精品解析：江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

泰州高二数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入求函数值即可. 【详解】由题设，对函数求导得，则. 故选：D 3. 若数列满足，（），则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由递推式判断数列的周期性，进而确定. 【详解】由，，，，， 所以是周期为3的数列，则. 故选：B 4. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行公式计算求参. 【详解】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 5. 若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及椭圆的定义得到椭圆参数的齐次方程，即可得. 【详解】由题设，若为正六边形，为焦点，连接， 所以，则，， 由，可得. 故选：D 6. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用特例判断A、B、D，再由等比数列的定义及性质判断C. 【详解】若的公比为，此时、均是常数数列且为0，但不是等比数列，B、D错， 若的公比为，此时是常数数列且为0，不是等比数列，A错， 若的公比为，，且， 则是首项为，公比为的等比数列，C对. 故选：C 7. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断在圆内，设的中点为，连接，则，设，即可表示，设圆心到直线的距离为，在、中分别利用勾股定理得到、的方程，解得，即可得解. 【详解】因为，所以在圆内， 设的中点为，连接，则， 设，因为，则， 所以，则， 设圆心到直线的距离为， 所以在中，即， 在中，即， 解得，则，. 故选：D 8. 已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的性质，由已知可得，再构造函数，由其最大值为求出值. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 由存在，使，得，则，， 因此， 令函数，求导得， 当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而的最大值为，于是，解得， 此时，符合题意， 所以的值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（ ） A. 原点到直线的距离为 B. 任意，点在直线上 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D. 原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在区间上的最大值为2 B. 当时，2是的极大值点 C. 若在区间上单调递减，则 D. 若的图象关于点中心对称，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB：求导，利用导数分析函数的单调性，即可得最值和极值；对于C：分析可知在区间上恒成立，结合二次函数性质分析求解；对于D：根据对称中心的定义运算求解即可. 【详解】对于选项AB：当时，则，， 且，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知2是极小值点，故B错误； 且，，所以在区间上的最大值为2，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 因为为开口向上二次函数，且， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 若的图象关于点中心对称，则， 即， 整理可得， 因为不恒成立，则，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知为等比数列，，则（ ） A. 若，则数列是递增数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得判断A，由题设得，即判断B，根据已知有，讨论、，结合导数研究方程是否有根判断C，由题设有，分析得到且，再将问题化为存在实根确定的范围，应用导数求出右侧的最值，从而得到，分析判断得判断D. 【详解】令公比为，而， A：若，则，故，则数列是递减数列，错， B：若，则，整理得，可得，则数列是递增数列，对， C：若， 当时，，构造且， 所以，则时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，显然在上无解， 当时，，构造且， 所以，故在上单调递增， 而时，，时，， 显然在上存在一个零点，即在上有一个解， 所以，对， D：若，令是的前n项和，则， 若，则，且， 所以，故，与题设矛盾， 若，则，，可得，与题设矛盾， 若，则，，可得， 构造且，则，则在上单调递增， 所以，即上无解， 综上，且，而， 所以，则能成立， 令且，所以，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，而， 所以且，， 当时，必有，矛盾， 所以，则，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列的性质求. 【详解】. 故答案为： 13. 已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 【答案】(填也可) 【解析】 【分析】设，根据两点间的距离公式得到方程，即可求出动点的轨迹为曲线的方程，再设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】设，因为点，，且动点满足， 所以，整理得， 所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆； 直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，所以，解得， 所以直线的方程为，即或. 故答案为：（填也可） 14. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有圆心轨迹为，圆的半径，设定圆的圆心为，半径为，结合及两点距离公式得到含参数的点的轨迹方程，利用所得两个轨迹方程等比例的性质确定参数值，即可得. 【详解】由题设，令，联立椭圆得， 所以，其中，则，， 所以，则， 而， 所以以为直径的圆的圆心轨迹为， 圆的半径 ，且， 所以， 设定圆的圆心为，半径为，且圆内切于圆， 所以，即， 所以，则 整理得，结合圆心轨迹为， 则，且， 所以，可得，则， 所以，可得或（舍），故，则， 综上，定圆的圆心，且半径为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点P在抛物线上 （1）若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离； （2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出准线方程，根据抛物线得定义即可得出答案； （2）设点，根据抛物线的定义可求得，再代入抛物线方程即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线得准线方程为， 根据抛物线得定义可得： 点P到抛物线焦点的距离为； 【小问2详解】 解：设点， 根据抛物线得定义可得： 点P到抛物线焦点的距离为，所以， 则，所以， 所以点P的坐标为. 16. 设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③. （1）求数列的通项公式； （2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）所选条件见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据所选条件①②，应用的关系、等比数列的定义或累加法求数列通项，选③只需验证是否成立即可； （2）由（1）得，作差法研究数列的单调性，结合不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 选①：时，，则， 又，则是首项、公比均为2的等比数列，则； 选②：时， ，显然也满足，则； 选③：时，，与题设矛盾； 【小问2详解】 由（1），则， 所以时，时，则， 所以上，要使恒成立，只需. 17. 已知函数，，为实数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：当时，. （3）当时，讨论在区间上的单调性. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，根据已知判断导函数区间符号得到函数的单调性，即可证； （3）对函数求导得，讨论、，结合导数研究的区间单调性，进而确定其区间符号，即可得的单调性. 【小问1详解】 由题设，则，， 所以在点处的切线方程为， 所以； 【小问2详解】 当时，且，其中，， 所以，，所以恒成立， 当时，由且，且， 所以，在上恒成立，则在上单调递增， 所以， 综上，时，得证； 【小问3详解】 由，则，故， 当时，恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 当时，令，则， 令，则，即在上单调递增， ， 所以使， 所以在上，在上， 即在上单调递减，在上单调递增， 而端点值符号为， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 综上，在上单调递减，在上单调递增. 18. 在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合. （1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数； （2）记直线与直线的斜率分别是，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）存在，的最小值、最大值分别为. 【解析】 【分析】（1）由与其中一条渐近线平行或重合，讨论、研究交点个数； （2）（i）设直线，联立双曲线并应用韦达定理及斜率的两点式有，化简整理即可证；（ii）设，，进而有，，联立双曲线得到的坐标，设圆的方程为，结合在圆上求参数，进而确定圆心的坐标，最后得到，构造方程并利用判断存在性，即可得结论. 【小问1详解】 由的渐近线为，则与平行或重合， 当时，直线与双曲线的公共点有0个， 当时，直线与双曲线的公共点有1个； 【小问2详解】 （i）由题设，且可设直线，联立， 所以，则，， 若，则，，且， 所以为定值，得证； （ii）设，结合（i）有，且， 所以，， 联立，则，整理得， 所以，则（舍），故， 所以，同理，可得， 设圆的方程为，所以， 又，即，所以， 所以，则， 所以，得，同理， 而，则， 令，则，则，即， 令，则，故，可得， 所以，即的最小值、最大值分别为. 19. 已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切. （1）求圆的标准方程； （2）求（用含有的式子表示）； （3）当，时，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知及对称关系确定圆的圆心和半径，即可得圆的方程； （2）根据直线与圆、圆与圆的相切关系及相关距离公式得、，结合、得，根据、等差数列的定义写出通项公式； （3）根据（2）得，应用数学归纳法证明不等式. 【小问1详解】 由题设，则圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，则，圆心， 所以； 【小问2详解】 由题意可设，若，由圆与圆外切，则， 所以，则，且， 由圆与圆外切，则， 所以，则， 当，则，即，且， 所以，则， 当，则，代入，则， 由题意知，则，， 所以是首项为，公差为1的等差数列，则， 所以，即，，且， 所以； 【小问3详解】 由题设，则，而， 所以， ， 所以， 由时，，满足， 若，也成立， 则，有， 由 ， 由， 所以，则， 所以，即也成立， 综上，，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州高二数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 6 3. 若数列满足，（），则（ ） A B. C. D. 3 4. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 5. 若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（ ） A. 原点到直线的距离为 B. 任意，点在直线上 C. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 D. 原点与点关于直线对称 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在区间上的最大值为2 B. 当时，2是极大值点 C. 若在区间上单调递减，则 D. 若的图象关于点中心对称，则 11. 已知为等比数列，，则（ ） A. 若，则数列递增数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为.若，则______. 13. 已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 14. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点P在抛物线上 （1）若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离； （2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标． 16. 设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③. （1）求数列的通项公式； （2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17. 已知函数，，为实数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：当时，. （3）当时，讨论在区间上的单调性. 18. 在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合. （1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数； （2）记直线与直线的斜率分别是，. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切. （1）求圆的标准方程； （2）求（用含有式子表示）； （3）当，时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $