第9讲 一次函数的图象与性质（讲义）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的图象与性质”专题，覆盖一次函数概念、解析式求解、图象性质、几何变换、与方程不等式关系及实际应用等中考核心考点。知识清单系统梳理概念、图象特征与性质，考点精析分六个模块，通过真题示例与方法指导突破难点，配合巩固训练实现分层提升。 亮点在于“概念-性质-应用”的递进式教学设计，如通过待定系数法求解析式培养抽象能力，结合图象分析k、b符号培养几何直观，实际问题（如温度转换、行程问题）建模发展模型意识。真题训练与分层练习结合，5分钟限时小测强化反馈，助力学生高效突破考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第9讲 一次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式； 2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题； 3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．有关概念： 一般地，函数 (k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为 (k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做 ．一次函数的表达式通常用待定系数法来求． 2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过 两点的一条直线． k>0 k<0 直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过 两点的一条直线． b>0 b<0 增减性 k>0 y随x的增大而增大 k<0 y随x的增大而减小 4. k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当 时，向上平移|b|个单位；当 时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)． 6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝. ( 考点精析 ) ■考点一 一次函数的概念与解析式► 【例1.1】（2025•上海）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝ 【例1.2】（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）． （1）一次函数的表达式． （2）如果点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A′恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． ■考点二 一次函数的图象与性质► 【例2.1】（2025•湖北）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　　 ． 【例2.2】（2025•拱墅区一模）若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　　 ． 【例2.3】（2025•台州一模）已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　　 ． 【例2.4】（2024•下城区校级三模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【例2.5】（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） ■考点三 一次函数图像与几何变换► 【例3.1】（2025•天津）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 　 　 （写出一个即可）． 【例3.2】（2025•椒江区模拟）若一次函数y＝x﹣b的图象向左平移2个单位后经过原点，则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 ■考点四 一次函数与方程、不等式的关系► 【例4.1】（2023•路桥区一模）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【例4.2】（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【例4.3】（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2 【例4.4】（2024•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点． （1）求直线l2的函数解析式； （2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值． ■考点五 一次函数的实际问题► 【例5.1】（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为　95　 ℉． 【例5.2】（2025•杭州模拟）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　 　 b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【例5.3】（2025•浙江模拟）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水0.6升，前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图． （1）当x＞5时，求y与x之间的函数关系式； （2）要使40名学生接水完毕，请问10分钟是否够用？请说明理由． 【例5.4】（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ ■考点五 一次函数的几何综合► 【例6.1】（2025•德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B′（a，0）处． （1）求a的值； （2）求直线AM的解析式； （3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围． 【例6.2】（2022•钱塘区二模）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B． （1）求k的值及△AOB的面积； （2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； （3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标． ( 巩固训练 ) 1．（2025•南通）已知直线y＝kx+b经过第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（　　） A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0 2．（2025•新疆）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•温州三模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集为（　　） A．x＞3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＜3 4．（2024•上城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1 5．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 6．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 7．（2025•安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4） 8．（2025•陕西模拟）把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象向右平移3个单位长度，得到的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6），则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 9．