河北省衡水市冀州中学2024届高三第一次调研数学试卷

衡水市冀州中学2024届高三第一次调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，，则集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 5．已知复数满足：，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 6．抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则的值是（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 7．已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列函数中，其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 10．袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．A与B相互独立 D． 11．已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为 D．直线过定点 12．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．使得 C．若方程为参数，有两个不等实数根，则的取值范围是 D．方程有且只有两个实根． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有 种． 14．记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则 ． 15．已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为 ． 16．若对任意，，恒有，则正整数的最大值为 . 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）已知在中. 所对的边分别为,若，的面积为. (1)求角的大小; (2)若,求的值. 18．（本题12分）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 19．（本题12分）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. (1)证明：四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 20．（本题12分）为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响． (1)若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值； (2)在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率． 21．（本题12分）已知椭圆方程为（），离心率为且过点. (1)求椭圆方程； (2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 22．（本题12分）设函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)若当时，恒有，求实数a的取值范围； (3)设时，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 【详解】由题意，直线斜率一定存在，设过点的直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 由抛物线的定义，可得， 则，所以. 故选：B．    7．D 【详解】   不妨设二面角为锐角，设的中点为， 因为，所以为的外接圆圆心；设的外接圆圆心为， 三棱锥的外接球球心为，如图，连接，，，， 则平面，平面，， 在中，，， 所以由正弦定理知，所以； 在中，由，得； 在中，由，，得； 在