重庆第三十中学校2024-2025学年第二学期高二第三次月考数学试题

秘密★启用前 20242025学年第二学期高二第三次月芳 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4 页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)》 1.已知数列{an}的通项公式为an=2”+1,则17是这个数列的 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 2.已知函数f(x)=x2+4,则li f1+△x)-f1) △x+ △x N.2 3 B.1 C.2 D.3 3.已知随机变量X服认二项分布X~B6,）,则P(X=4) 器 B品 4 3 C.243 D.16 4.已知∫'(x)是函数f(x)的导函数，若f八x)=x2-x·'(3),则f(2)= A.-4 B.-2 C.2 D.4 的展开式中的常数项为 A.70 B.-70 C.252 D.-252 6.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 4 P 0.2 0.1 0.3 么 n 若E(X)=2,则m= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 数学H·第1页（共4页） 7.算盘是我国一类重要的计算工具.图1是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百 位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等 于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上， 表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位 置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数不小于5010”，则P(B|A)= 2 A.5 档 一上珠 框 >下珠 2 .3 图 D.6 8.已知函数f(x)的导函数f'(x)满足：对任意的x∈R都有x>f'(x),若f(1+k)-f(1-k)≤2k,则实数k的取 值范围是 A.(-∞，0] B(,引 c(o,) D.[0,+o) 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求 的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.下列命题中，假命题的是 A.若回归方程为y=-0.45x+0.6,则变量y与x正相关 B.甲同学所在的某校高三共有5003人，先随机剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个 样本，则甲被抽到的概率为 200 5003 C.若样本数据x1,x2,…,x1o的方差为2，则数据2x1-1,2x2-1,…,2x0-1的方差为4 D.在线性回归分析中相关指数R用来刻画回归的效果，若R值越大，则模型的拟合效果越好 10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则 下列说法正确的是 A.两件都是一等品的概率是6 1 B.两件中有1件是次品的概率是】 C.两件都是正品的概率是3 D、两件中至少有1件是一等品的概率是 6 1山.公比为g的等比数列a,其前n项和为S,前n项积为工，满足a>1,a·ae>1, 41下0.则下 列结论正确的是 A.0<g<1 B.a2021·a2023>1 C.Sn的最大值为S223 D.Tn的最大值为T2 12.已知函数y=f(x)在R上可导，且f(0)=1,其导函数f'(x)满足(x-1)[∫'(x)-八x)]≥0（当且仅当x=1 时取等号)，对于函数x)，下列结论正确的是 A.函数g(x)在(-∞，1)上为减函数 B.x=1是函数g(x)的极小值点 C.函数g(x)必有2个零点 D.ef(e)>ef(2) 数学FH·第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a5=10,则S6= 14.某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目， 有 种排法（数字作答). 15.某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100<X≤ 110)=0.34,估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有人. 16.已知函数f(x)=x3-ax2-bx的图象在点(0，f(0)处的切线斜率为-4，且x=-2时，y=f(x)有极值，则f(x) 在[-3,2]上的最小值为 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分) 已知(：+)"（其中n<15,n∈N)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列. (I)求n的值； (Ⅱ)写出展开式中的所有有理项， 18.