第7讲 一元一次不等式（组）及其应用（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第7讲 一元一次不等式（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形； 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 3.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元一次不等式(组)的概念： (1)用不等号连结起来的数学式子叫做不等式． (2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做不等式的解集，简称不等式的解． (3)求不等式的解的过程，叫做解不等式． 2．不等式的基本性质： (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c ＞ b±c． (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac ＞ bc， ＞ ． (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac ＜ bc， ＜ ． 3．不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 4．解不等式组： 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”． 5．列不等式解应用题的一般步骤： (1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式． (5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)． 6．列不等式解应用题应注意的问题： (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件． (2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义． ( 考点精析 ) ■考点一　不等式的基本性质► 【例1.1】（2025•仙居县二模）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x+2＞y+2 D．x﹣1＞y﹣1 【思路点拨】根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解析】解：∵x＜y， ∴3x＜3y， ∴选项A符合题意； ∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴选项B不符合题意； ∵x＜y， ∴x+2＜y+2， ∴选项C不符合题意； ∵x＜y， ∴x﹣1＜y﹣1， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是关键． 【例1.2】（2025•临平区二模）已知2x＜3y，那么下列不等式成立的是（　　） A．2x+1＜3y B．2x＜3y﹣1 C．2x+1＜3y﹣1 D．2x﹣1＜3y+1 【思路点拨】本题主要利用若a＜b，c＜d，则a+c＜b+d，依次进行判断即可． 【解析】解：本题主要利用若a＜b，c＜d，则a+c＜b+d，依次进行判断如下： A中，由2x＜3y，1＞0，则2x+1＜3y不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B中，由2x＜3y，0＞﹣1，则2x＜3y﹣1不一定成立，故选项B错误，不符合题意； C中，由2x＜3y，1＞﹣1，则2x+1＜3y﹣1不一定成立，故选项C错误，不符合题意； D中，由2x＜3y，﹣1＜1，则2x﹣1＜3y+1成立，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． ■考点二　一元一次不等式（组）的解法► 【例2.1】（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【思路点拨】移项、合并同类项即可得出答案． 【解析】解：∵x﹣3＞2， ∴移项得：x＞2+3， 合并同类项得：x＞5， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【例2.2】（2024•浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜4， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【例2.3】（2025•路桥区二模）解不等式3x﹣5≤x+1，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【解析】解：3x﹣5≤x+1， 移向，得3x﹣x≤1+5， 合并同类项，得2x≤6， 化系数为1，得x≤3． 在数轴上表示不等式的解集如图所示， 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【例2.4】（2025•钱塘区三模）解不等式组： 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 【解析】解：， 解不等式①得，x＜2， 解不等式②得，x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【例2.5】（2025•建德市校级模拟）关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【思路点拨】先求出所给不等式的解集，再得出解集内的正整数解即可． 【解析】解：解不等式x﹣1≤2得， x≤3， 所以此不等式的正整数解有：1，2，3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【例2.5】（2025•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：， 由①得，x≤1， 由②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1． 负整数解有：﹣2、﹣1． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． ■考点三　含字母的不等式的解集问题► 【例3.1】（2025•南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是m≤3　 ． 【思路点拨】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可． 【解析】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2， 由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m﹣1≤2， 解得m≤3， 故答案为：m≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【例3.2】（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【思路点拨】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 【解析】解：由2x﹣3≤0得，x≤． 由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解， 则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【例3.3】（2025•乐清市校级模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2 【思路点拨】结合关于x的一元一次不等式组无解，得出a≤2，即可作答． 【解析】解：∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴a≤2， 故选：B． 【点睛】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，熟练掌握该知识点是关键． ■考点四　一元一次不等式（组）的应用► 【例4.1】（2024•临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000 【思路点拨】根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可． 【解析】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x+60+80≤1000， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【例4.2】（2025•南宁二模）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设有x条船，根据“每条船坐4人，则2人无船坐”可得学生有（4x+2）人，再根据“每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【解析】解：设有x条船，则学生有（4x+2）人， 由题意得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【例4.3】（2025•温州模拟）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．这两种水果的售价与进价如下表所示： 品种 售价（元/箱） 进价（元/箱） 蜜枯 28 20 脐橙 31 25 （1）该商家售完这1000箱水果所获得的利润为6400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？ （2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？ 【思路点拨】（1）设蜜桔x箱，则脐橙（1000﹣x）箱，根据题意列出方程式即可得出答案； （2）设蜜桔y箱，则脐橙（1000﹣y）箱，根据题意列出方程组即可得出答案． 【解析】解：（1）设蜜桔x箱，则脐橙（1000﹣x）箱， （28﹣20）x+（31﹣25）（1000﹣x）＝6400， 解得x＝200， 答：该商家购进了蜜桔200箱． （2）设蜜桔y箱，则脐橙（1000﹣y）箱， y（55﹣20﹣25）+（31﹣25）（1000﹣y﹣）+（28﹣20）×（y﹣）≥6500， 解得：y， ∵y是整数且是5的整数倍， ∴y至少取420． 答：商家至少要购进蜜桔420箱． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是解题的关键． 【例4.4】（2025•攀枝花）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝﹣20x+2200． （1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； （2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【思路点拨】（1）求出当x＝80时y的值，即可解决问题； （2）根据规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解析】解：（1）∵y＝﹣20x+2200， ∴当x＝80时，y＝﹣20×80+2200＝600， ∴600×（80﹣60）＝12000（元）， 答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元； （2）由题意得：， 解得：86≤x≤95， 答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 【思路点拨】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别． 【解析】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m， ∴选项A不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2， ∴选项B符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立， ∴选项C不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用不等式的性质和整式混合运算知识． 2．（2025•介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可． 【解析】解：不等式移项得：3x＞6， 解得：x＞2， 表示在数轴上得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．（2025•上城区校级三模）下列四个不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据确定不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解，逐一判断即可． 【解析】解：A．选项式子的解集为﹣3＜x≤7，不符合题意； B．选项式子无解，符合题意； C．选项式子的解集为x≥7，不符合题意； D．选项式子的解集为x＜﹣3，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，掌握求不等式组的方法是关键． 4．（2025•东阳市二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先解不等式组，然后把解集表示在数轴上，再根据所求结果进行判断即可． 【解析】解：， 由①得：3x﹣x＜2， 2x＜2， x＜1， 由②得：2x﹣2≥x﹣4， 2x﹣x≥2﹣4， x≥﹣2， ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1， 解集在数轴上表示为： ， ∴A，B，D选项错误，C选项正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 5．（2025•金东区二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　） A．x+10%x＜20 B．x+10%x≤20 C．（1+10%）x＞20 D．（1+10%）x≥20 【思路点拨】根据题意，建立关于x的不等式即可解决问题． 【解析】解：由题知， x斤糯米做成清明粿的质量为（1+10%）x斤， 则（1+10%）x＞20． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，能根据题意建立关于x的不等式是解题的关键． 6．（2025•龙泉市二模）如图表示关于x的不等式x﹣a≤2的解，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【思路点拨】先用a表示出x的取值范围，再根据数轴上x的取值范围求出a的值即可． 【解析】解：∵x﹣a≤2， ∴x≤2+a， ∵x≤﹣1， ∴2+a＝﹣1， 解得a＝﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的不等式的解集得出关于a的一元一次方程是解答此题的关键． 7．（2025•嵩县模拟）若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对 【思路点拨】根据不等式的性质，不等式两边同乘或同除一个负数，不等号方向改变，由题意可得a﹣3＜0，即可得出答案． 【解析】解：根据题意可得， a﹣3＜0， 即a＜3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握求不等式解集的方法进行求解是解决本题的关键． 8．（2025•金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 【思路点拨】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：a≥﹣3． 【解析】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是不等式组的解集的判断方法，掌握不等式组解集的判断口诀是解题的关键． 9．（2025•通州区一模）关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（　　） A．﹣6＜b≤﹣4 B．﹣6＜b＜﹣4 C．﹣6≤b≤﹣4 D．﹣6≤b＜﹣4 【思路点拨】由不等式2x+b≤0得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 【解析】解：解不等式2x+b≤0得：， 由题意可得：， ∴﹣6＜b≤﹣4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键． 10．（2025•拱墅区校级二模）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是a＜1.5　 ． 【思路点拨】在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【解析】解：∵点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限， ∴2a﹣3＜0， ∴a＜1.5， 故答案为：a＜1.5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2025•涪城区三模）不等式﹣x+2＞0的最大整数解是 　5　 ． 【思路点拨】先求出不等式的解集，即可得到不等式的最大整数解． 【解析】解：﹣x+2＞0， 移项，得：﹣x＞﹣2， 系数化为1，得：x＜6， ∴该不等式的最大整数解是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 12．（2025•驻马店二模）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　3　 个． 【思路点拨】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可． 【解析】解：3（x﹣1）≤5x+2， 3x﹣3≤5x+2， 3x﹣5x≤3+2， ﹣2x≤5， x≥﹣2.5， ∴不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有﹣2，﹣1，0，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确地解不等式，求出解集是解答题的关键． 13．（2025•中原区模拟）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　20≤x≤25　 范围内． 【思路点拨】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可． 【解析】解：由题意得：， 解得：20≤x≤25， 故答案为：20≤x≤25． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解． 14．（2025•烟台模拟）若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 　3＜m≤4　 ． 【思路点拨】解不等式得出x＜m，由关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，知不等式的正整数解为1、2、3，据此可得答案． 【解析】解：∵5x﹣2m＜3x， ∴5x﹣3x＜2m， 2x＜2m， x＜m， ∵关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解， ∴不等式的正整数解为1、2、3， ∴3＜m≤4， 故答案为：3＜m≤4． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 15．（2025•浙江模拟）解不等式：． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：5﹣1﹣x＞5x① ﹣x﹣5x＞1﹣5② ﹣6x＞﹣4③ ④ 【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【解析】解：错误步骤为①④， 正确的过程： ． 5﹣（1﹣x）＞5x， 5﹣1+x＞5x， x﹣5x＞1﹣5， ﹣4x＞﹣4， x＜1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 16．（1）（2025•陕西）解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）（2025•浙江一模）解不等式：． 【思路点拨】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【解析】解：（1）3（2x﹣1）≤4x+1， 去括号，得6x﹣3≤4x+1， 移项，合并同类项，得2x≤4， 系数化为1，x≤2， 原不等式的解集在数轴上表示如图： ． （2）， 去分母，得：3（1+x）﹣4（2x+1）≤12． 去括号，得：3+3x﹣8x﹣4≤12， 移项，得：3x﹣8x≤12﹣3+4， 合并同类项，得：﹣5x≤13， 两边都除以﹣5，得：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 17．解不等式组：（1）（2025•龙泉市一模）． （2）（2025•温州模拟）． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】解：（1）解不等式2（x﹣1）≤4得：x≤3， 解不等式1﹣2x＜2得：x＞﹣， 则不等式组的解集为﹣x≤3． （2）， 解不等式①得x≤1， 解不等式②得x＜2， 所以不等式组的解集为x≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2025•哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【思路点拨】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据“购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过360元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解析】解：（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯， 根据题意得：6m+8（50﹣m）≤360， 解得：m≥20， ∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第7讲 一元一次不等式（组）及其应用 ( 课标要求 ) 1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形； 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 3.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 4.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．一元一次不等式(组)的概念： (1)用 连结起来的数学式子叫做不等式． (2)使不等式成立的未知数的值的全体，叫做 ，简称不等式的解． (3)求不等式的解的过程，叫做 ． 2．不等式的基本性质： (1)不等式的两边都 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则a±c b±c． (2)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向不变． 若a＞b，c＞0，则ac bc， ． (3)不等式的两边都 同一个 ，不等号的方向改变． 若a＞b，c＜0，则ac bc， ． 3．不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须 ．基本步骤为： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)系数化为1. 4．解不等式组： 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的 ，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组 ．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”． 5．列不等式解应用题的一般步骤： (1)审题．(2)设未知数． (3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式． (5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)． 6．列不等式解应用题应注意的问题： (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件． (2)正确理解题目中的关键词语(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超过、至少等)的确切含义． ( 考点精析 ) ■考点一　不等式的基本性质► 【例1.1】（2025•仙居县二模）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x+2＞y+2 D．x﹣1＞y﹣1 【例1.2】（2025•临平区二模）已知2x＜3y，那么下列不等式成立的是（　　） A．2x+1＜3y B．2x＜3y﹣1 C．2x+1＜3y﹣1 D．2x﹣1＜3y+1 ■考点二　一元一次不等式（组）的解法► 【例2.1】（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【例2.2】（2024•浙江）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【例2.3】（2025•路桥区二模）解不等式3x﹣5≤x+1，并把解集在数轴上表示出来． 【例2.4】（2025•钱塘区三模）解不等式组： 【例2.5】（2025•建德市校级模拟）关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【例2.5】（2025•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． ■考点三　含字母的不等式的解集问题► 【例3.1】（2025•南充）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　 ． 【例3.2】（2025•黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 【例3.3】（2025•乐清市校级模拟）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2 ■考点四　一元一次不等式（组）的应用► 【例4.1】（2024•临安区一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000 【例4.2】（2025•南宁二模）若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有x条船，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【例4.3】（2025•温州模拟）每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．这两种水果的售价与进价如下表所示： 品种 售价（元/箱） 进价（元/箱） 蜜枯 28 20 脐橙 31 25 （1）该商家售完这1000箱水果所获得的利润为6400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？ （2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？ 【例4.4】（2025•攀枝花）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝﹣20x+2200． （1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； （2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． ( 巩固训练 ) 1．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 2．（2025•介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•上城区校级三模）下列四个不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•东阳市二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•金东区二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　） A．x+10%x＜20 B．x+10%x≤20 C．（1+10%）x＞20 D．（1+10%）x≥20 6．（2025•龙泉市二模）如图表示关于x的不等式x﹣a≤2的解，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 7．（2025•嵩县模拟）若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x＞，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对 8．（2025•金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 9．（2025•通州区一模）关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（　　） A．﹣6＜b≤﹣4 B．﹣6＜b＜﹣4 C．﹣6≤b≤﹣4 D．﹣6≤b＜﹣4 10．（2025•拱墅区校级二模）已知点（﹣1，2a﹣3）位于第三象限，则a的取值范围是 　 ． 11．（2025•涪城区三模）不等式﹣x+2＞0的最大整数解是 　 　 ． 12．（2025•驻马店二模）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　 　 个． 13．（2025•中原区模拟）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 　 　 范围内． 14．（2025•烟台模拟）若关于x的不等式5x﹣2m＜3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 15．（2025•浙江模拟）解不等式：． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：5﹣1﹣x＞5x① ﹣x﹣5x＞1﹣5② ﹣6x＞﹣4③ ④ 16．（1）（2025•陕西）解不等式3（2x﹣1）≤4x+1，把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）（2025•浙江一模）解不等式：． 17．解不等式组：（1）（2025•龙泉市一模）． （2）（2025•温州模拟）． 18．（2025•哈尔滨）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $