广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2027届高三上学期模拟（一）数学试题

柳地高2027届高三上学期模拟试题（一） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1．若复数满足，则（ ） A． B． C．0或 D．0或 2．已知为等比数列，，，则（ ） A．8 B．12 C．16 D．17 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设一个随机事件的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．已知实数，，若，，则（ ） A．1 B． C． D． 6．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 7．已知点，，点是抛物线上的动点（异于，两点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 8．已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A． B．在区间上单调递减 C．直线是曲线的一条对称轴 D．的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10．已知正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A．此正四面体的表面积为 B．此正四面体外接球的表面积为 C．此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D．从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 11．设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为 C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中的系数为____________． 13．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为____________． 14．如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作．已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）若外接圆半径为1，当的面积取最大值时，求． 16．（15分）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，，． （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 17．（15分）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若，，，在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点，（在的左侧）．设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值． 19．（17分）已知函数，直线与曲线相切． （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，，有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳地高2027届高三上学期模拟试题（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B D C C ABD BC ACD 12．-20 13．9 14． 15．（13分）【详解】（1）切化弦得， 1分 即，即，， 2分 ，，，， 4分 ； 5分 （2）由（1），，得， 6分 又，，，，故，诱导公式， 7分 得，，， 8分 ，外接圆半径为1，正弦定理，，， 9分 ， 11分 当，的面积取最大值， 13分 16．（15分）【详解】（1）已知，，，，，则， 1分 ，，，，则， 2分 写法一：直接算 4分 6分 写法二：，， 所以， 4分 已知，故， 6分 已知，代入相关系数公式， 可得， 8分 因为，所以与具有较强的线性相关关系． 9分 （2）由（1）可知，，所以， 11分 由，已知，，， 13分 则， 14分 当，得（千辆）． 15分 17．（15分）【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面，，∵平面平面，平面． 2分 ． 3分 ，，平面． 4分 （2）取中点，中点，连接，，则，，由（1）得平面，，，，．如图建系， 6分 则，，，，． 7分 设该球的球心坐标为，则， 则， 8分 解得，，． 9分 球的半径． 10分 （3）平面的法向量取， 11分 ，设平面的法向量为，则即取，得． 13分 ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 15分 18．（17分）【详解】（1）由，，所以点的轨迹为椭圆，、为焦点，4为长轴长的椭圆上， 1分 设椭圆方程为，焦距为，则，， 3分 所以，所以的方程为． 4分 （2）①由，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，，联立，消得， 5分 则，， 6分 且，且， 7分 ，，， 8分 所以． 10分 ②由①可知，，所以，作关于轴的对称点，则，，三点共线，又，，设，则直线方程即为直线方程， 11分 又直线方程为， 12分 作差可得， 13分 所以， 14分 所以，，又，得出，又因为，所以，即，即， 16分 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动，所以． 17分 19．（17分）【详解】（1）设切点，， 1分 ① 2分 ②， 3分 ①②联立解得，． 4分 （2）由（1）得，对任意，存在，使得不等式成立，等价于对任意，， 5分 则恒成立， 6分 令，即可，， 7分 令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 8分 ，，，，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增， 9分 所以，即最大值． 10分 （3）由已知得，则， 11分 令，则，， 在上单调递增， 12分 在上单调递增且恒为正，在上单调递增且恒为正，在单调递增， 13分 令，且，，则， 14分 ，，在单调递增， 15分 ∴对任意，有， 因为时， ， 17分 所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $