专题08 比例的意义和基本性质(知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年六年级下册数学人教版

专题08：比例的意义和基本性质 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们的生活中，处处都有“比”的影子：地图上的比例尺、照片的放大与缩小、调配饮料的浓度、速度与时间的关系……这些现象背后，都藏着一个重要的数学概念——比例。从今天起，我们将一起学习“比例的意义和基本性质”，这是小学阶段“数与代数”领域的重要内容，也是今后学习正比例、反比例、函数等知识的基础。本讲义将帮助你从具体情境中理解比例的本质，掌握比例的基本性质，并学会判断两个比能否组成比例。希望你在预习中多观察、多比较、多思考，体会“两个比相等”背后的数学美。让我们一起用数学的眼光发现规律，用数学的语言描述世界，做善于思考、勇于探索的小小数学家！ 知识精讲 1. 比例的意义 （1）比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 例如： ，写成分数形式是 ，这是一个比例。 （2）比例的组成： 一个比例由四个数组成，分为两个内项和两个外项； 例如：在比例 中，2 和 6 是外项，3 和 4 是内项； 写成 时，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。 （3）比例的成立条件： 判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等； 若 ，则 成立。 2. 比和比例的区别 （1）比：表示两个数相除的关系，只有两项（前项和后项），如 ； （2）比例：表示两个比相等的关系，有四项（两个内项、两个外项），如 。 3. 比例的基本性质 （1）性质内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 用字母表示：若 ，则 ； 用分数表示：若 ，则 。 （2） “交叉相乘法” ：也叫“十字交叉法”，是判断比例是否成立或解比例的重要工具。 4. 判断两个比能否组成比例的方法 （1）方法一：求比值 分别计算两个比的比值，若相等，则能组成比例。 例如：判断 和 是否成比例： ， ，比值相等，能组成比例。 （2）方法二：用比例的基本性质 交叉相乘，看外项积是否等于内项积。 例如：判断 和 ： ， ，积相等，能组成比例。 5. 解比例 （1）定义：已知比例中的三项，求第四项的过程叫做“解比例”； （2）依据：比例的基本性质（外项积 = 内项积）； （3）步骤： 写出比例式； 交叉相乘，列出方程； 解方程，求出未知数； 检验并作答。 6. 预习注意事项 （1）单位统一：比较两个比时，前项和后项的单位必须一致； （2）比值化简：比值通常用最简分数表示； （3）避免误区： 不要把“比”和“比例”混淆； 不要忘记交叉相乘时的乘法顺序； 解比例后要检验。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面两个比能否组成比例： 和 。 解析： 方法一：求比值 ， ，比值相等； 方法二：用比例的基本性质 ， ，外项积 = 内项积； 所以，能组成比例。 答：能组成比例，因为比值相等（或外项积等于内项积）。 【跟踪练习1】 判断下面两个比能否组成比例： 和 。 【典型例题2】 解比例： 。 解析： 根据比例的基本性质，交叉相乘： ； ； 。 答： 。 【跟踪练习2】 解比例： 。 【典型例题3】 学校国旗杆的影长是 6 米，同时测得一根 1.5 米高的标杆影长是 2 米。国旗杆的实际高度是多少米？（用比例解） 解析： 设国旗杆高度为 米； 同一时间，物体高度与影长成正比例； 列比例式： ； 交叉相乘： ； ； 。 答：国旗杆的实际高度是 4.5 米。 【跟踪练习3】 一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样计算，行驶 180 千米需要多少小时？（用比例解） 培优练习 一、选择题 1．两个长方形的周长相等，甲的长与宽之比是2∶1，乙的长与宽之比是3∶1，则甲与乙面积之比是（    ）。 A．32∶27 B．21∶25 C．27∶32 D．25∶21 2．在比例里，两个外项的乘积是1，两个内项的比是（    ）。 A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．不能确定 3．能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 4．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 5．下列各组比中，一定能组成比例的是（    ）。 A．3∶4和8∶6 B．0.4∶2.5和4∶0.25 C．和 D．和 二、填空题 6．在比例6∶5＝12∶10里，( )和( )是外项；在比例里，( )和( )是内项。 7．如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝( )。 8．甲数的正好与乙数的相等（甲乙两数均不为0），甲乙两数的比是( )。 9．写一个比例，使它的两个外项都是，比值是3，这个比例是( )。 10．若，则( )∶( )； 若，则( )∶( )。 三、判断题 11．在比例2∶3＝4∶6中，2和6是比例的外项，3和4是比例的内项。( ) 12．、2、、8这4个数能组成比例。( ) 13．已知a∶3＝b∶4，则3b＝4a。( ) 14．甲数的等于乙数的，则甲数与乙数的比是4∶3。( ) 15．今年小明和爸爸的年龄比是4∶13，明年他们的年龄比是5∶14。( ) 四、计算题 16．解比例。 0.6∶4＝2.4∶x         五、解答题 17．三星堆出土的一号青铜神树高396厘米，由树座和树干两部分组成。爷爷计划制作一个神树的模型，它的高度和实际高度的比为1∶9，这个模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 18．某体育馆要进行一次清洁消毒，要用2000毫升消毒液配成消毒水。如果消毒液与水的比是1∶200，应加入多少升水？（用比例知识解决） 19．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08：比例的意义和基本性质 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们的生活中，处处都有“比”的影子：地图上的比例尺、照片的放大与缩小、调配饮料的浓度、速度与时间的关系……这些现象背后，都藏着一个重要的数学概念——比例。从今天起，我们将一起学习“比例的意义和基本性质”，这是小学阶段“数与代数”领域的重要内容，也是今后学习正比例、反比例、函数等知识的基础。本讲义将帮助你从具体情境中理解比例的本质，掌握比例的基本性质，并学会判断两个比能否组成比例。希望你在预习中多观察、多比较、多思考，体会“两个比相等”背后的数学美。让我们一起用数学的眼光发现规律，用数学的语言描述世界，做善于思考、勇于探索的小小数学家！ 知识精讲 1. 比例的意义 （1）比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 例如： ，写成分数形式是 ，这是一个比例。 （2）比例的组成： 一个比例由四个数组成，分为两个内项和两个外项； 例如：在比例 中，2 和 6 是外项，3 和 4 是内项； 写成 时，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项。 （3）比例的成立条件： 判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等； 若 ，则 成立。 2. 比和比例的区别 （1）比：表示两个数相除的关系，只有两项（前项和后项），如 ； （2）比例：表示两个比相等的关系，有四项（两个内项、两个外项），如 。 3. 比例的基本性质 （1）性质内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 用字母表示：若 ，则 ； 用分数表示：若 ，则 。 （2） “交叉相乘法” ：也叫“十字交叉法”，是判断比例是否成立或解比例的重要工具。 4. 判断两个比能否组成比例的方法 （1）方法一：求比值 分别计算两个比的比值，若相等，则能组成比例。 例如：判断 和 是否成比例： ， ，比值相等，能组成比例。 （2）方法二：用比例的基本性质 交叉相乘，看外项积是否等于内项积。 例如：判断 和 ： ， ，积相等，能组成比例。 5. 解比例 （1）定义：已知比例中的三项，求第四项的过程叫做“解比例”； （2）依据：比例的基本性质（外项积 = 内项积）； （3）步骤： 写出比例式； 交叉相乘，列出方程； 解方程，求出未知数； 检验并作答。 6. 预习注意事项 （1）单位统一：比较两个比时，前项和后项的单位必须一致； （2）比值化简：比值通常用最简分数表示； （3）避免误区： 不要把“比”和“比例”混淆； 不要忘记交叉相乘时的乘法顺序； 解比例后要检验。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面两个比能否组成比例： 和 。 解析： 方法一：求比值 ， ，比值相等； 方法二：用比例的基本性质 ， ，外项积 = 内项积； 所以，能组成比例。 答：能组成比例，因为比值相等（或外项积等于内项积）。 【跟踪练习1】 判断下面两个比能否组成比例： 和 。 答案及解析： 答：能组成比例。 解析： ， ，比值相等； 或 ， ，外项积 = 内项积； 所以能组成比例。 【典型例题2】 解比例： 。 解析： 根据比例的基本性质，交叉相乘： ； ； 。 答： 。 【跟踪练习2】 解比例： 。 答案及解析： 答： 。 解析： 交叉相乘： ； ； 。 【典型例题3】 学校国旗杆的影长是 6 米，同时测得一根 1.5 米高的标杆影长是 2 米。国旗杆的实际高度是多少米？（用比例解） 解析： 设国旗杆高度为 米； 同一时间，物体高度与影长成正比例； 列比例式： ； 交叉相乘： ； ； 。 答：国旗杆的实际高度是 4.5 米。 【跟踪练习3】 一辆汽车 2 小时行驶 120 千米，照这样计算，行驶 180 千米需要多少小时？（用比例解） 答案及解析： 答：需要 3 小时。 解析： 设需要 小时； 速度不变，路程与时间成正比例； 列比例： ； 交叉相乘： ； 。 培优练习 一、选择题 1．两个长方形的周长相等，甲的长与宽之比是2∶1，乙的长与宽之比是3∶1，则甲与乙面积之比是（    ）。 A．32∶27 B．21∶25 C．27∶32 D．25∶21 【答案】A 【分析】长方形的周长和面积公式：周长C＝2×（长＋宽），面积S＝长×宽；比例则要根据长与宽的比例关系，结合周长求出长和宽的具体值。 【详解】设两个长方形的周长都为24，根据周长公式，长与宽的和为：24÷2＝12，甲的长与宽之比是2∶1，总份数为2＋1＝3（份）；则甲的长为：12×＝8，甲的宽为：12×＝4，那么甲的面积为：8×4＝32。 我们再用同样的思路求解乙的长和宽：乙的长与宽之比是3：1，总份数为3＋1＝4（份），则乙的长为12×＝9，乙的宽为：12×＝3，所以乙的面积为：9×3＝27。 所以，甲与乙的面积之比为32∶27. 故答案为：A。 【点睛】当题目中涉及比例且有相等的量（如本题的周长相等）时，设这个相等的量为一个能被各比例份数和整除的数（如本题设周长为24），可以简化计算，避免分数运算；另外要根据长与宽的比例关系，结合长与宽的和，利用“部分量＝总量×部分占比”的方法求出长和宽。 2．在比例里，两个外项的乘积是1，两个内项的比是（    ）。 A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质可知，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 两个外项的乘积是1，那么两个内项的乘积也是1，仅知道两个内项的乘积是1，无法确定两个内项具体的数值，所以两个内项的比无法确定。 【详解】两个外项的乘积是1，那么两个内项的乘积也是1； 只要满足乘积是1的都可以是内项，例如： 1和1，比是1∶1； 2和，比是2∶＝4∶1； 3和，比是3∶＝9∶1； 比值都不相等，所以两个内项的比不能确定。 故答案为：D 3．能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。据此首先求出的比值是多少，再逐个求出每个选项的比值各是多少，然后根据比值相等的两个比能组成比例，判断出能与组成比例的是哪个即可。 【详解】＝，所以的比值是； A．＝，与比值不相等，不能组成比例； B． ＝ ＝，与比值不相等，不能组成比例； C． ＝ ＝，与比值相等，能组成比例； D． ＝ ＝，与比值不相等，不能组成比例。 故答案为：C 4．配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，配制400克这样的糖水，需要再加入（    ）克水才能使糖与水的比变为1∶24。 A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】B 【分析】由题意知：配制一种糖水，糖与水的质量比是1∶19，要配制400克这样的糖水，则糖有（克），水有400－20＝380（克）。设加入了克的水，使“糖与水的比变为1∶24”，则现在的水有克，现在的糖还是20克，再列比例求解即可。 【详解】400克的糖水，糖与水的质量比是1∶19，此时糖有：（克）；水有：400－20＝380（克） 解：设需要再加入克水，则现在的水有克。 20：＝1∶24 所以需要再加入100克水才能使糖与水的比变为1∶24。 故答案为：B 5．下列各组比中，一定能组成比例的是（    ）。 A．3∶4和8∶6 B．0.4∶2.5和4∶0.25 C．和 D．和 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。 【详解】A．3∶4＝3÷4＝，8∶6＝8÷6＝，因为≠，所以3∶4和8∶6不能组成比例； B．0.4∶2.5＝0.4÷2.5＝（0.4×10）÷（2.5×10）＝4÷25＝，4∶0.25＝4÷0.25＝（4×100）÷（0.25×100）＝400÷25＝16，因为≠16，所以0.4∶2.5和4∶0.25不能组成比例； C．＝＝＝，＝＝＝，因为＝，所以和一定能组成比例； D．＝＝，＝＝，因为不一定等于，所以和不一定能组成比例。 一定能组成比例的是和。 故答案为：C 二、填空题 6．在比例6∶5＝12∶10里，( )和( )是外项；在比例里，( )和( )是内项。 【答案】 6 10 9 2 【分析】根据题意，结合比例的各部分名称：在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，即可解答。 【详解】在比例6∶5＝12∶10里，6和10是外项；在比例里，9和2是内项。 7．如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝( )。 【答案】//0.25ab 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个内项之积等于两个外项之积。将比例转化成等式来解答。 【详解】4∶a＝b∶m， 解：4m＝ab m＝ab÷4 m＝ 因此，如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝（或或0.25ab）。 8．甲数的正好与乙数的相等（甲乙两数均不为0），甲乙两数的比是( )。 【答案】15∶16 【分析】根据题意可列等式：甲数×＝乙数× 根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，把甲数和作为外项，乙数和作为内项，可得：甲数∶乙数＝∶最后将甲乙两数的比化为整数比，即可。 【详解】由题意可知：甲数×＝乙数×，所以，甲数∶乙数＝∶ 将比的前后项同时乘20（4和5的最小公倍数）化为整数比： ×20∶×20＝15∶16 即甲乙两数的比是15∶16。 9．写一个比例，使它的两个外项都是，比值是3，这个比例是( )。 【答案】 【分析】比例的外项定义、比值的计算方法（前项÷后项）、比例的基本性质（外项积＝内项积）。分两步计算内项：先通过“外项1和比值”求第一个内项，再通过“外项积和第一个内项”求第二个内项。 【详解】已知两个外项均是，比值是3，构造比例​​ 求第一个内项a： 第一个比的比值为3，即，变形得： 求第二个内项b： 根据比例的基本性质，外项积＝内项积，即，代入，得：， 变形得： 最终比例： 10．若，则( )∶( )； 若，则( )∶( )。 【答案】 3 4.5 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积； 由3a＝4b，要使4和b为外项，a和3为内项，则可写成比例， 同样根据比例的基本性质，由， 要使x和为内项和外项，可变形为。 【详解】 三、判断题 11．在比例2∶3＝4∶6中，2和6是比例的外项，3和4是比例的内项。( ) 【答案】√ 【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。据此判断。 【详解】在比例2∶3＝4∶6中，2和6是比例的外项，3和4是比例的内项。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．、2、、8这4个数能组成比例。( ) 【答案】 × 【分析】判断四个数能否组成比例，需验证是否存在两对数的乘积相等。根据比例的基本性质，若四个数a、b、c、d能组成比例，则必有a×d＝b×c（或a×c＝b×d等）。计算四个数的所有两两乘积，即可判断。 【详解】根据比例的意义，若四个数能组成比例，则其中两数的乘积等于另外两数的乘积。 计算四个数的两两乘积： ×2＝2 ×＝ ×8＝2 2×＝ 2×8＝16 ×8＝1 所有乘积均不相等，因此这四个数无法组成比例。原题说法错误。 故答案为：× 13．已知a∶3＝b∶4，则3b＝4a。( ) 【答案】√ 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把a∶3＝b∶4改写成两数相乘的形式，据此判断。 【详解】已知a∶3＝b∶4，两个内项分别是3和b，两个外项分别是a和4，根据比例的基本性质可得出：3b＝4a。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．甲数的等于乙数的，则甲数与乙数的比是4∶3。( ) 【答案】× 【分析】由甲数的等于乙数的可得出：甲数×＝乙数×，根据比例的基本性质将等式改写成比例，即一个外项是甲数，内项是乙数的比例，则和甲数相乘的数就作为比例的另一个外项，和乙数相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简比即可判断。 【详解】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶4 甲数的等于乙数的，则甲数与乙数的比是3∶4。 原题说法错误。 故答案为：× 15．今年小明和爸爸的年龄比是4∶13，明年他们的年龄比是5∶14。( ) 【答案】 × 【分析】已知今年小明和爸爸的年龄比是4∶13，设今年小明和爸爸的年龄分别为4x岁和13x岁；明年他们的年龄分别为（4x＋1）岁和（13x＋1）岁；若年龄比为5∶14，需满足方程：，解得x＝1，此时小明今年4岁，爸爸13岁。虽然数学上存在解，但爸爸年龄为13岁不符合实际，因此原题说法错误。 【详解】解：设今年小明4x岁，爸爸13x岁，则明年小明（4x＋1）岁，爸爸（13x＋1）岁。 14（4x＋1）＝5（13x＋1） 14×4x＋14×1＝5×13x＋5×1 56x＋14＝65x＋5 65x＋5＝56x＋14 65x＋5－56x－5＝56x＋14－56x－5 9x＝9 9x÷9＝9÷9 x＝1 此时今年小明4岁，爸爸13岁，明年年龄比为5∶14。但爸爸年龄13岁不符合实际，因此原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 16．解比例。 0.6∶4＝2.4∶x         【答案】x＝16；x＝0.1 【分析】（1）先根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），把比例方程改写成，然后方程两边同时除以前面的数值，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），交叉相乘得到，然后方程两边同时除以18，求出方程的解。 【详解】 解： 解： 五、解答题 17．三星堆出土的一号青铜神树高396厘米，由树座和树干两部分组成。爷爷计划制作一个神树的模型，它的高度和实际高度的比为1∶9，这个模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 【答案】44厘米 【分析】设这个模型的高度是x厘米，根据这个模型的高度和实际高度的比为1∶9，列出比例，解比例，据此解答。 【详解】解：设这个模型的高度是x厘米。 x∶396＝1∶9 9x＝396×1 9x÷9＝396÷9 x＝44 答：这个模型的高度是44厘米。 18．某体育馆要进行一次清洁消毒，要用2000毫升消毒液配成消毒水。如果消毒液与水的比是1∶200，应加入多少升水？（用比例知识解决） 【答案】400升 【分析】根据题意可知，消毒液的体积∶水的体积＝1∶200，据此列出比例方程，并求解。注意单位的换算：1升＝1000毫升。 【详解】解：设应加入毫升水。 2000∶＝1∶200 ×1＝2000×200 ＝400000 400000毫升＝400升 答：应加入400升水。 19．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【答案】58.3厘米 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”将58.3米换算成5830厘米，根据题意可得出等量关系：模型的高度∶实际的高度＝1∶100，据此列出比例方程，并求解。 【详解】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是厘米。 ∶5830＝1∶100 100＝5830×1 ＝5830÷100 ＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $