寒假复习巩固（四）第十三章三角形 2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假复习巩固（四） 第十三章 三角形 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 2．如图，在木门板钉一个斜的加固板，这样做的道理是（   ） A．利用三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 3．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如下图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（    ） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 7．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 二、填空题 11．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是 ． 12．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是 ． 13．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有 种选法． 14．“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ． 15．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 三、解答题 17．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． 18．如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 19．如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． (1)若与的周长差为2，，求的长； (2)若，，求的度数． 20．如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，在中，，于点D，平分，交于点E． (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 22．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 23．综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《寒假复习巩固（四） 第十三章 三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B B C D B A C 1．D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形． B、∵，∴不能组成三角形． C、∵，∴不能组成三角形． D、∵，∴能组成三角形． 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性，是解题的关键．根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：木门板是四边形，钉上一个加固板，变成了两个三角形，根据三角形的稳定性，可得答案是A． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，三角形的角平分线，掌握以上知识点是解题的关键． 由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，利用三角形内角和为，结合每个条件推导角的度数，判断是否存在直角即可． 【详解】解：对于①，∵， ∴， 又，代入得， 解得，故是直角三角形； 对于②，∵，且， ∴，故是等边三角形，不是直角三角形； 对于③，∵， ∴， 又，得，故是直角三角形； 对于④，设，则，， 由，解得， 将的值代入计算可得，，均不是直角，故不是直角三角形； 综上，能确定为直角三角形的条件有①③，共2个； 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查几何图形的重心概念，把运动员的身体抽象成几何图形是解题关键． 把运动员的身体视为几何图形，找出三种姿势的重心，然后判断重心与横杆的相对位置． 【详解】解：越过相同高度的横杆时，运动员所需提升的重心高度越小，则越过的横杆更高，成绩更好， 选项，过杆时，身体像一个“直角梯形”，重心在身体内部，明显高于横杆，重心不是最低； 选项，过杆时，身体像一个“斜置的长方形”，重心在横杆上方，重心不是最低； 选项，过杆时，身体呈“弓形”，此时重心落在弓形的外部、横杆的下方，重心最低； 选项，三种方式过横杆时运动员重心不相同． 故选：． 7．D 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． ∴三角形一定有一个内角为， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，弄清面积之间的关系是解题的关键． 由三角形的中线可得、，再说明，易得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵在中，点是边上的中点，的面积是12， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 11．三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．28 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 13．2 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 14．/45度 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 15．1.5 【分析】本题考查了三角形的中点和中线，熟练掌握三角形的中点和中线的性质是解题的关键； 根据中线的性质即可得到的面积. 【详解】解：∵，D为BC的中点， ． ∵E为AD的中点， ∴． ∵F为EC的中点， ∴， 即阴影部分的面积为； 故答案为：1.5． 16．/10度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出是解题的关键． 由，，得出，再由三角形的外角的意义得出，，从而得出，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 18．(1) (2)，理由见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）解：∵， ， ， ． 19．(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义可得，再由三角形的周长公式推出，据此可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，由高线和角平分线的定义求出，，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 与的周长差为2， ， ， ； （2）解：， ， 、分别是的高与角平分线， ，， ， ． 20．(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）求得，计算求得，利用平行线的判定定理即可得到； （2）求得，推出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 21．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 22．(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 23．(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $