精品解析：陕西省商洛市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

陕西省商洛市2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 9 B. 14 C. 7 D. 5 3. 已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. 9 C. D. 3 5. 已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 6. 已知点是圆外一点，过P作圆C两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C的离心率 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 点到C的渐近线的距离为 10. 已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 圆心C到直线l距离的最大值是1 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 的取值范围为 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 直线与直线异面直线 C. 点D到直线距离为 D. 直线和直线夹角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______. 13 数列满足，，则_______. 14. 双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M经过点，，. （1）求圆M的方程； （2）若直线与M交于P，Q两点，且，求k. 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，设数列的前n项和，证明：. 17. 已知抛物线（）上一点到其焦点F的距离为5. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面，. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省商洛市2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由空间垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得：. 故选：B. 2. 等差数列中，，则（ ） A. 9 B. 14 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得：，解得：. 故选：C. 3. 已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 4. 在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】这5个数分别为，则， 又这5个数成等比数列，，. 故选：D. 5. 已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 6. 已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 7. 在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， 所以点C到平面的距离为， 故选：D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，利用，找到，的关系，再应用均值不等式求的最小值即可. 【详解】设公共半焦距为，,， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，， 由椭圆和双曲线定义可知，，， 所以， 又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，即. 所以 （当且仅当，即时取等号）. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C离心率 C. 双曲线C的渐近线方程为 D. 点到C的渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定、、，再根据双曲线的性质一一判断即可. 【详解】双曲线，则、，所以； 对于A：因为点在双曲线的右支上， 所以，故A正确； 对于B：双曲线C的离心率，故B正确； 对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误； 对于D：点，所以点到C渐近线的距离，故D正确. 故选：ABD 10. 已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 圆心C到直线l距离的最大值是1 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时圆心到直线的距离为取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆C截得的弦长最小值，可判断C选项；令，分析可得直线与圆相切时取得的最大值和最小值，即可求出取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线l过定点，A正确； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错误； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确； 对于D选项，令，则， 圆心到直线的距离为， 化简可得：，解得：， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 直线与直线异面直线 C. 点D到直线的距离为 D. 直线和直线夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标.对于A，写出向量与平面的法向量，再利用向量夹角公式即可得解；对于B，，故四点共面，即可判断；对于C，利用点到直线距离的向量求法即可得解；对于D，写出， 再运用向量夹角公式，即可得解. 【详解】以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则. 对于A：，且易知正方体中，平面， 故平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有， 即直线与平面所成角的正弦值为，故A正确； 对于B：，，故， 所以四点共面，因此直线与直线不是异面直线，故B错误； 对于C：，，故点到直线的距离，故C正确； 对于D：，，设直线和直线的夹角为， 则有， 即直线和直线夹角的余弦值为，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径即可. 【详解】因为圆的圆心为原点，半径为3， 所以到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最大值为， 故答案为：7. 13. 数列满足，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式求出前5项，可发现数列为周期数列，结合数列周期求解即可. 【详解】因为，， 所以，，，， 观察数列项的规律，可以发现数列是周期为4的数列：， 所以. 故答案为：. 14. 双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M经过点，，. （1）求圆M的方程； （2）若直线与M交于P，Q两点，且，求k. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆M方程为，将，，代入求出，即可得出圆M的方程. （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得出答案. 【小问1详解】 设圆M方程为， 则， 圆M的方程为，或； 【小问2详解】 因为圆心到直线的距离为， 由垂径定理，得， 化简可得：，解得. 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，设数列的前n项和，证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过对递推式取倒数变形，证明数列是首项为、公差为的等差数列，进而求出； （2）先写出的表达式并裂项，再通过裂项相消求和得到​，最后根据的表达式证明. 【小问1详解】 证明：由得， 所以， 所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 所以 ； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以. 17. 已知抛物线（）上一点到其焦点F的距离为5. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可求解； （2）设直线l方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 因为点到抛物线焦点F的距离为5， 所以， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 因为抛物线焦点， 所以设直线l方程为，，， 由消去x，得， 所以，， 又由，得， 所以，， 所以， 故直线l方程为， 即或. 18. 如图，在三棱柱中，平面，. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判断，再利用面面垂直的判定推理. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以C为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间坐标系. 由，可设，， 则，，，， ，，，， 所以. 设平面的法向量为， 由，所以取， 设平面的法向量为， 由，所以取， 设二面角大小为，所以 ， 故平面和平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出的值，进而得出椭圆的方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系得到的表达式，再根据斜率公式和已知条件建立等式，化简等式后求出直线所过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆C过点 ， 又离心率为 ， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，， 由 消去x，得， 方程的判别式， ，， 又因为，， 点在椭圆C上，则， 由，得， 所以， 所以， 所以， 即 或（舍去）， 故直线l方程为，所以直线l过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $