20.1 勾股定理及其应用（第1课时 勾股定理及其验证）课件【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第一课时 勾股定理及其验证 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点） 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角，其余两个角互余.对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢? 在<<周髀算经>>的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出"两矩共长二十有五"，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 3 4 5 所得正方形的面积分别为 ____，____，____. 9 16 25 面积之间的数量关系是: 9 + 16 = 25 这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形， 转化思想（补形法） 探究 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？ 探究 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A2，B2，C2 的面积之间有什么关系？ 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A3，B3，C3 的面积之间有什么关系？ 探究 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ SA4=_________,SB4=_________,SC4=________, 面积之间的关系： ___________________________. 4 16 20 SA4+SB4=SC4 A4 B4 C4 以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积. 探究 S正方形-4×S直角三角形=6²-4××2×4=20. 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）： 符号语言 ： 如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°， ∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c， 则 a2+b2=c2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2 . B A C b a c 如图，这个图案是赵爽在注解<<周髀算经>>时给出的，人们称它为"赵爽弦图"，赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色). 赵爽指出:按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实. 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 B a A c b 探究 那么该如何证明这个猜想呢？ 下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法. 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下:如图(1)，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是.这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)，把图20.1-5(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(图(3))，它的面积是.因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等，即. (1) (2) a b c (3) a b c b a2 + b2 左边： c2 右边： a2 + b2 = c2 a 动图演示： 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的. 这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 在西方，人们称勾股定理为毕达哥斯拉定理 教材P25 例题 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解：（1）在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100， 所以 AB = 10. （2）在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2， 从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64， 所以 DE = 8. 方法技巧 特别提醒 1. 当应用勾股定理时, 要分清直角边和斜边, 尤其在应用a2＋b2＝c2时, 斜边长只能是c. 若b为斜边长, 则关系式是a2＋c2＝b2; 若a为斜边长, 则关系式是b2＋c2＝a2. 2.若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边)，要分类讨论，以免漏解. 图20.1－1 ①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c. 图20.1－1 ②是以c为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. 解：如图20.1－2即为所求. 它是直角梯形. (1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形； 证明：∵ S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2， S梯形＝ab×2＋c2，∴(a＋b)2＝ab＋c2.整理，得a2＋b2＝c2. (2)利用这个图形证明勾股定理. 变式训练 思路引导： 教材P25-26 练习 课内练习 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 b = 15，c = 25，求 a. 解: 由勾股定理:（1）=； =； =. 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别 是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积. 解：根据图形， 最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625. 3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）. 求这两点间的距离. 解：由图可知，A，B 两点间的距离为= 基础巩固题 知识点1 勾股定理 1.【2025四川成都期末】如图，在中，， ， 且，，则 长为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】在中，,,, ， .在中，， ，故选D. 知识点2 勾股定理的验证 2.【2024河南南阳期末】学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了 一种证明勾股定理的方法：如图（1）,点是正方形边 上一点，连接，得到直角三角形 ，三边分别为，，，将 裁剪拼接至 位置，如图（2）所示，该同学利用图 （1）、图（2）的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程. 图（1） 图（2） 【证明】如图，连接 . ， 正方形的面积为， ， ， ， ， ， .又,为等腰直角三角形， 四边形 的面积为 正方形 的面积与四边 形的面积相等，， ， ， . 23 知识点3 勾股定理与图形的面积 3.【2025陕西西安期中】如图是由两个直角三角形和三个正 方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( ) B A.49 B.64 C.225 D.289 【解析】如图，在中，， ，则 四边形 为正方 形，.在 中， ， 阴影部分面积是64，故选B. 思路分析 两个阴影正方形的面积分别为,,根据勾股定理可得 ，由 此可得阴影部分的面积. 24 4.【2025山西运城期中】如图，在中， ， 分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为 和 ．在中， ，分别以， 为边向外作 两个正方形，面积分别记为和．若 ， ， 则 的值为____. 25 【解析】在中， ， ， ， ， ， .在中， ， ， ，故答案为25． 25 能力提升题 8 6.[2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 7.[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长． 8.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2． 证明：连接DB, DC，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，易得DF＝EC＝b－a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2． 证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE的延长线于点F，易得BF＝b－a. ∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2. 请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明． 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 . B A C b a c 勾股定理 变式 1: a2 = c2－b2 变式 2: b2 = c2－a2 课堂小结 教科书第25-26页练习 第1,2,3题 布置作业 5.在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若c－a＝6，b＝2 ，则△ABC的面积为________． 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD. 又∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴DE＝BD＝5，∠AED＝∠B＝90°，∴∠CED＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝＝12. 设AB＝AE＝x，则AC＝x＋12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋(5＋13)2＝(x＋12)2，解得x＝7.5，即AE的长为7.5. $