(本小题满分12分) 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,+a3=8,且a2是2a,和a3+1的等比中项. (I)求{an}的通项公式； (Ⅱ)记bn=an·3”,其前n项和为Tn,求Tn 19.(本小题满分12分) 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数 据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (I)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (Ⅱ)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率。 20.(本小题满分12分) 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)》 的8组观测数据，制成如图2甲所示的散点图.现用两种模型①y=a·b(a>0,b>0),②y=cx2+d分别进 行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图乙所示的残差图.夏门中学生助手根 据收集到的数据，计算得到如下值： z t 含 4-0 含()g到 含(0u-0 25 2.89 646 168 422688 48.72 70308 表中a:=lny;z= 年6=：子 数学H·第3页（共4页） 产卵数y个 残差 140 30 120 20 100 10 80 ● 0 60 -10 ⑧20流2426茄234温度 40 -20 o-d 20 ● 温度x/℃ -30 0182022242628303234一 ◆一 模型①-。-一模型② 甲产卵数散点图 乙两种模型的残差图 图2 (I)根据残差图，判断哪一个模型的拟合效果更好 (Ⅱ)根据(I)中拟合效果更好的模型，求出y关于x的经验回归方程，并估计温度为35℃时的产卵数， :经验回归方程)+中剑率和截距的最小二乘估计公式分别为·，合，)二 召-n2 含(x) a=y-bx. 附2：参考数据e3.61≈273，e5.70≈299，e5.79≈327. 21.(本小题满分12分) 某医院用α，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如 下数据： 未治愈 治愈 合计 疗法a 15 52 67 疗法b 6 63 69 合计 21 115 136 (I)根据小概率值=0.005的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好； (Ⅱ）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该 医院对于，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者， 平均分成A,B两组，A组用甲方案，B组用乙方案，二个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3 1999 人康复的概率分别为201010 若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越 好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？ 参考公式及数据：X= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 Xa 3.8415.024 6.635 7.87910.828 (15×6-52×63)2 (15×63-52×6)2 67x69x21×115≈0.9092， (15×52-6×63)2 67×69×21×115 ≈0.0359， 67×69×21×115 ≈0.0145. 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lnx-(a-1)x+1. (I)若f(x)存在极值，求a的取值范围； (Ⅱ)当a=2,且x∈(0，π)时，证明：函数g(x)=f(x)-sin(π+x)有且仅有两个零点. 数学FH·第4页（共4页）20242025学年第二学期高二第三次月芳 数学参考答案 第I卷（选择题，共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 U 6 P 答案 B B D c D 【解析】 1.令a,=2”+1=17,化为：2”=16，neN,解得n=4,故选B. 2.函数f(x)=x2+4,则f'(x)=2x,所以1i f+△)-f@=f①=2，故选C. △ 3随机变量X服从=项分布X6》此X=0-c邓放选 A 4.由f(x)=x2-x·f"(3),得f'(x)=2x-f"(3),.f(3)=6-(3),得f"(3)=3,.f(x)= x2-3x,则f(2)=4-6=-2,故选B. 5([,少少，÷(+士-的展开式中的带数项为少 =-252,故选D. 6.因为概率之和为1，所以0.2+0.1+0.3+m+n=1,即m+n=0.4,因为E(X)=2,所以 0.2×0+0.1×1+0.3×2+3+4n=2,即3m+4n=1.3,解得m=0.3,n=0.1,故选C. 7.算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置 珠子不拨动，基本事件为1000,1001,1005,1010,1050,1100,1500,5000,5001,5005， 5010,5050,510,500共14种，事件4=“表示的四位数为偶数”，则P④=10=5， 147 年件B=“表示的四位数小F500”,则©)4所以P®小：号放 选A. 数学H参考答案·第1页（共7页） 8.令g()=fm)-1x2,则g)=f'()-x,因为对任意的x∈R都有x>fw),所以gw)<0, 2 所以g(x)在R上单调递减，不等式f(+)-fI-k)≤2k等价于 f0+)-20+≤f0-)-20-,即80+利≤80-月，所以1+k≥1-k,解得 k≥0，故选D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 12 答案 AC AD AD ABD 【解析】 9.对A:由y=-0.45x+0.6,可知b=-0.45<0,则变量y与x负相关，A项为假命题；对B: 根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，某校高三共有5003人， 抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 03,故B项为真命题：对C:若样 200 本数据x,x2,…,xo的方差为2，则数据2x-1,2x2-1,,2x。-1的方差为22×2=8，C 项为假命题；对D:在线性回归分析中相关指数R越接近于1，则模型的拟合效果越好， 故D项为真命题，故选AC 10.对于A,两件都是一等品的概率为=，枚A正确：对于B,两件中有1件是次品的 概率为CS=,故B错误：对于C,两件都是正品的概率 2 C=,故C错误：对于 D,两件中至少有1件是一等品的概率为C·C+C_5, 故D正确，故选AD, 6 11.因为公比为g的等比数列a},满足a>山aaa>10,所以 022-1 421>1,0<ao22<1,0<q<1,A正确；故当n=2021时，Tn取得最大值，D正确：由于 数列各项都为正数，和没有最大值，C错误；由题意得，0<a22<1,0<4o23<1，所以 凸021·4023=2<1，B错误，故选AD. 12.因为gw=f四，所以gm=feef@-f0f®，因为6k-Dfw-f6P0 ex (e)2 e 数学H参考答案·第2页（共7页） (当且仅当x=1时取等号)，所以当x<1时，f"()-f(x)<0,则g'(x)<0,g(x)单调递 减，故A正确；当x>1时，f"(x)-f(x)>0,则g'(x)>0,g(x)单调递增，所以x=1是函 数的极小值点，故B正确：因为g0=0,所以当80)>0时，函数8的没有零点，故 e C错误：因为g)在Q.+m)上单调递增，所以g(2<g⊙，即fO<f但，所以 e2 ee ef(2)<e2f(e),故D正确，故选ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 40 30 288 160 27 【解析】 13.“数列(a,}为等差数列，4+a,=4+4=10,,=64+a)_6x10 30 2 2 14.第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有A种排法；第二步：剩下的2个语言 类节目和2个歌唱节目共4个节目全排列有A4种排法，共A·A4=288种排法 15.考试的成绩5服从正态分布N110,10),.考试的成绩专关于5=110对称， ,P100≤5≤110)=0.34，∴.P(5≥120)=P(5≤100)=二(1-0.34×2)=0.16，∴.该班数 学成绩在120分以上的人数为0.16×1000=160. 16.由f(x)=x3-2-bx得f'(x)=3x2-2ar-b,由题意可得 f'(0)=-b=-4, f'(-2)=12+4a-b=0, 解得 6=4,可得f0)-=+22-4,f倒)=3x+4x-4=c+28x-2,令f)>0,解 a=-2, 得<2或号令)0，解得-2<号：则o)在(2到 2 上单调递减，在 m,-习，仔+上单调递增，故)在=-2处取到极大值，a=2,6=-4符 数学H参考答案·第3页（共7页） 合题意.又：c-3引，则在-2 上单调递减，在[-3，-2]， 子2上单调递 塔且=3.)碧即> f)在[-3,2]上的最小值为- 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）》 17.(本小题满分10分) 解：(I)因为(+)”（其中n<15,n∈N)的展开式中第9项、第10项、第11 项的二项式系数分别为C,C,C°.依题意得C8+C=2C n! n! =2.、l 可化为801-810101-10)！ 91(-9! 化简得n2-37n+322=0,解得n=14或n=23, ,n<15,n=14.…(5分) 14-r (Ⅱ)展开式的通项I,H=C4x?x3, 所以展开式中的有理项当且仅当”是6的倍数， 又0≤r≤14，reN,∴.r=0或r=6或r=12, 展开式中的有理项共3项是： T=C04x2=x7,T,=C64x6,T3=Cx3=91x5.…(10分) 18.(本小题满分12分) 解：(I)设数列{a,}的公差为d(d>0), q+4=202=8,∴.a2=4, …(1分) 又4，是24和4，+1的等比中项， ∴.G=24(a+1),即4=2(a-d0(a+d+1), …(3分) 解得d=3或d=-4(舍去)， ……(4分) ∴.4.=a2+(n-2)d=4+3(n-2)=3n-2. …(5分) (Ⅱ)b=a。·3=(3n-2)3, …（6分) ∴.T=1×32+4×32+7×33+..+(3n-2)×3"①， …(7分) ∴.3T=1×32+4×33+.+(3n-5)×3”+(3n-2)×3②， …(8分) ①-②得，-2T,=3+3×32+3×33++3×3”-(3-2)×3 =3+3×3×0-3）-6m-2)×31-21+7-6.3, …(11分) 1-3 2 2 ÷1=21+6m-7 3+。 …（12分) 44 数学H参考答案·第4页（共7页） 19.(本小题满分12分) 解：(I)A表示“取到的是一只次品”，B,表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”，B2 表示“取到的元件是由乙制造厂提供的”，B,表示“取到的元件是由丙制造厂提供的”。 则P(B)=0.2,P(B2)=0.7,P(B)=0.1, …（2分) P(AB)=0.02,P(AB2)=0.01,P(AB)=0.03, …(4分) 由全概率公式得： P(A)=P(B)P(A|B)+P(B2 )P(A|B2)+P(B;)P(A B3) =0.2×0.02+0.7×0.01+0.1×0.03=0.014. …(8分) (Ⅱ)该元件出自丙工厂的概率为 P(B,1AD=P4B,)P(B)_003x0.13 …(12分) P(A) 0.01414 20.(本小题满分12分) 解：(I)拟合效果更好的是模型①. 理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型② 带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就会越高： 故模型①拟合效果更好.… …(6分) (IⅡ)由（I)知，选用模型①y=ab,用两边取对数，得lny=(lnb)x+na, 令z=ny,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=nb)x+na, …(8分) b=盆G-可3 48.72 =0.29, 2 168 na=z-xnb=2.89-0.29×25=-4.36 …(9分) 于是有hy=0.29x-4.36,…(10分) 所以产卵数y关于温度x的经验回归方程为y=e29x-436 …(11分) 当x=35时，y=e29g5-436=e5.79≈327（个）， 所以，气温在35C时，估计一只红铃虫的产卵数为327个. …（12分) 数学H参考答案·第5页（共7页） 21.(本小题满分12分) 解：(I)零假设为H。：α疗法与b疗效独立，即两种疗法效果没有差异， 根据列联表中数据，经过计算得到x-136×5×63-52×可 67×69×21×115 ≈4.882<7.879=00s, 根据小概率值α=0.005的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此可以认为H。成立，即认为两种疗法效果没有差异 …(4分) （)设4组中用甲方案浴行煤复的人数为X,则么一3引】 2 所以E(X)=3×二=2， 3 设A组的积分为X2,则X2=2X, 所以E(X2)=2E(X)=4. 设B组中用乙方案治疗康复的人数为y, 则Y的可能取值为：0,1,2,3， g=0高品 赐--品品品动。 1937 ×C2× 1010-2000 Pg=2)=Cg×9x9x1+1x9x9423 -X- 2010102010102000 Pg=3)=19×9x91539 2010102000 故y的分布列为： 0 1 3 1 37 423 1539 2000 2000 2000 2000 1 37 423 所以E()=0× +1× +2 +3 153911 2000 2000 2000 20004 股B组的积分为X,则X=2Y,所以EC)=B(2)=2C)55 因为5.5>4，所以乙种联合治疗方案更好.…(12分) 数学H参考答案·第6页（共7页） 22.（本小题满分12分) (I)解：f)=-a-少=1-a-,x>0, …(1分) 当a-1≤0，即a≤1时，f(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增，没有极值， …(2分) 1 当a-1>0,即a>1时，令f"(x)>0,可得0<x< a-’ 此时函数单调递增， 1 令f'(x)<0,可得x> a一此时函数单调递减， …(3分) 所以函数在x= 1处取得极大值，没有极小值，符合题意， a-1 故a的取值范围为1，+o). …(4分) (Ⅱ)证明：当a=2时，8(x)=hx-x+1-sin(m+x)=lnx-x+sinx+1, g0)=1+cosx-1, …(5分) 因为xe(0.),g)=-马 -sinx<0, 所以g(x)在(0，D)上单调递减， …(6分) 因为周是0， g\2】 2-1<0 所以g'(x)在 ππ 存在唯一零点a, …(7分) 32 当0<x<a时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当a<x<π时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 故g)在(0，而上存在唯一极值点a,3 <a< …(9分) 2 由g@>82 =n-+2>0, 22 -1<0, g()=π-（π-1）<0(nx≤x-1,当x=1时取等号)， 故8(x)在(0，和(a,)上各有一个零点， …(11分) 所以x∈(0，D)时，函数g(x)=f(x)-sin(π+x)有且仅有两个零点， …（12分) 数学H参考答案·第7页（共7页）