湖北襄阳市2026届高三上学期期末考试数学试卷

2026届高三上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔直 接答在答题卡上对应的答题区域内。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1. 若复数z满足：=i+中，则2的虚部为() A.i B.1 C.-1 D.-i 2. 已知向量a=2,方=0,2，若ai=0,则日=( A.5 B.2 C.5 D.5 3.假设某次考试的成绩服从正态分布N(100,152).如果按16%，34%，34%，16%的比例将考试成 绩从高到低分为A,B.C,D四个等级，则A等级的分数线约为() 【若X~N(4,σ2)，则P(4-o≤X≤H+o)≈0.68，P(-2o≤X≤H+2σ)≈0.95】 A.85 B.130 C.115 D.145 4. 已知集合A-{r-a≤0B==log,-x2+2)},且CAUB=R,则a的取值范围是( A.(,+) B.（o,l] C.(,1) D.I,+oo) 5.等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S2=1S4=3,则a5+a6=（) A.4 B.5 C.7 D.2+√2或2-√2 6.已知a<b<c(a,b,c∈R)且a+b+2c=0,则() A.a+c有可能大于零 B.a2+b2<2c3 C.3a和c,使得a=3c D.b+2c<-1 a+c 高三数学第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 了，已知F.心分别是双曲线c:天-y-1的左、焦点，过R和A 作倾斜角都为工的射线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两 点（如图所示），则四边形FABF的面积是（) A. 122 B. c.2 48 7 D. 7 8. 己知函数()= 邮，且函数&()=U(x+af()-8怡有6个零点，则实数a的取值范围 为( A.(e- c.(o-) (e-8- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知n个互不相等的正数x,x(原始数据)，其平均数为X,方差为s,将原始数据 中加入X,后，所得新数据的平均数为X,,方差为S,则有() A.Xi<X2 B.Si=S C.Xj=X2 D.S2<S2 10.在棱长为2的正方体AB,C,D,-ABCD中，M是线段BB,上的点，则() A.过点M与直线AD,CD都垂直的直线有且只有一条 B.过点M与直线AD,CC,都相交的直线有且只有一条 C.若M为BB,的中点，则三棱锥A,-AMC,的外接球的球心O 在正方体的体对角线AC上 D.若M为BB,的中点，P是己知正方体表面上的动点且有 ∠AMP=90°，则动点P的轨迹长度是√5+4 11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A(x,),B(x2,2),其中点A在第一象限， 点C是抛物线上且处于第四象限的点，△ABC的重心G恰好在x轴上，且重心G在焦点F的 右边，AC与x轴交于D点，则() A.2=-4 B.∠ACB不一定是锐角 C.△AFG和△CDG的面积分别记为S,S2,则是的取值范围是 S D.若CF平分∠ACB,则CF=√3-1 2 高三数学第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. sin(a+") 12.己知tana=3,则一 4 π、 sin(a-) 4 13.随机将1,2,3,4,5,6这6个数分成A,B两组，其中A组2个数，B组4个数，A组最 小的数为a,B组最小的数为b,记X=a-b,则E(X)=_ 14.数列{an}的各项都是正整数，且对任意的2≤k≤n-1ak1+ak-1>2a,恒成立，则称数列{an} 为U-数列”.对有20项的所有可能的U-数列”：a1,a2,a20,记M=max{a1,42,…a20}, 则M的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) 锐角△ABC中，满足cos2B=sinB-cosB,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)若a=42.b=2W5,求边c的长： (2)求。+c的取值范围。 16.(本题满分15分) 已知三校锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,∠BAC=行，M,N分别是PB.PC的 中点 (1)判断命题“若平面AMW∩平面ABC=I,则1⊥平面PAC”的真假，并说明理由： (2)若平面AMN⊥平面PBC,求平面AMN与平面ABC所成的角的正弦值. 高三数学第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本题满分15分) 一批产品共0件，其中有两件不合格品，其他都是合格品。将这批产品随机分装到两只箱 中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，井按以下规则判断是否接收这批产品： 课抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品：如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再 抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品. (1)两件不合格品包装在同一箱中的概率： (2)这批产品被拒收的概率。 18.(本题满分7分) 已知函数fx)=c-2-红-1. 2 (1)证明：x>0时，e*>x2 (2)若函数fx)有且只有三个零点x,为，(<2<3)， ①求k的饵取值范围： ②证明：，+x3<0. 19.(本题满分7分) 已知椭因c:二+兰=1,0是坐标隙点，AB,CP是椭图C的点，四边形OAP是平行四 84 边形. (I)求平行四边形OAPB的中心M的轨迹方程： (2)记平行四边形OAPB的中心的轨迹为曲线F,证明：平行四边形OAPB的对角线AB 与曲线F相切： (3)若三角形的两条边AB和AC与(2)中曲线F都相切，试证明：第三条边CB与曲线F 也相切，并探究△ABC的面积是否为定值.若是，求出其面积：若不是，请说明理由. 高三数学第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2026届高三上学期期末考试 数学参考答案 题号1 2 3 5 9 10 11 答案C B D B D CD AD ACD 12.2 3 26 14.46 15.(1)tcos 2B=sin B-cos B=cos2 B-sin2B=(cos B+sin B).(cos B-sin B) .'(sin B-cos B)-(sin B+cos B+1)=0 :△4BC为锐角三角形，，sinB+cosB+1>0 ∴.sinB-cosB=0,∴.tanB=l 8e0孕8=月 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,得20=32+c2-8c, 即c2-8c+12=0,解得c=2或c=6 …6分 但c=2时，cosA=20+4-32 <0,与己知条件不符， 4√5 而c=6时，cosA>0,cosC>0,符合条件， C=6 …7分 (2)油正弦定理，得 +esin+sinC=2(sin4+sin'C)=2-cos2A-cos2C 63 sin2B 2-c0s24-cos 2)=2+sin24-69524=2+sin(24-) 42 Tk2+同 …13分 16.(1)该命题是假命题，证明如下： 证法一：MN是APBC的中位线，MN∥BC, 又BCa平面AMN,MNc平面AMN, ∴.BC∥平面AMN, BCc平面ABC,且平面AMN∩平面ABC=I 1∥BC4分 ∴与AC所成的角为锐角∠BCA,即1与AC不垂直 由直线与平面垂直的定义知直线与平面PAC不垂直.…7分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 证法二：首先证明1∥BC(同证法一) BC⊥ABI⊥AB, 如果I⊥平面PAC,ACC平面PAC ∴I⊥AC,注意到1，AB,AC在同一平面内， ∴AB∥AC,这与AB∩AC=A矛盾 I⊥平面PAC不成立. …7分 (2):PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,∴BC⊥PA,又BC⊥AB,PA∩AB=A ∴.BC⊥平面PAB,AMc平面PAB,∴AM⊥BC,BC⊥PB,又BC∥MNII .AM⊥1，又AB⊥BC,BC1.AB⊥I,∠MAB是所求二面角的平面角…10分 :平面AMN⊥平面PBC,平面AMN⊥平面PBC=MN,MN∥BC,BP⊥MN PB⊥平面AMN,∴.PB⊥AM,:AM是4PAB的PB边的中线，.PA=AB ∠18=子故两平面所成角的正弦值是号.叫5阶 解法二：以AP为Z轴，AC为Y轴，过A作AC的垂线为X轴建立空间直角 坐标系，设PA的长度为2， :平面AMN⊥平面PBC,平面AMN⊥平面PBC=MN,MN∥BC,BP⊥MN PB⊥平面AMN,PB⊥AM,:AM是4PAB的PB边的中线，.PA=AB P点坐标(0,0,2)，A0,0,0),B(3,1,0,PB=(W3,l,-2) PB⊥平面AMN,.平面AMN的一个法向量是元=(N3,L,-2) :平面ABC的一个法向量是n2=(0,0,1) ∴平面AMN与平面ABC所成角的余弦值为 :平面AW与平面ABC所成角的正弦值为互 …15分 17.(1)10件产品分给甲箱5件、乙箱5件的方法有C。·C种，其中两件不合格品都在甲箱中的分法有 C·C种，两件不合格品都在乙箱中的分法也有C袋·C种，所以两件不合格品在同一箱中的概率 P=2C、4 C59行6 方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球，将10个球排成一排，左边的5个球为一侧，右 边的5个球为另一侧。第一个黑球放入（不是左侧就是右侧），第二只黑球可以放在其它9个位置上，两 只黑球在同一侧即第二只黑球放在第一只黑球的那一侧的其它4个位置上，所以两件不合格品在同一箱中 的概率P=g' 4 …6分 (2)两件不合格品在同一箱中的事件为A,则不合格品分装在不同箱中的事件为A,这批产品被拒收的 事件为B,则PB)=P利-P+P啊-P间，P=AR=号 P(B)表示两件不合格品放在同一箱的条件下经过抽检后被拒收的概率，在第一次抽检时有。的概率从两 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 件次品在一起的箱中抽检，也有号的概率从没有次品的箱中拍检 121 22 ∴PBA)=5×2+。×1x 25255 2×4+9x517 :PB=P(0-P)+PBD.Pa=后xg+25*g行 …l5分 18.)x>0,e>x2等价证明：x>2lnx 构造g(x)=x-21nx,xe(0+og)=1-2--2 ∴x∈(0,2)，g'(x)<0,g(x)在(0,2)上单调递减：xe(2,+),g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增 g(x)在x=2时取最小值=2-2n2>0 x>2lnx成立，e>x2也成立. …4分 (2)①f'(x)=e-x-k,f"(x)=e*-1,x∈(-o,0),f"(x)<0:x∈(0，+o),f"(x)>0 ∫'(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， f'(x)在x=0处取得最小值=1-k 若1-k≥0，即k≤1时，∫'(x)≥0，函数f(x)在R上单调，不可能有三个零点，舍去： 当1-k<0,即k>1时，(-k)=e*>0,∫"(0)<0，∫'(2k)=e2*-3k>(2k)2-3k>0 ∴3m<0,f'(m)=0,3n>0.f'(n)=0 .f(x)在(-o,m)上单调递增，在区间(m,0)和(0，n)上单调递减，(n,+o)上单调递增 f(0)=0f(m)>0,f(n)<0 :f-2k)=e2-1<0,且f(m)>0 :由零点存在性定理和函数f(x)的单调性，f(x)在(-0，m)上存在唯一一个零点， x>0时.由(D的结论，到=e2-方2--1>2-2--1方2-加- 当x>k+√k2+2时，都有f(x)>0,且f(m)<0 (欧2+)=e2-4k2-3-号>k+2-42-3张-号=k-0) (说明：此处如果只模糊叙述x-→+o,f(x)-→+o,酌情扣分) ∴由零点存在性定理和函数f(x)的单调性，∫(x)在(n,+o)上存在唯一一个零点x ∴k>时，加上x2=0,f(x)有且只有三个零点. k的取值范围是k>1. ……11分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ②由①知k>1时，x1<0,x3>0,函数f(x)在(0，x)上都取负值， f(x)在(x,+o)上单调递增且都取正值，要证明：+x3<0,只需证明 (-x)>0即可. ~)=e-+-1又-方--1=0 f-x)=e4+e西-x好-2，xe(-,0) 令p(x)=e'+er-x2-2,xe(-0,0,p'(x)=e'-e-2.x p"(x)=e+e-2≥0，∴p'(x)在（-o,+o)单调递增， p'(0)=0,∴.xe(-o,0)时p'(x)<0, ∴.p(x)在(o,0]单调递减， ∴.p(x)>p(0)=0∴f(-x)>0成立 .+x3<0成立.…。 …17分 19.()设平行四边形OAPB的中心M(x,y),它是线段OP的中点，∴P的坐标为 2x2自于点P唯箱版C上：，2g-1即号+-L是所求载连方品 8 4 4分 (2)设线段AB中点的坐标为M(oo,A,B的坐标为A(x,乃)，B(x2,2), 互+足-1豆+足=1，两式相减得，k8·ow= 84 ”84 2kB=- 2y0 直线18的方程是：J-力=务K-0以即=一卖+代入号 2y0 2yo Yo +2=1 得(x6+2)x2-4xor+4-4=0,即x2-2.xox+2-2=0 ∴.4=(2.x0)2-4(2-2)=4(x6+2y6-2)=0 10与线r:号+=1陶切 9分 幻 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (3)设线段AB中点的坐标为M(x0,o)则P(2xo,2%,A,B的坐标为A(x,,B(x2,2) 延长PO交椭圆C于P(-2o,-2%),再延长B0交曲线F于2，交椭圆C于B, y=xy=x 分别联立 x2 2 及 。得0方a即点0是08的中点 z M是AB的中点，.B(20-,20-h.B(-20+,-20+) 02-6告-ok0=(空-0是-w0丽=受-0分-） ∴Q也是AP的中点，这样四边形OAB,B是平行四边形， 由(2)的结论知A与曲线相切，H与点C重合 延长AO交椭圆C于A,OM是4AAB的中位线，∴OM∥AB, 即4B∥OC,同理，OQ是444C的中位线，∴.OQ∥A1C,即4C∥OB .四边形OCAB也是平行四边形，由(2)的结论知CB与曲线F也相切.14分 C(-20,-2%)到直线AB:9x+6y=1的距离d= 上6-2听- 6 2 +6 Vx6+48 4 x+%y=1 由 2 。2得x2-2xox+2-8y6=0,AB=1+ ·V4x号-8+328 -=1 48 4 =6+g2则=6后+4 2yo .SAuc-号hd=吃66+4g 6 ==36是定值.…17分 V场+4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP