21.1.2多边形及其内角和课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 21.1.2多边形及其内角和 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 了解多边形的概念及相关要素． 2. 探索并掌握多边形的内角和与外角和公式， 提升推理能力． 多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？ 与三角形、四边形类似，如图，在平面内由n (n≥3) 条线段,.., 尾顺次相接，组成的 图形叫作多边形(polygon). 请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义，指出图上中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线. 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与 四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示， 例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. A E D C B F 边 顶点 对角线 内角 外角 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形(regularpolygon). 下图是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 观察图，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____× 180°； 从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____× 180°； 2 3 3 3 4 4 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于(n-2)x180°. 这样就得出了多边形的内角和公式: n边形的内角和等于(n-2)x180°. 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗? 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA₁, PA₂, ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°. 探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和，多边形的外角和等于多少度? 请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它 相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角 和的总和等于nx180°，外角和等于 nx180° - (n-2) x180°=360°. 于是得到:多边形的外角和等于360° 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360° 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边 依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于 走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边 形的外角和等于360. 教材P52 例题 例2 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以 (n-2)×180°=2×360°. 解得 n=6. 因此这个多边形是六边形. 1.如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA 的度数. 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝∠D＝＝108°. ∵AC∥DE，∴∠ACD＋∠D＝180°. ∴∠ACD＝180°－108°＝72°. ∴∠BCA＝ ∠BCD－ ∠ACD＝108°－72°＝36°. 变式训练 教材P52 练习 课内练习 1.求出下列图形中x的值： x° x° x° x° x° 2x° 150° 120° (1) (2) (3) 135° 150° x° AB//CD B A C D E 解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60. (2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135. (3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°. 由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75. 2.(1)一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180° = 1 080°，得 n= 8，所以这个多边形是八边形. (2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ （2）方法一：∵该多边形的每一个内角都等于 120°， ∴该多边形的每一个外角都等于 60°。360° ÷ 60° = 6，∴这个多边形是六边形. 方法二：设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180° = 120°×n，解得 n= 6，所以这个多边形是六边形. (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ （3）∵该多边形的每一个外角都等于 72°，360° ÷ 72° = 5， ∴这个多边形是五边形. 基础巩固题 知识点1 多边形和正多边形的概念 1.【2025江苏南通期中】下列图形中不是多边形的是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据多边形的定义可知选项C中的图形不是多边形，故选C. 知识点2 多边形的对角线 2.【2024湖北恩施州期中】从多边形的一个顶点引出所有的对角线将多边形分为 15个三角形，则这个多边形的边数为( ) D A.14 B.15 C.16 D.17 【解析】设这个多边形的边数是.由题意得，解得 .故选D. 16 3.【2025广东清远期末】过七边形的一个顶点可以画出条对角线，将它分成 个 三角形，则 的值是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】 过七边形的一个顶点可以画出条对角线，将它分成 个三角形， ，，， 的值是9．故选C. 17 知识点3 多边形的内角和与外角和 4.【2025江苏常州校级质检】如图是正边形纸片的一部分，其中， 是 正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为 ，则 的值是( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 【解析】如图，设,所在直线相交于点， 所在的直线相交形 成的锐角为 ， 正多边形的每个内角相等， 正多边 形的每个外角相等， , .故选C. 18 能力提升题 5.把一个多边形割去一个角后，得到的多边形的内角和为1 440°，则这个多边形原来的边数为______________． 9或10或11 60 6.[2025咸阳秦都区模拟]某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是________米． 7.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，求∠P的度数． 360° 8.(1)如图①，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为________； (2)如图②，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数； 解：如图①，连接AF，易知∠G＋∠H＝∠GFA＋∠HAF， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H 的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ ∠EFG＋∠G＋∠H＝(6－2)×180°＝720°. 如图②，连接AE，易知∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于 五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝(5－2)×180°＝540°. (3)如图③，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数． 多边形及其内角和 相关 概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 内角和 公式 n边形的内角和等于(n-2)×180° 外角和 公式 多边形的外角和等于360° 课堂小结 教科书第52页练习 第1，2题 布置作业 解：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠BCD＋∠CDE＝240°. ∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD， ∴∠PCD＋∠CDP＝(∠BCD＋∠EDC)＝120°， ∴∠P＝180°－(∠PCD＋∠CDP)＝180°－120°＝60°. $