第8讲 函数与平面直角坐标系（讲义）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“平面直角坐标系与函数初步”核心模块，覆盖坐标系内点的特征、对称平移、函数概念及图象等中考必考考点，通过“知识清单系统梳理+考点精析分类突破+巩固训练分层提升”架构，构建从概念理解到真题应用的完整复习链条，助力学生夯实基础并突破坐标与函数综合应用难点。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言的教学设计，如通过瓷砖图案规律探究培养几何直观（数学眼光），借助函数关系式建立过程强化推理能力（数学思维），利用行程问题函数图象分析提升模型意识（数学语言）。特设“真题精讲+即时反馈”环节，如以姐弟上学路程图象题为例拆解函数应用，配合三级分层练习，确保高效复习，教师可依此精准把握学情，提升学生应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第8讲 平面直角坐标系与函数初步 ( 课标要求 ) 1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标； 2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题； 3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标特征如图所示． (2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为． (3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0． (4)坐标系内点的对称及平移： 点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称点的坐标 (x，－y) (－x，y) (－x，－y) 将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)． (5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： ①平行于x轴的直线上，所有点的 纵 坐标相等． ②平行于y轴的直线上，所有点的 横 坐标相等． 2．函数与图象： (1)函数的定义： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量． (2)函数自变量的取值范围： 由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义． (3)函数的三种表示方法： ①解析法；②列表法；③图象法． (4)函数图象的画法： ①列表；②描点；③连线． ( 考点 精析 ) ■考点一　平面直角坐标系的相关概念► 【例1.1】（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据象限内点的坐标特征即可得出答案． 【解析】解：横坐标为负，纵坐标为正的点在第二象限内． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，牢记各象限内点的坐标性质是解题的关键． 【例1.2】（2025•海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　） A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5） 【思路点拨】根据已知建立适当的平面直角坐标系，即可解答． 【解析】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示： 则“强”的坐标为（2，3）， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 【例1.3】（2025•威海）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为（1，1），其右边瓷砖的位置记为（2，1），其上面瓷砖的位置记为（1，2），按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．（2024，2025）位置是B种瓷砖 B．（2025，2025）位置是B种瓷砖 C．（2026，2026）位置是A种瓷砖 D．（2025，2026）位置是B种瓷砖 【思路点拨】通过图中A、B种瓷砖的位置，找出特征，即可求解． 【解析】解：A种瓷砖：（1，2），（1，4），（1，6），…， （2，1），（2，3），（2，5），…， B种瓷砖：（1，1），（1，3），（1，5），…， （2，2），（2，4），（2，6），…， 由此可得，A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数），B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， （2024，2025）位置是A种瓷砖，故A不符合题意； （2025，2025）位置是B种瓷砖，故B符合题意； （2026，2026）位置是B种瓷砖，故C不符合题意； （2025，2026）位置是A种瓷砖，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律型﹣点的坐标，正确找出规律是解题的关键． ■考点二　坐标确定位置► 【例2.1】（2022•萧山区模拟）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（　　） A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室 C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40° 【思路点拨】根据平面内的点与有序实数对一一对应对各选项进行判断． 【解析】解：塘明月4号楼301室、金惠路97号、东经118°，北纬40°都可确定物体位置，而北偏东30°只能确定方向，但不能确定具体物体的位置． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 【例2.2】（2024•甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 　（3，30°）　 ． 【思路点拨】首先结合雷达探测器测得的图形和方位角的定义分别得到点C在图中的方位角，再得到点C到点O的距离，由此即可得到点C的位置． 【解析】解：∵点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°）， ∴点C的位置可以表示为（3，30°）， 故答案为：（3，30°）． 【点睛】本题考查的是用坐标确定位置，理解方位角的意义是解题的关键． 【例2.3】（2025•定西模拟）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第3列第1行应表示为（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，1） D．（3，3） 【思路点拨】根据用数对表示位置和数对的写法即可得出答案． 【解析】解：小明坐在教室的第3列第1行应表示为（3，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据列数是横坐标，行数是纵坐标来解答． ■考点三　坐标与图形性质► 【例3.1】（2025•雅安）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m﹣3，0），点C（1﹣m，0）在x轴上，且AB＝AC，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【思路点拨】根据AB＝AC及AO⊥BC得出点O是BC的中点，据此进行计算即可． 【解析】解：由题知， 因为AB＝AC，AO⊥BC， 所以点O是BC的中点． 又因为点B（2m﹣3，0），点C（1﹣m，0）， 所以2m﹣3+1﹣m＝0， 解得m＝2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点O是BC的中点是解题的关键． 【例3.2】（2025•宜兴市二模）已知过A（a，﹣2），B（3，﹣4）两点的直线平行于y轴，则a的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．2 【思路点拨】根据两点所在直线平行于y轴，那么这两点的横坐标相等解答即可． 【解析】解：∵过A（a，﹣2），B（3，﹣4）两点的直线平行于y轴， ∴a＝3， 故选：B． 【点睛】此题考查坐标与图形的性质，关键是根据直线平行于y轴，这两点的横坐标相等解答． ■考点四　坐标与图形变换► 【例4.1】（2025•温州模拟）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【思路点拨】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 【解析】解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【例4.2】（2023•杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案． 【解析】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B． ∴点B（m+1，2+3）， ∵点B的横坐标和纵坐标相等， ∴m+1＝5， ∴m＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【例4.3】（2025•丽水一模）已知点A（m﹣1，﹣3），B（2，n+1）关于原点对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．2 【思路点拨】根据关于原点对称的两个点坐标特点：横纵坐标化为相反数，据此求出m，n的值，再代入计算即可． 【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标特点可得：m﹣1＝﹣2，n+1＝3， 得m＝﹣1，n＝2 ∴m+n＝﹣1+2＝1， 故选：A． 【点睛】此题考查了关于原点对称的两个点坐标特点，正确记忆相关知识点是解题关键． 【例4.4】（2025•衢州一模）平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，将线段OA绕点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A． B． C．（﹣1，3） D．（0，3） 【思路点拨】过点A作AB⊥x轴于点B，可得OB＝3，AB＝，则OA＝＝，可得∠AOB＝30°．由旋转得OA'＝OA＝，∠AOA'＝60°，可知点A'在y轴正半轴上，进而可得点A′的坐标为（0，）． 【解析】解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴OB＝3，AB＝， ∴OA＝＝， ∴OA＝2AB， ∴∠AOB＝30°． ∵线段OA绕点O逆时针旋转60°， ∴OA'＝OA＝，∠AOA'＝60°， ∴∠BOA'＝∠AOB+∠AOA'＝90°， ∴点A'在y轴正半轴上， ∴点A的对应点A′的坐标为（0，）． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． ■考点五　函数的相关概念及图象► 【例5.1】（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 【思路点拨】根据题意列出解析式，h，a是常量，n，H是变量，直接判断即可． 【解析】解：由图可知，h＝H+na， 因为h，a是常量，n，H是变量， 因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数的定义，根据题意列出解析式是解题关键． 【例5.2】（2024•齐齐哈尔）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2　 ． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解析】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0， 解得：x＞﹣3且x≠﹣2， 故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 【例5.3】（2025•杭州模拟）小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 【思路点拨】首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家也是先上坡后下坡，而据图象知道上坡路程是36百米，下坡路程是60百米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间＝路程÷速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间． 【解析】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分）， 下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分）， ∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡． 【例5.4】（2025•杭州模拟）已知点A（﹣2，a+2），B（﹣6，a），C（6，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由点B（﹣6，a），C（6，a）关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据A（﹣2，a+2），B（﹣6，a），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D． 【解析】解：由B（﹣6，a），C（6，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由A（﹣2，a+2），B（﹣6，a），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据各象限内点的坐标特征判断即可． 【解析】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0， ∴点P所在的象限是第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（2025•西宁）当x＝1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式和分式有意义的条件进行判断即可． 【解析】解：当x＝1时，x﹣1＝0，故A选项，C选项无意义， 当x＝1时，无意义，故D选项无意义， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式和二次根式有意义是解题的关键． 3．（2025•舟山三模）如图，在平面直角坐标系中，如果点M的位置用（3，2）表示，点N的位置用（0，1）表示，那么（2，﹣1）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【思路点拨】根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出（2，﹣1）对应的点． 【解析】解：根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出（2，﹣1）对应的点如下： ∴（2，﹣1）表示的位置是点A． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题关键是牢记平面内的点与有序实数对是一一对应的，以及直角坐标系中特殊位置的点的坐标． 4．（2025•碧江区 模拟）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用（40，30°）表示，目标E用（30，240°）表示，那么（40，120°）表示的是（　　） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 【思路点拨】根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数×10，第二个数表示度数写出即可． 【解析】解：∵目标A用（40，30°）表示，目标E用（30，240°）表示， ∴（40，120°）表示的是：目标C． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 5．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3 【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出a、b的值． 【解析】解：在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则a＝﹣2，b＝﹣3． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 6．（2024•杭州四模）若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【思路点拨】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案． 【解析】解：∵点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴a+b＝﹣1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7．（2025•惠阳区校级三模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），AB平行于y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（4，﹣2） C．（﹣1，3）或（﹣1，﹣7） D．（4，﹣2）或（﹣6，﹣2） 【思路点拨】根据平行于y轴的性质，可得出点B的横坐标为﹣1，再由AB＝5即可得到点B的坐标． 【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，﹣2），AB平行于y轴， ∴点B的横坐标为﹣1， ∵AB＝5， ∴点B的纵坐标为：﹣2﹣5＝﹣7或﹣2+5＝3， ∴点B的坐标为：（﹣1，3）或（﹣1，﹣7）． 故选：C． 【点睛】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与y轴平行的直线的特征，正确表示点在直角坐标系中的位置是解题的关键． 8．（2025•上城区一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x … a﹣1 a a+1 … y … b+2 b b﹣2 … 则这个函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数增减性解答即可． 【解析】解：由题意可知，y随x的增大而减小， 所以选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图形，函数的表示方法以及函数值，根据题意得出函数增减性是解答本题的关键． 9．（2025•玉环市二模）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4） 【思路点拨】根据点A的坐标平移后所得对应点的坐标可得线段AB向右平移6个单位，又向上平移了3个单位，然后可得B点对应点坐标． 【解析】解：∵点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7）， ∴点A向右平移5个单位，又向上平移了3个单位， ∵点B（﹣4，﹣1）， ∴对应点D的坐标为（﹣4+5，﹣1+3）， 即（1，2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 10．（2025•温州模拟）如图，姐弟两人沿同一路线去1500m外的学校上学，弟弟走路，姐姐骑车，他们所走的路程S（m）与时间t（分）之间的函数图象如图所示，则以下说法中不正确的是（　　） A．弟弟比姐姐晚到5分钟 B．姐姐的速度是弟弟的速度的4倍 C．姐姐出发时，弟弟已经走了750m D．姐姐出发4分钟后追上弟弟 【思路点拨】观察函数图象可知函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义进行解答． 【解析】解：根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程， 由图象可知，弟弟比姐姐晚到：20﹣15＝5（分钟），故A说法正确，不符合题意； 姐姐的速度为：1500÷（15﹣10）＝300（米/分），弟弟的速度为：1500÷20＝75（米/分）， 所以姐姐的速度是弟弟的速度的4倍，故B说法正确，不符合题意； 姐姐出发时，弟弟已经走了：75×10＝750（米），故C说法正确，不符合题意； 设姐姐出发x分钟后追上弟弟，根据题意得： 300x＝75（x+10）， 解得x＝， 故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过图象得到函数是随自变量的变化，知道函数值是增大还是减小． 11．（2025•广东三模）如图，A1（1，1），A2（2，1），A3（3，2），A4（4，2），A5（5，3），A6（6，3），…，按此规律，点A20的坐标为（　　） A．（19，12） B．（20，12） C．（20，11） D．（20，10） 【思路点拨】通过观察点的坐标规律，先找出横坐标与点的序号的关系，再找出纵坐标的变化规律，进而确定点A20的坐标． 【解析】解：观察发现，点的横坐标与点的序号相同，所以点A20的横坐标为20． 观察可得，当序号为偶数时，纵坐标依次为1，2，3，…， 20是偶数，20÷2＝10， 所以点A20的纵坐标为10． 20÷2＝10， 故选：D． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是找出规律． 12．（2025•平定县二模）如图，已知，，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用点A的坐标得出OA的长度，再由题意得出AC＝AB＝4，然后求出OC的长度，即可求解． 【解析】解：∵， ∴OA＝3， ∵以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴AC＝AB＝4， ∴OC＝AC﹣OA＝4﹣3＝ ∵点C在x轴的负半轴上， ∴点C的坐标为（﹣，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，求出OC的长度是解题的关键． 13．（2025•邻水县二模）若点P坐标可表示为（m+3，﹣m+1），其中m为任意实数，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】依据不同象限内点的坐标的符号特征分四种情况讨论，即可得到点P可能的位置． 【解析】解：当﹣1＜m＜0时，m+3＞0，﹣m+1＞0，故点P可能在第一象限，故选项A不合题意； 当m＜﹣3时，m+3＜0，﹣m+1＞0，故点P可能在第二象限，故选项B不合题意； 当m＞1时，m+3＞0，﹣m+1＜0，故点P可能在第四象限，故选项D不合题意； 因为当点在第三象限时，不等式组无解，所以无论m取何值，点P不可能在第三象限，故选项C符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 14．（2025•杭州模拟）在函数中，自变量x的取值范围是　　 ． 【思路点拨】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出3x﹣5＞0，解一元一次不等式即可得解． 【解析】解：根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件可得3x﹣5＞0， 解得：， 故在函数中，自变量x的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求函数自变量的取值范围，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　（﹣5，4）　 ． 【思路点拨】利用旋转变换的性质作出图形可得结论． 【解析】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）． 故答案为：（﹣5，4）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题． 16．（2025•灵武市一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x+1　 ． 【思路点拨】根据题意，找准y与x之间的关系即可． 【解析】解：由题意可知，x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度y＝（6﹣1）x+1＝5x+1，即y关于x的关系式可以表示为：y＝5x+1． 故答案为：y＝5x+1． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意，得出正确的关系是解题的关键． 17．（2025•广安）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，b），且a，b满足（a﹣2）2+|b+3|＝0，则点A在第 　四　 象限． 【思路点拨】根据非负性得出a，b的值，即可求得点A的坐标，即可得出答案． 【解析】解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0， ∴，a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴点A的坐标为（2，﹣3）， ∴点A在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了点的坐标、非负数的性质，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键． 18．（2025•长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题： （1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【思路点拨】（1）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限的点的坐标特征和点P到x轴、y轴的距离相等列出方程，解出a的值，再代入所求式子计算即可． 【解析】解：（1）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， ∴a+6＝3+6＝9， ∴点P的坐标为（3，9）； （2）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴3﹣2a＝a+6， 解得：a＝﹣1， 此时2a﹣3＝﹣5，a+6＝5， ∴点P的坐标为（﹣5，5）． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解题关键是：（1）熟知与y轴平行的直线上的点横坐标相等；（2）熟知在第二象限的点的坐标特征，点到x轴、y轴的距离相等即纵坐标与横坐标的绝对值相等． 19．（2025•朝阳区一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：m），部分数据如下： t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　90　 m，转盘的半径约为　40　 m； ②此摩天轮转一圈所用时间为　12　 min； ③若当座舱A距离地面的高度为10m时，座舱B距离地面的高度是50m，则至少经过　1.5或4.5　 min（精确到0.1），这两个座舱的高度相同． 【思路点拨】（1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）①根据函数图象发现当x＝8时有最高点，当x＝2时有最低点，最高和最底差距即为直径，据此求解即可； ②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间； ③这两个座舱的高度相同时应该刚好在最高点或最低点两边，据此求解即可． 【解析】解：（1）由题意，结合表格数据作图如下． （2）①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为90m，最低高度为10m， ∴转盘的直径约为90﹣10＝80（m）转盘的半径约为40m． 故答案为：90，40； ②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为8﹣2＝6（min），从最高点到最低点用时也为6min， ∴此摩天轮转一圈所用时间为6+6＝12（min）． 故答案为：12； ③根据函数图象可得，当x＝2时，距离地面的高度为10m，当 x＝5时，距离地面的高度是 50m， 则两个座舱距离3分钟的路程，这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为8﹣2＝6（min）． 若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边， ∴至少经过，这两个座舱的高度相同． 若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边， ∴至少经过，这两个座舱的高度相同． 故答案为：1.5或4.5． 【点睛】本题主要考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第8讲 平面直角坐标系与函数初步 ( 课标要求 ) 1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标； 2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题； 3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象. ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标特征如图所示． (2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到坐标原点的距离为 ． (3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为 ，在y轴上为 ．若在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ． (4)坐标系内点的对称及平移： 点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称点的坐标 将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为( ，y)或( ，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x， )或(x， )． (5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： ①平行于x轴的直线上，所有点的 坐标相等． ②平行于y轴的直线上，所有点的 坐标相等． 2．函数与图象： (1)函数的定义： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的 ，x叫做 ． (2)函数自变量的取值范围： 由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使 有意义． (3)函数的三种表示方法： ① ；② ；③ ． (4)函数图象的画法： ①列表；② ；③连线． ( 考点精析 ) ■考点一　平面直角坐标系的相关概念► 【例1.1】（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例1.2】（2025•海南）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为（﹣1，0）、（1，1），则“强”的坐标为（　　） A．（3，3） B．（2，3） C．（4，3） D．（4，5） 【例1.3】（2025•威海）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为（1，1），其右边瓷砖的位置记为（2，1），其上面瓷砖的位置记为（1，2），按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．（2024，2025）位置是B种瓷砖 B．（2025，2025）位置是B种瓷砖 C．（2026，2026）位置是A种瓷砖 D．（2025，2026）位置是B种瓷砖 ■考点二　坐标确定位置► 【例2.1】（2022•萧山区模拟）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（　　） A．北偏东30° B．钱塘明月4号楼301室 C．金惠路97号 D．东经118°，北纬40° 【例2.2】（2024•甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 　　 ． 【例2.3】（2025•定西模拟）小青坐在教室的第4列第3行，用（4，3）表示，小明坐在教室的第3列第1行应表示为（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，1） D．（3，3） ■考点三　坐标与图形性质► 【例3.1】（2025•雅安）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m﹣3，0），点C（1﹣m，0）在x轴上，且AB＝AC，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【例3.2】（2025•宜兴市二模）已知过A（a，﹣2），B（3，﹣4）两点的直线平行于y轴，则a的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．2 ■考点四　坐标与图形变换► 【例4.1】（2025•温州模拟）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【例4.2】（2023•杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4.3】（2025•丽水一模）已知点A（m﹣1，﹣3），B（2，n+1）关于原点对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．2 【例4.4】（2025•衢州一模）平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，将线段OA绕点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A． B． C．（﹣1，3） D．（0，3） ■考点五　函数的相关概念及图象► 【例5.1】（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 【例5.2】（2024•齐齐哈尔）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　 ． 【例5.3】（2025•杭州模拟）小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 【例5.4】（2025•杭州模拟）已知点A（﹣2，a+2），B（﹣6，a），C（6，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． ( 巩固训练 ) 1．（2025•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025•西宁）当x＝1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•舟山三模）如图，在平面直角坐标系中，如果点M的位置用（3，2）表示，点N的位置用（0，1）表示，那么（2，﹣1）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（2025•碧江区 模拟）如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用（40，30°）表示，目标E用（30，240°）表示，那么（40，120°）表示的是（　　） A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 5．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3 6．（2024•杭州四模）若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 7．（2025•惠阳区校级三模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），AB平行于y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（4，﹣2） C．（﹣1，3）或（﹣1，﹣7） D．（4，﹣2）或（﹣6，﹣2） 8．（2025•上城区一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x … a﹣1 a a+1 … y … b+2 b b﹣2 … 则这个函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2025•玉环市二模）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4） 10．（2025•温州模拟）如图，姐弟两人沿同一路线去1500m外的学校上学，弟弟走路，姐姐骑车，他们所走的路程S（m）与时间t（分）之间的函数图象如图所示，则以下说法中不正确的是（　　） A．弟弟比姐姐晚到5分钟 B．姐姐的速度是弟弟的速度的4倍 C．姐姐出发时，弟弟已经走了750m D．姐姐出发4分钟后追上弟弟 11．（2025•广东三模）如图，A1（1，1），A2（2，1），A3（3，2），A4（4，2），A5（5，3），A6（6，3），…，按此规律，点A20的坐标为（　　） A．（19，12） B．（20，12） C．（20，11） D．（20，10） 12．（2025•平定县二模）如图，已知，，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 13．（2025•邻水县二模）若点P坐标可表示为（m+3，﹣m+1），其中m为任意实数，点P不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2025•杭州模拟）在函数中，自变量x的取值范围是　　 ． 15．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　　 ． 16．（2025•灵武市一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为 　 ． 17．（2025•广安）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，b），且a，b满足（a﹣2）2+|b+3|＝0，则点A在第 　　 象限． 18．（2025•长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题： （1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 19．（2025•朝阳区一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：min）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：m），部分数据如下： t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h/m 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　 　 m，转盘的半径约为　 　 m； ②此摩天轮转一圈所用时间为　 　 min； ③若当座舱A距离地面的高度为10m时，座舱B距离地面的高度是50m，则至少经过　 　 min（精确到0.1），这两个座舱的高度相同． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $