∴c=2a. ∴. 返回 5. B [教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　) 中考考法 返回 6. B 如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(　　) 中考考法 返回 7. C [衡水月考]一个直角三角形，若三边长的平方和为50，则斜边长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 中考考法 8. (8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c． (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； 中考考法 解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)． ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 返回 中考考法 27 返回 9. B 如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(　　) 中考考法 28 返回 10. B 如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(　　) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2>S3 D．S1′<S3′－S2′ 中考考法 29 返回 11. 8 中考考法 30 返回 12. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 中考考法 31 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 课堂小结 证明 证明：由题图可知大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4×ab，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方． A．1 B． C． D．2 A． B． C． D． A．2 B．2 C．4 D．3 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. A．5 B．5或 C． D．2 在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若c－a＝6，b＝2 ，则△ABC的面积为________． $