（2024•湖州一模）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝　　 ． x 0 1 2 y 1 m 5 10．（2025•滨江区一模）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 　　 米． 11．（2025•普陀区三模）已知点（m，n）在直线y＝x+b（b为常数）上，若mn的最小值为﹣1，则b＝ 　　 ． 12．（2025•南充）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则+的值是　　 ． 13．（2023•萧山区二模）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）． （1）若函数y1的图象经过点（m，0），函数y2的图象经过点（n，0），求证：mn＝1． （2）当y1＜y2时，求x的取值范围． 14．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 15．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 16．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，DO＝2AO，CB＝OB． （1）求直线CD的解析式． （2）点P在第三象限的直线AB上，PQ∥x轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围． （3）在（2）的条件下，点F在第四象限的△PQE的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG（点F的对应点为点G），旋转角等于∠AED，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，∠PFE＝90°，EF＝PF，△FGQ的面积为8，求△PQE的面积． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第9讲 一次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式； 2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题； 3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．有关概念： 一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求． 2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． k>0 k<0 直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线． b>0 b<0 增减性 k>0 y随x的增大而增大 k<0 y随x的增大而减小 4. k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)． 6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝. ( 考点 精析 ) ■考点一 一次函数的概念与解析式► 【例1.1】（2025•上海）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝ 【思路点拨】根据形如y＝kx（k≠0）的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：A．y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意； B．y＝3x2是二次函数，故不符合题意； C．y＝是反比例函数，故不符合题意； D．y＝是正比例函数，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键． 【例1.2】（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）． （1）一次函数的表达式． （2）如果点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A′恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）先求出点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A'（﹣m﹣2，﹣3），然后代入求值． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）， ∴3k+5＝﹣1， 解得k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+5； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝﹣2x+5， ∵点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A'（﹣m﹣2，﹣3），点A′恰好落在第一次函数的图象上， ∴﹣2（﹣m﹣2）+5＝﹣3， 解得m＝﹣6， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ■考点二 一次函数的图象与性质► 【例2.1】（2025•湖北）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是　1（答案不唯一）　 ． 【思路点拨】依据题意，由一次函数的性质，y随x的增大而增大，不妨设k＞0，不妨令k＝1即可． 【解析】解：由题意，∵一次函数y随x的增大而增大， ∴k＞0． ∴不妨设k＝1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＞0． 【例2.2】（2025•拱墅区一模）若一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），其中m≠1，则k＝ 　﹣1　 ． 【思路点拨】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（1，m），（m，1），m≠1， ∴， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 【例2.3】（2025•台州一模）已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　﹣2＜k＜﹣1　 ． 【思路点拨】根据y随x的增大而减小，即可得出答案． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+2的图象过点（1，m）与（2，n），m＞0，n＜0， ∴k+2＞0，2k+2＜0， 解得﹣2＜k＜﹣1． 故答案为：﹣2＜k＜﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例2.4】（2024•下城区校级三模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【思路点拨】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解析】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|， ∵A、k1+k2＜0， 故A不符合题意； B、k1k2＞0， 故B符合题意； C、b1+b2＞0， 故C不符合题意； D、b1•b2＜0， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键． 【例2.5】（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） 【思路点拨】根据题意，分别求出满足要求的一次函数的解析式，即可得出答案． 【解析】解：由题意，当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B时， ， 解得， 一次函数的解析式为y＝3x+4；同理可得， 当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点C时，一次函数的解析式为y＝x+； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点D时，一次函数的解析式为y＝x+； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点C和点D时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 所以A、C、D都在一次函数y＝2x+3的图象上，该函数图象没有经过的点的坐标是B（1，7）． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，分别求出满足要求的一次函数的解析式是解题的关键． ■考点三 一次函数图像与几何变换► 【例3.1】（2025•天津）将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 　2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【思路点拨】根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由平移后的直线经过第三、第二、第一象限得出m的取值范围即可． 【解析】解：由题知， 将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度后，所得直线的函数解析式为y＝3x﹣1+m， 则平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，m﹣1）． 又因为平移后的直线经过第三、第二、第一象限， 所以m﹣1＞0， 解得m＞1， 所以m的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 【例3.2】（2025•椒江区模拟）若一次函数y＝x﹣b的图象向左平移2个单位后经过原点，则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．±2 【思路点拨】先根据平移的规律求出y＝x﹣b的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解． 【解析】解：将一次函数y＝x﹣b的图象向左平移2个单位后得到y＝x+2﹣b， 由题意，得0＝0+2﹣b， 解得b＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． ■考点四 一次函数与方程、不等式的关系► 【例4.1】（2023•路桥区一模）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【思路点拨】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答． 【解析】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1， ∴关于x的方程ax+b＝0的解为x＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键． 【例4.2】（2025•宁夏）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【思路点拨】依据题意，可得关于x，y的方程组的解即为直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的交点A（4，6）的坐标． 【解析】解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2相交于点A（4，6）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力． 【例4.3】（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（　　） A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2 【思路点拨】观察函数图象得到即可． 【解析】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0， 所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1， 所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1， 所以解集为x＜2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【例4.4】（2024•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点． （1）求直线l2的函数解析式； （2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值． 【思路点拨】（1）利用y＝x+4求得A的坐标，进一步求得点C的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x＝，x＝a﹣4，则|a﹣4﹣|＝1，即可求解． 【解析】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0）， ∵C为AO中点，则点C（﹣2，0）， 将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4， 解得：m＝2， 即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4； （2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a， 则x＝，x＝a﹣4， 则|a﹣4﹣|＝1， 则a＝6或2． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． ■考点五 一次函数的实际问题► 【例5.1】（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为　95　 ℉． 【思路点拨】根据题意判断出函数的类型，再用待定系数法求解求出解析式，再代入数据计算即可． 【解析】解：由题意可得．x每增加10℃，y增加18℉，是一个均匀变化的过程，所以函数为一次函数， 设y＝kx+b． 将（0，32）（10，50）代入解析式可得： ， 解得：． ∴y＝1.8x+32， 当x＝35°时，y＝1.8×35+32＝95， 故答案为：95． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【例5.2】（2025•杭州模拟）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　10　 b＝　15　 ，m＝　200　 ； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【思路点拨】（1）根据时间＝路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度＝路程÷时间，即可求出m的值； （2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 【解析】解：（1）1500÷150＝10（分钟）， 10+5＝15（分钟）， （3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）． 故答案为：10；15；200． （2）BC段关系式为：y1＝200x﹣1500， OD段关系式为：y2＝120x， 相遇时，即y1＝y2，即120x＝200x﹣1500 解得：x＝18.75 此时：y1＝y2＝2250 距离图书馆：3000﹣2250＝750（米） 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）当y1﹣y2＝100时，解得x＝20 当y2﹣y1＝100时，解得x＝17.5 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式；（3）结合（2）找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程 【例5.3】（2025•浙江模拟）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水0.6升，前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图． （1）当x＞5时，求y与x之间的函数关系式； （2）要使40名学生接水完毕，请问10分钟是否够用？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出当x＞5时，y与x之间的函数关系式； （2）将x＝10代入（2）中的关系式，求出相应的y的值，然后用30减此时y的值，再与40名学学生的用数量比较大小即可． 【解析】解：（1）设当x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（5，9），（8，6）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当x＞5时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+14； （2）10分钟够用， 理由：将x＝10代入y＝﹣x+14，得：y＝﹣10+14＝4， 40×0.6＝24，30﹣4＝26， 24＜26， ∴10分钟够用． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【例5.4】（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【思路点拨】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可． 【解析】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件． 根据题意，得， 解得． 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m）， 解得m≤60， W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≤60， ∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600， 100﹣60＝40（件）． 答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件，全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． ■考点五 一次函数的几何综合► 【例6.1】（2025•德州）如图，A（﹣6，0），B（0，8），点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B′（a，0）处． （1）求a的值； （2）求直线AM的解析式； （3）若直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝a的左侧，请直接写出t的取值范围． 【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等，得出长度，计算即可求解； （2）根据勾股定理计算出长度，得出点M的坐标，利用待定系数法计算解析式； （3）根据图象数形结合即可求解． 【解析】解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2， ∴AB＝10， 由题意得△ABM≌△AB'M， ∴AB＝AB'＝OA+OB'＝10， ∴a＝4； （2）设M（0，m）， 由题意得△ABM≌△AB'M， ∴BM＝B'M＝8﹣m， 由（1）得OB'＝4， 在Rt△OB'M中，MB'2＝OM2+OB'2， ∴（8﹣m）2＝m2+16， 解得m＝3， ∴M（0，3）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣6，0），M（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线AM的解析式为； （3）直线y＝﹣x+t与直线AM相交， 当x＝4时，交点坐标为（4，5）， 此时﹣4+t＝5，则t＝9， ∵直线y＝﹣x+t与直线AM的交点在直线x＝4的左侧， ∴由图象得t＜9． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，熟练运用函数图象性质，数形结合，是解决本题的关键． 【例6.2】（2022•钱塘区二模）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B． （1）求k的值及△AOB的面积； （2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； （3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标． 【思路点拨】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得k的值，根据直线方程求得点B的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； （2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； （3）分类讨论：点P在x轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P的坐标即可． 【解析】解：（1）将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得 0＝2k+3， 解得k＝﹣， ∴y＝﹣x+3． 当x＝0时，y＝3． ∴B（0，3），OB＝3． 当y＝0时，﹣x+3＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0），OA＝2， ∴S△AOB＝OA•OB＝×2×3＝3． （2）如图2， ①当AB＝BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意； ②当AB＝AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB＝＝，由AC＝AC′＝得到C′（+2，0）、C″（2﹣，0）． 综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0）或（+2，0）或（2﹣，0）； （3）∵M（3，0）， ∴OM＝3， ∴AM＝3﹣2＝1． 由（1）知，S△AOB＝3， ∴S△PBM＝S△AOB＝3； ①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝+•AM•|yP|＝+×1×|yP|＝3， ∴|yP|＝3， ∵点P在x轴下方， ∴yP＝﹣3． 当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3， 解得x＝4． ∴P（4，﹣3）； ②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝•AM•|yP|﹣＝×1×|yP|﹣＝3， ∴|yP|＝9， ∵点P在x轴上方， ∴yP＝9． 当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3， 解得x＝﹣4． ∴P（﹣4，9）． 【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．另外，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用． ( 巩固训练 ) 1．（2025•南通）已知直线y＝kx+b经过第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（　　） A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0 【思路点拨】依据题意，由直线y＝kx+b经过第一、第二、第三象限，则k＞0，b＞0，进而可以判断得解． 【解析】解：由题意，∵直线y＝kx+b经过第一、第二、第三象限， ∴k＞0，b＞0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，解题时要能熟练掌握并能灵活一次函数的性质是关键． 2．（2025•新疆）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数系数结合一次函数图象与系数的关系，即可得出该函数图象过第一、二、三象限，此题得解． 【解析】解：∵在一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0， ∴一次函数y＝x+1的图象过第一、二、三象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定． 3．（2024•温州三模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集为（　　） A．x＞3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＜3 【思路点拨】观察函数图象，写出一次函数图象在x轴下方（含与x轴的交点）所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：由图象可得，当x≤3时，y≤0， 即kx+b≤0， 所以不等式kx+b≤0的解集为x≤3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合得到不等式的解集． 4．（2024•上城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1 【思路点拨】先根据函数图象判断出a的取值范围，用a表示出m的值，再用取特殊值法即可得出结论． 【解析】解：由函数图象可知，﹣1＜a＜0， ∵y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0）， ∴当y＝0时，ax+1＝0， ∴x＝﹣， ∴m＝﹣， 令a＝﹣0.5，则﹣a＝0.5， ∴﹣＝＝2＞1， ∴m＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 【思路点拨】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解析】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，故A不符合题意； B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，故B不符合题意； C、由图象得：当x﹣2时，y1＝y2，即2a+b＝2m+n， ∴b﹣n＝2（m﹣a），故C是符合题意； D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 6．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表： 温度t（℃） ﹣10 0 10 30 声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348 研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（　　） A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s 【思路点拨】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可． 【解析】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b， 得， 解得， ∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330， 当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339， ∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 7．（2025•安徽）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4） 【思路点拨】根据一次函数y随x的增大而增大，可知k＞0，分别将点M（1，2）和各选项代入y＝kx+b，求出k的值，即可确定． 【解析】解：根据题意，得k＞0， 把M点和（﹣2，2）代入y＝kx+b得， 解得k＝0， 故A选项不符合题意； 把M点和（2，1）代入y＝kx+b得， 解得k＝﹣1， 故B选项不符合题意； 把M点和（﹣1，3）代入y＝kx+b得， 解得k＝﹣， 故C选项不符合题意； 把M点和（3，4）代入y＝kx+b得， 解得k＝1， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 8．（2025•陕西模拟）把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象向右平移3个单位长度，得到的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6），则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【思路点拨】根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再将（0，﹣6）代入计算即可． 【解析】解：由题知， 把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象向右平移3个单位长度后， 所得图象得解析式为y＝k（x﹣3）． 将点（0，﹣6）代入y＝k（x﹣3）得， ﹣3k＝﹣6， k＝2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 9．（2024•湖州一模）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝　3　 ． x 0 1 2 y 1 m 5 【思路点拨】如图所示当x＝0时，y＝1；x＝2时，y＝5．用待定系数法可求出函数关系式，然后把x＝1代入，得到m的值． 【解析】解：设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）． 如图所示当x＝0时，y＝1；x＝2时，y＝5． 据此列出方程组， 求得， 一次函数的解析式y＝2x+1， 然后把x＝1代入，得到y＝2+1＝3，即m＝3 故填3． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式的知识，难度不大，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数． 10．（2025•滨江区一模）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 　4　 米． 【思路点拨】根据图形列出算式，再求出即可． 【解析】解：100﹣＝4（米）， 即当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩4米， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键，数形结合思想的应用． 11．（2025•普陀区三模）已知点（m，n）在直线y＝x+b（b为常数）上，若mn的最小值为﹣1，则b＝ 　±2　 ． 【思路点拨】将点的坐标代入一次函数解析式，用m表示出n，再进一步得出mn，结合mn的最小值为﹣1，得出关于b的方程即可解决问题． 【解析】解：将点（m，n）代入y＝x+b得， n＝m+b， 则mn＝m（m+b）＝m2+mb． 因为mn的最小值为﹣1， 所以m＞0，且当m＝时，mn取得最小值， 则， 解得b＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，能根据题意得出关于b的方程是解题的关键． 12．（2025•南充）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则+的值是　﹣　 ． 【思路点拨】由直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上可知当x＝0时函数值相等，得到m＝﹣2n，然后代入化简即可． 【解析】解：当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n， ∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上， ∴m＝﹣2n， ∴， 【点睛】本题考查一次函数的交点问题，推导知 x＝0时函数值相等是解题的关键． 13．（2023•萧山区二模）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）． （1）若函数y1的图象经过点（m，0），函数y2的图象经过点（n，0），求证：mn＝1． （2）当y1＜y2时，求x的取值范围． 【思路点拨】（1）把点（m，0），点（n，0）分别代入y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0），得到m＝﹣，n＝﹣，即可证得mn＝1； （2）根据题意kx+b＜bx+k，即可得到（k﹣b）x＜k﹣b，当k＞b时，x＜1；当k＜b时，x＞1． 【解析】（1）证明：∵函数y1的图象经过点（m，0）， ∴mk+b＝0， ∴m＝﹣， ∵函数y2的图象经过点（n，0）， ∴nb+k＝0， ∴n＝﹣， ∴mn＝﹣•（﹣）＝1； （2）解：当y1＜y2时，则kx+b＜bx+k， ∴（k﹣b）x＜k﹣b， 当k＞b时，x＜1， 当k＜b时，x＞1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与一元一次不等式，解题的关键是：（1）求得m、n的值；（2）分类讨论． 14．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 【思路点拨】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1， 当x＝﹣3时，y＝1， ∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）； （2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6， 当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6， 解得， 当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6 当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6， 解得a＝1（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 15．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【思路点拨】（1）通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解； （2）先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排． 【解析】解：（1）设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件， 根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y＝300， 又∵投入230000元且资金刚好用完， ∴700x+800y＝230000， 将x+y＝300变形为x＝300﹣y，代入700x+800y＝230000中， 700（300﹣y）+800y＝230000， 210000﹣700y+800y＝230000， 100y＝20000， y＝200， 把y＝200代入x＝300﹣y， 得x＝300﹣200＝100， ∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装（500﹣m）件， ∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍， ∴m≥2（500﹣m）， m≥1000﹣2m， m+2m≥1000， 3m≥1000， m≥≈333.33， ∵m为服装件数， ∴m取整数，m≥334， 甲的利润为（1000﹣700）＝300元/件，乙的利润为（1200﹣800）＝400元/件， 总利润＝300m+400（500﹣m）＝300m+200000﹣400m＝﹣100m+200000， ∵﹣100＜0， ∴总利润随m的增大而减小， ∴当m＝334时，W有最大值，此时500﹣m＝500﹣334＝166， ∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润． 【点睛】本题考查了一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程求解即可；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． 16．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，DO＝2AO，CB＝OB． （1）求直线CD的解析式． （2）点P在第三象限的直线AB上，PQ∥x轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围． （3）在（2）的条件下，点F在第四象限的△PQE的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG（点F的对应点为点G），旋转角等于∠AED，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，∠PFE＝90°，EF＝PF，△FGQ的面积为8，求△PQE的面积． 【思路点拨】（1）先求得A（﹣2，0），，再根据题意求得D（4，0），，再利用待定系数法求解即可； （2）过E作EK⊥AD于点K，延长EK交PQ于W，联立求得E（1，4），证明得到AK＝DK，EA＝ED，EP＝EQ，PW＝WQ，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接GQ，设EQ与FG的交点为R．证明△EPF≌△EQG，推出∠EPF＝∠EQG，PF＝GQ，∠EFP＝∠EGQ＝90°，过P作PM⊥HG于点M，过Q作QT⊥HG于点T，△PFM≌△QGT和△PHM≌△QHT，得到HM＝HT，PH＝HQ，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【解析】解：（1）直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当x＝0时，得：， 当y＝0时，得：， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），， ∴OA＝2，， ∵DO＝2AO， ∴DO＝4， ∴D（4，0）， ∵BC＝OB， ∴， ∴， ∴， 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线CD的解析式为； （2）自变量t的取值范围为；理由如下： 过E作EK⊥AD于点K，延长EK交PQ于W， 联立， ∴， ∴E（1，4）， ∴K（1，0）， ∴OK＝1，EK＝4， ∴AK＝3，DK＝4﹣1＝3， ∴AK＝DK， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵PQ∥AD， ∴∠EPQ＝∠EAD，∠EDA＝∠EQP，∠EKA＝∠EWP， ∴∠EPQ＝∠EQP， ∴EP＝EQ， ∵EK⊥AD， ∴∠AKE＝90°， ∴∠EWP＝∠EKA＝90°， ∴EW⊥PQ， ∴PW＝WQ，点W的横坐标为1， 由题意，得， ∴PW＝1﹣t， ∴PQ＝2PW＝2﹣2t， ∵PQ∥AD，点P、W在PQ上， ∴点W的纵坐标与点P纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接GQ，设EQ与FG的交点为R．如图2， ∵∠AED＝∠FEG， ∴∠PEF＝∠GEQ， ∵PE＝EQ，EF＝EG， 在△EPF和△EQG中， ， ∴△EPF≌△EQG（SAS）， ∴∠EPF＝∠EQG，PF＝GQ，∠EFP＝∠EGQ＝90°， ∵EF＝PF， ∴EG＝EF＝PF＝GQ， ∴，∠EFG＝∠EGF， ∵∠EFG+∠EGF+∠FEG＝180°，∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∠PEQ＝∠FEG， ∴∠EPQ＝∠EQP＝∠EGF＝∠EFG， ∵∠ERG＝∠HRQ， ∴∠QHR＝∠GER＝45°， 过P作PM⊥HG于点M，过Q作QT⊥HG于点T， ∴∠M＝90°，∠QTM＝∠QTG＝90°， ∴∠M＝∠QTG， ∵∠PFM+∠EFG＝90°，∠QGH+∠EGH＝90°， ∴∠PFM＝∠QGH， ∴△PFM≌△QGT（AAS）， ∴PM＝TQ，FM＝TG， ∵∠M＝∠QTH＝90°，∠PHM＝∠QHT， ∴△PHM≌△QHT， ∴HM＝HT，PH＝HQ， ∵∠PHM＝∠THQ＝45°， ∴∠TQH＝45°＝∠THQ，∠MPH＝45°＝∠PHM， ∴PM＝MH＝HT＝TQ， 设QT＝TH＝m， ∴PM＝HM＝m， ∴TG＝MF＝m+HF， ∴FG＝TG+FT＝m+FH+m﹣FH＝2m， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴PQ＝8， ∴2﹣2t＝8， ∴t＝﹣3， ∴， 即△PQE的面积为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确添加辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $