专题05全等三角形的辅助线问题、尺规作图及角的平分线同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题05全等三角形的辅助线问题、尺规作图及角的平分线同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等三角形常用辅助线构造方法：通过添加辅助线转化边角关系，是几何证明的核心解题技巧； 2.全等三角形相关尺规作图：依托三角形全等判定定理作图，规范作图思路与原理； 3.角平分线的性质与判定：是全等三角形应用的重要延伸。 ✺学习目标 1.掌握全等三角形基础辅助线添加方法，能结合已知条件构造全等三角形，实现线段、角度的等量转化，规范书写辅助线作法。 2.熟练掌握基础尺规作图，理解作图的全等原理，规范作图步骤、保留作图痕迹，准确书写作图结论。 3.熟记角平分线的性质定理与判定定理，精准掌握几何语言书写，能独立完成相关证明与计算题型。 ✺题型归纳 题型1.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型2.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型3.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型4.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 题型5.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型6.全等三角形综合问题 题型7.尺规作一个角等于已知角 题型8.过直线外一点作已知直线的平行线 题型9.尺规作图——作三角形 题型10.利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 题型11.作角平分线(尺规作图) 题型12.角平分线的性质定理 题型13.角平分线的判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、全等三角形常用基础辅助线 ▲辅助线核心作用：补齐图形条件，构造可判定的全等三角形，转移分散的线段与角，是几何解题的核心思路。 1.连接线段法 适用场景：图形有公共端点，缺少完整三角形，存在公共边，无法直接判定全等时。 作法：连接对应端点，构造完整三角形，依托公共边、已知边角条件，用SSS、SAS证明全等。 核心用途：补全图形，创造全等判定条件，证明线段、角相等。 2.倍长中线法 适用场景：题干出现三角形中线、线段中点条件，需证明线段相等、线段数量关系。 作法：延长三角形的中线，使延长部分与原中线长度相等，连接对应端点，利用SAS构造全等三角形。 核心用途：转移三角形边与角，将分散的线段、角集中在同一三角形中，破解中点类几何难题。 3.截长补短法 适用场景：求证一条线段等于另外两条线段的和或差（线段和差题型）。 截长法：在较长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分与另一条短线段相等。 补短法：延长较短线段，补出对应线段，使总长与已知长线段相等，进而证明等量关系。 4.作垂线段法 适用场景：题干含角平分线、求点到直线的距离、证明垂线段相等。 作法：过角平分线上的点，向角的两条边分别作垂线段，结合角平分线性质解题。 5.作平行线法 适用场景：需要转移角度、构造内错角、同位角相等，补齐全等的角条件。 作法：过定点作已知直线的平行线，利用平行线的性质得到等角，进而构造全等三角形。 知识点二、全等三角形相关尺规作图 ▲作图原理：所有基础尺规作图均依据SSS三角形全等判定定理，通过构造三边对应相等，得到全等图形、相等角与相等线段。 作图要求：保留全部作图圆弧痕迹，步骤规范，最后必须书写完整作图结论。 1.尺规作一个角等于已知角 核心原理：构造两个三边对应相等的三角形，由全等三角形对应角相等，得到等角。 适用：教材基础作图，是后续复杂作图的基础。 2.尺规作三角形 （1）已知三边（SSS）作三角形；（2）已知两边及其夹角（SAS）作三角形；（3）已知两角及其夹边（ASA）作三角形。 3.尺规作角的平分线 核心原理：通过作图构造两个共边的全等三角形，对应角相等，从而得到角平分线。 适用：教材核心必考作图，是角平分线性质应用的基础。 知识点三、角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 几何语言：∵OC平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 关键条件：必须同时满足“点在角平分线上”“两条垂线段”，缺一不可。 2.角平分线的判定定理 文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。 关键条件：必须强调“角的内部”，外部点不满足判定条件。 3.基础推论：三角形的三条角平分线相交于一点（内心），内心到三角形三条边的距离相等。 【易错提醒】 1.辅助线作法需规范：必须文字准确描述（如“延长AD至E，使DE=AD，连接BE”），不可随意添加垂直、平分等双重限定条件。 2.尺规作图严禁擦除圆弧痕迹，无痕迹作图视为错误，必须书写最终作图结论。 3.角平分线性质与判定不可混用：无垂直条件，不能直接得出线段相等；非角内部的点，不能判定角平分线。 4.辅助线核心是构造全等，所有添加思路均服务于边角等量转化，避免盲目作辅助线。 ✺题型精讲 题型1.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 3．如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 题型2.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 3．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 题型3.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 3．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 题型4.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 2．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 3.如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 题型5.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 2．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 3．如图，，， ．求证：； 题型6.全等三角形综合问题 1．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 3．问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 题型7.尺规作一个角等于已知角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 3．小华在探究用尺规作与相等的时，提出了如图所示的方法，小华的作法与本节的作法有什么区别?请你说说小华这样做的道理． 题型8.过直线外一点作已知直线的平行线 1．如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（   ） A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则与不全等 D．作 2．如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 3．如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 题型9.尺规作图——作三角形 1.课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 3．已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 题型10.利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型11.作角平分线(尺规作图) 1．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 2．根据下面尺规作图的痕迹，可知______．（填“”“”或“”） 3．如图，是的外角，且， (1)请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、证明： 题型12.角平分线的性质定理 1．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 2．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 3．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 题型13.角平分线的判定定理 1．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 3．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 2．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 3．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． ✺课堂小练 一、单选题 1．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 4．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 5．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为，则的面积为_____ ． 6．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 三、解答题 7．按如图所示的尺规作图的作法，证明． 8．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 9．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05全等三角形的辅助线问题、尺规作图及角的平分线同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等三角形常用辅助线构造方法：通过添加辅助线转化边角关系，是几何证明的核心解题技巧； 2.全等三角形相关尺规作图：依托三角形全等判定定理作图，规范作图思路与原理； 3.角平分线的性质与判定：是全等三角形应用的重要延伸。 ✺学习目标 1.掌握全等三角形基础辅助线添加方法，能结合已知条件构造全等三角形，实现线段、角度的等量转化，规范书写辅助线作法。 2.熟练掌握基础尺规作图，理解作图的全等原理，规范作图步骤、保留作图痕迹，准确书写作图结论。 3.熟记角平分线的性质定理与判定定理，精准掌握几何语言书写，能独立完成相关证明与计算题型。 ✺题型归纳 题型1.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型2.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型3.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型4.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 题型5.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型6.全等三角形综合问题 题型7.尺规作一个角等于已知角 题型8.过直线外一点作已知直线的平行线 题型9.尺规作图——作三角形 题型10.利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 题型11.作角平分线(尺规作图) 题型12.角平分线的性质定理 题型13.角平分线的判定定理 题型14.角平分线性质的实际应用 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、全等三角形常用基础辅助线 ▲辅助线核心作用：补齐图形条件，构造可判定的全等三角形，转移分散的线段与角，是几何解题的核心思路。 1.连接线段法 适用场景：图形有公共端点，缺少完整三角形，存在公共边，无法直接判定全等时。 作法：连接对应端点，构造完整三角形，依托公共边、已知边角条件，用SSS、SAS证明全等。 核心用途：补全图形，创造全等判定条件，证明线段、角相等。 2.倍长中线法 适用场景：题干出现三角形中线、线段中点条件，需证明线段相等、线段数量关系。 作法：延长三角形的中线，使延长部分与原中线长度相等，连接对应端点，利用SAS构造全等三角形。 核心用途：转移三角形边与角，将分散的线段、角集中在同一三角形中，破解中点类几何难题。 3.截长补短法 适用场景：求证一条线段等于另外两条线段的和或差（线段和差题型）。 截长法：在较长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分与另一条短线段相等。 补短法：延长较短线段，补出对应线段，使总长与已知长线段相等，进而证明等量关系。 4.作垂线段法 适用场景：题干含角平分线、求点到直线的距离、证明垂线段相等。 作法：过角平分线上的点，向角的两条边分别作垂线段，结合角平分线性质解题。 5.作平行线法 适用场景：需要转移角度、构造内错角、同位角相等，补齐全等的角条件。 作法：过定点作已知直线的平行线，利用平行线的性质得到等角，进而构造全等三角形。 知识点二、全等三角形相关尺规作图 ▲作图原理：所有基础尺规作图均依据SSS三角形全等判定定理，通过构造三边对应相等，得到全等图形、相等角与相等线段。 作图要求：保留全部作图圆弧痕迹，步骤规范，最后必须书写完整作图结论。 1.尺规作一个角等于已知角 核心原理：构造两个三边对应相等的三角形，由全等三角形对应角相等，得到等角。 适用：教材基础作图，是后续复杂作图的基础。 2.尺规作三角形 （1）已知三边（SSS）作三角形；（2）已知两边及其夹角（SAS）作三角形；（3）已知两角及其夹边（ASA）作三角形。 3.尺规作角的平分线 核心原理：通过作图构造两个共边的全等三角形，对应角相等，从而得到角平分线。 适用：教材核心必考作图，是角平分线性质应用的基础。 知识点三、角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 几何语言：∵OC平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 关键条件：必须同时满足“点在角平分线上”“两条垂线段”，缺一不可。 2.角平分线的判定定理 文字表述：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。 关键条件：必须强调“角的内部”，外部点不满足判定条件。 3.基础推论：三角形的三条角平分线相交于一点（内心），内心到三角形三条边的距离相等。 【易错提醒】 1.辅助线作法需规范：必须文字准确描述（如“延长AD至E，使DE=AD，连接BE”），不可随意添加垂直、平分等双重限定条件。 2.尺规作图严禁擦除圆弧痕迹，无痕迹作图视为错误，必须书写最终作图结论。 3.角平分线性质与判定不可混用：无垂直条件，不能直接得出线段相等；非角内部的点，不能判定角平分线。 4.辅助线核心是构造全等，所有添加思路均服务于边角等量转化，避免盲目作辅助线。 ✺题型精讲 题型1.倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使，连接，证明，得出，然后利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 2．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 3．如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【答案】证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】延长到点，使得，连接，易证，然后根据全等三角形的性质，结合已知条件和角度的和差得到，从而证得，进而即可得到结论． 【详解】略 题型2.旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 2．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 题型3.垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 2．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 题型4.其他模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 2．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 3.如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1) 解：示意图如图所示．     (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 题型5.证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【详解】解：因为等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形，故③正确； 过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， 由①可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及和这两种判定三角形全等，垂直的性质，等角对等边，三角形的辅助线等知识内容，难度较大，尤其是第3问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行． 2．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．如图，，， ．求证：； 【答案】证明：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 【分析】延长交于点F，则 ，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答． 【详解】略 题型6.全等三角形综合问题 1．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 2．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 3．问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】(1)等腰直角 证明：，， ． 在和中， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形． (2) 证明：，， ，， ，， ． ， ， ，， ． (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先运用证明，可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，，最后根据即可解答． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：，， ， 在和中， ， ，， ． 题型7.尺规作一个角等于已知角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 2．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】由作图可知，，再由，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴． 3．小华在探究用尺规作与相等的时，提出了如图所示的方法，小华的作法与本节的作法有什么区别?请你说说小华这样做的道理． 【答案】区别：小华是通过作形状、大小均相同的图形得到的，本节的作法是通过张口大小相同的角得到的． 小华这样做的道理：由尺规作图的痕迹可知， 所以与的形状、大小均相同，即． 【详解】略 题型8.过直线外一点作已知直线的平行线 1．如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（   ） A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则与不全等 D．作 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：如图，连接, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】由作图方法可知，则由同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：如图所示， 由作图方法可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 3．如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作即可； （2）由作图可知，证明，得到即可． 【详解】（1）略； （2）解：由作图可知， ，， ， 点为边上中点， ， ， ， ∵， ， ， 即的长度为8． 题型9.尺规作图——作三角形 1.课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 2．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 3．已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 题型10.利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图可得，，进而得到，再利用等边对等角求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型11.作角平分线(尺规作图) 1．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 2．根据下面尺规作图的痕迹，可知______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由作图可知，平分， ∴. 3．如图，是的外角，且， (1)请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、证明： 【答案】(1) (2)证明：是的外角， ， ， ， ， 又，， ． 【分析】（1）根据题意，作的平分线即可； （2）根据证明两个三角形全等即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，∴；图略 （2） 略 题型12.角平分线的性质定理 1．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【详解】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 2．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 3．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （3） 略 题型13.角平分线的判定定理 1．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 2．如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】/32度 【分析】先说明平分，平分，可得．再根据三角形外角的性质得，然后说明，可得答案． 【详解】解：∵且， ∴平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 即． 3．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型14.角平分线性质的实际应用 1．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 2．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 3．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． ✺课堂小练 一、单选题 1．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 3．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【点睛】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 二、填空题 4．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为，则的面积为_____ ． 【答案】 【分析】过点作，，过点作，交的延长线于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，进而可得，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于，于，过点作，交的延长线于点， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 三、解答题 7．按如图所示的尺规作图的作法，证明． 【答案】证明：由作法可知，在与中， ∴， ∴． 即． 【分析】根据作法分别得到三对边分别相等，从而可证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略． 8．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 9．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $