寒假复习巩固（二）13.2与三角形有关的线段 2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假复习巩固（二） 13.2 与三角形有关的线段 一、单选题 1．下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 3．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 5．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 6．如图所示， 在中， D、E、F分别为的中点， 且（阴影部分），则的面积等于（    ） A． B． C． D． 7．学校劳动基地有一块用篱笆围成的三角形菜地，其平面图如图所示，其中篱笆完好，其长度分别为，另一篱笆部分破损，仅剩篱笆可用，现要重新将这三角形菜地围好，则在破损的篱笆之间补接的新篱笆的长度可能为（   ） A． B． C． D． 8．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 9．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 10．在中,、E是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是(    ) A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 二、填空题 11．现有长为的三根木条，若用这三根木条钉成一个三角形的木框，则的取值范围是 ． 12．港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是 ． 13．数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则 （填“>”“=”或“<”）． 14．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为 ，若，则 ． 15．在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，则的度数是 ．    16．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 17．若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 18．如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边 ．(用含的代数式表示结果） 三、解答题 19．如图， (1)∵是的中线（即点是的中点）， ∴有＝ ，＝ ． (2)∵如图是的角平分线， ∴ ． (3)∵是的高（）， ∴ ． 20．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 21．填写推理理由，将过程补充完整： 如图，已知于点，于点，．求证：平分． 证明：（已知）， （垂直的定义）． __________（____________________）． _____（____________________）， _____（____________________） 又（已知）， ____________________． 平分． 22．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 23．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 24．如图，，，分别是的高线，角平分线和中线． (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是_____（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《寒假复习巩固（二） 13.2 与三角形有关的线段》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A B B B D D 1．C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形三边关系的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 只需最长线段与其他两条线段的和比较大小即可判断能否构成三角形，以此对四组线段分别分析，再作出判断． 【详解】解：，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故A不符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故B不符合题意． ，满足三角形三边关系， ∴该组线段能构成三角形， 故C符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：设另一根钢丝绳的长为， ∴，即， 根据选项，只有A选项符合题意， 故选：A ． 3．A 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，识别出支架的三角形结构并理解其几何特性是解题的关键． 【详解】解：由题意，应用这种方法的几何原理是：三角形具有稳定性． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到即可求解． 【详解】解：∵点为的中点，且（阴影部分）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键．设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ，即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 10．D 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，解题的关键是结合、的条件，分析各线段的位置关系． 根据三角形高、中线、角平分线的定义，结合边的长短关系，逐一分析各选项的合理性． 【详解】解：当时， A、∵是高，，当为中点时，可作为中线，如下图，此选项不符合题意，； B、∵是中线，则为中点，又，故在上，而，高应靠近侧（即侧），故不可能是高，此选项不符合题意； C、∵是角平分线，如下图， 又，当为中点时，可作为中线，此选项不符合题意； D、∵是高，，此时，符合题干条件， 因此有可能是角平分线，选项D推断错误，见下图， ∴此选项符合题意． 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13．＝ 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线的性质．根据点O是的重心可得是中线，根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形即可解答． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴． 故答案为：＝． 14． 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 15． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据高线的定义，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 16．7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 17．10 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 18．/ 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 19．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高的定义，关键是知识点的熟练应用． （1）根据三角形的中线的定义即可得到答案； （2）根据三角形的角平分线的定义即可得到答案； （3）根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】（1）∵是的中线（即点是的中点）， ∴有，． 故答案为：，． （2）∵如图是的角平分线， ∴． 故答案为：． （3）∵是的高（）， ∴． 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 21．见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识．根据得到，即可证明，从而得到，，结合证明，即可证明平分． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， ． ∴平分（等量代换） 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 23．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 24．(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，， ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $