专题3.2 图形的旋转 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

图形的旋转 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 旋转的概念及性质 考点梳理 1、旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. 2、旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. 3、 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 典例引领 考向01 判断生活中的旋转现象 【例1】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 考向02 判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 考向03 旋转的性质及辨析 【例3】下列事件为随机事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和为 考向04 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 考向05 旋转中的规律性问题 【例5】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 考点02 确定旋转中心及旋转作图 考点梳理 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 3、作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 典例引领 考向01 找旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 考向02 求旋转中心的个数 【例2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 考向03 画旋转图形 【例3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． (2)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 考向04 坐标系中的旋转 【例4】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段．点在第一象限． (1)如图1，若，时，则点的坐标为_____； (2)如图2，为轴上一点，连接，若，求点的坐标（用含、的式子表示）； (3)如图3，点的坐标为，连接，若，求的长． 考向05 求绕原点旋转90°的点的坐标 【例5】如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考向06 求绕原点（非原点）旋转90°的点的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点按逆时针方向旋转得到，直接写出点的坐标． 考向07 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点，点，将绕点B顺时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)填空：如图①，当时，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)连接，设线段的中点为M，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）． 考向08 坐标与旋转规律问题 【例8】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 考向9 线段问题（旋转综合题） 【例9】在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 考向10 面积问题（旋转综合题） 【例10】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 考向11 角度问题（旋转综合题） 【例11】如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． (1)如图①，__________； (2)如图②，若射线平分，求的度数； (3)如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 考向12 其他问题（旋转综合题） 【例12】如图，在的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，作出关于点中心对称的； (2)如图2，旋转得到． ①标出旋转中心点； ②在直线上找一点M，使得的周长最小． 考点03 中心对称 考点梳理 1、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 2、中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. 3、中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 4、中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. 5、确定对称中心的方法： （1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； （2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 6、中心对称作图 （1）连接原图形的关键点与对称中心； （2）延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； （3）将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 7、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 8、中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 典例引领 考向01 成中心对称 【例1】如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是 ． 考向02 画已知图形关于某点对称的图形 【例2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点的坐标． 考向03 画两个图形的对称中心 【例3】请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 考向04 根据中心对称的性质求面积、角度、长度 【例4】如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 考向05 中心对称图形的识别 【例5】下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 考向06 判断中心对称图形的对称中心 【例6】兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 考向07 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例7】如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 考向08 中心对称图形规律问题 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 考向09 求关于原点对称的点的坐标 【例9】若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 考向10 已知两点关于原点对称求参数 【例10】若点与点关于原点对称，则的值是 ． 考向11 判断两个点是否关于原点对称 【例11】如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 考向12 说出一个图形到另一个图形的运动过程 【例12】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 考向13 按图形的变换要求画出另一个图形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．将点先关于x轴对称得到点，再将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 9．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 10．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 11．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 12．有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （填序号）． 13．如图，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转的对应点为，则直线对应的函数表达式是 ． 14．如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为 ． 15．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为 ． 3、 解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于原点成中心对称的． (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的． 17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． (1)已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形； (3)在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 18．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标； (2)请画出关于点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标． 19．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 20．已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形的旋转 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 旋转的概念及性质 考点梳理 1、旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. 2、旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. 3、 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 典例引领 考向01 判断生活中的旋转现象 【例1】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 考向02 判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 考向03 旋转的性质及辨析 【例3】下列事件为随机事件的是（   ） A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 B．直径是圆中最长的弦 C．掷一枚硬币，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和为 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，旋转的性质，圆的相关内容，三角形的内角和，解题的关键是掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件．根据必然事件的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A．“一个图形旋转后所得的图形与原图形全等”是必然事件，不符合题意； B．“直径是圆中最长的弦”是必然事件，不符合题意； C．“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，符合题意； D．“任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 考向04 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例4】如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 考向05 旋转中的规律性问题 【例5】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 考点02 确定旋转中心及旋转作图 考点梳理 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 3、作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 典例引领 考向01 找旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故选：D． 考向02 求旋转中心的个数 【例2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 考向03 画旋转图形 【例3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． (2)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为； (2)见解析，点的坐标为． 【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 考向04 坐标系中的旋转 【例4】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段．点在第一象限． (1)如图1，若，时，则点的坐标为_____； (2)如图2，为轴上一点，连接，若，求点的坐标（用含、的式子表示）； (3)如图3，点的坐标为，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，完全平方公式的应用，平面直角坐标系内点的坐标，旋转的性质， 对于（1），作，可得，再根据“角角边”证明，可得，然后求出，则可得答案； 对于（2），作，由，由（1）得，可得，进而求出，则此题可解； 对于（3），作，分别得出．，再根据面积相等，即可求出，则此题可解． 【详解】（1）解：过点C作，于点D， ∵点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 故答案为：； （2）解：如图所示，过点C作，交y轴于点E， ∵点， ∴． 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点； （3）解：如图所示，过点C作，于点E， ∵点， ∴． 由（2）得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 考向05 求绕原点旋转90°的点的坐标 【例5】如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换——旋转，画出旋转后图形，根据旋转的性质可得，，由此可解． 【详解】解：点A的坐标是，B的坐标是， 轴，，， 将绕点O顺时针旋转得到，如图： 轴，，， 点的坐标是， 故选：B． 考向06 求绕原点（非原点）旋转90°的点的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点按逆时针方向旋转得到，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先作出关于原点的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出绕点按逆时针方向旋转的对应点，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，． ． 考向07 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点，点，将绕点B顺时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)填空：如图①，当时，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)连接，设线段的中点为M，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）如图②中，连接，过点作于．解直角三角形求出，即可． （3）如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，．利用全等三角形的性质证明，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于． ∵点，点， ，， ，， 是由绕旋转得到，， ，，点落在线段上， 的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：如图②中，连接，过点作于． ，， ，， ， 在中，，， ， ． （3）解：如图③中，延长到，使得，在的延长线上取一点，使得，取的中点，的中点，连接，，，，，，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 考向08 坐标与旋转规律问题 【例8】在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 考向9 线段问题（旋转综合题） 【例9】在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 考向10 面积问题（旋转综合题） 【例10】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 考向11 角度问题（旋转综合题） 【例11】如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，． (1)如图①，__________； (2)如图②，若射线平分，求的度数； (3)如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用， （1）根据平角的定义解答即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据得出答案； （3）分三种情况讨论：当在之间时，即，表示出，根据可得，求出解；当在之间时，即，仿照上述过程解答； 当射线与重合前，即，表示出，根据角的关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在， 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得，不符合题意； 当在之间时，即，， 因为， 所以， 解得； 当射线与重合前，即，， 因为， 所以， 解得． 所以t的值为或． 考向12 其他问题（旋转综合题） 【例12】如图，在的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，作出关于点中心对称的； (2)如图2，旋转得到． ①标出旋转中心点； ②在直线上找一点M，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查中心对称，旋转的性质，画中心对称图形； （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）①根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可； ②过点C作的对称点H，连接，找到与的交点即可． 【详解】（1）解：如图为所求， （2）①如图点为所求， ②过点C作的对称点H，连接，与的交点即为M，使得的周长最小，如图； 考点03 中心对称 考点梳理 1、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 2、中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. 3、中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 4、中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. 5、确定对称中心的方法： （1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； （2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 6、中心对称作图 （1）连接原图形的关键点与对称中心； （2）延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； （3）将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 7、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 8、中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 典例引领 考向01 成中心对称 【例1】如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 考向02 画已知图形关于某点对称的图形 【例2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标是 (2)图见解析，点的坐标是 【分析】本题考查了中心对称作图，旋转作图，以及写出点的坐标． （1）分别作出点、、关于点的对称点、、，连接点、、，得到，即为所求，借助网格得到点的坐标； （2）分别作出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到，即为所求，借助网格得到点的坐标是． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，分别作出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 点的坐标是． 考向03 画两个图形的对称中心 【例3】请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，经过平移，的顶点移到了点所在的位置，请作出平移后的． (2)如图②，与关于点中心对称，但点不慎被涂掉了．请你找到对称中心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，点即为所求． 考向04 根据中心对称的性质求面积、角度、长度 【例4】如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点． 【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点， 关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分， 观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点． 故选：C． 考向05 中心对称图形的识别 【例5】下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 考向06 判断中心对称图形的对称中心 【例6】兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 考向07 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例7】如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 考向08 中心对称图形规律问题 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 【答案】(1)见解析，点、、的坐标分别为，， (2)见解析，的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原点旋转和关于轴对称的坐标变化规律： （1）绕原点旋转：点的对应点为； （2）关于轴对称：点的对应点为． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 点、、的坐标分别为，，； （2）解：如图，即为所求，的坐标为． 考向09 求关于原点对称的点的坐标 【例9】若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律，直接对已知点的横、纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 考向10 已知两点关于原点对称求参数 【例10】若点与点关于原点对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用规律解决问题； 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数．据此列出方程求解和的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的横坐标是点横坐标的相反数，即， 点的纵坐标是点纵坐标的相反数，即． 由，得； 由，得， ∴． 故答案为：1． 考向11 判断两个点是否关于原点对称 【例11】如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 考向12 说出一个图形到另一个图形的运动过程 【例12】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． (1)画出关于直线对称的． (2)画出，使与关于点成中心对称． (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (4)写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】(1)见解析 (2)是轴对称图形，对称轴见解析 (3)见解析 (4)见解析，答案不唯一． 【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，即为所求， （3）与是轴对称图形，对称轴如图所示 （4）将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 考向13 按图形的变换要求画出另一个图形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：如图，即为所求，点． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，求正比例函数解析式等知识，首先根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，进而确定点坐标，再代入正比例函数的一般式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴和点， 设该正比例函数为， 将点代入，可得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 故选：D． 2．下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】判断每个命题的真假：①由等式得，与结论矛盾；②由对称点坐标求和，计算；③极差为时可能为或；④计算化简后等式成立. 【详解】∵命题①：==，∴，即，与结论矛盾，故为假命题； ∵命题②：点与关于原点对称，∴且，解得，，∴，故为假命题； ∵命题③：数据2，4，x，的极差为7，最小值可能为或，最大值可能为或. 若为最大值，则，；若为最小值，则，；其他情况极差不为7，∴或，故为真命题； ∵命题④：，与右边相等，故为真命题； ∴真命题为③④． 故选D. 3．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，由题意可得，从而得出，，由旋转的性质可得，过点作轴于点，证明，得出，，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，A与关于x轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段以B点为中心逆时针旋转得， ∴， 如图，过点作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：A． 4．将点先关于x轴对称得到点，再将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质和轴对称的性质，首先根据旋转的性质得到的坐标，然后根据轴对称的性质得到点坐标． 点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变号；点绕原点旋转时，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称得到点， ∴， ∵将点绕原点O顺时针旋转得到点， 如图，过点作轴于点C，过点作轴于点B，过点作轴于点A，， ∴， ∴， ∴， ∴．   故选：A． 5．如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 7．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 8．如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义画出图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的性质分别画出符合要求的答案即可． 【详解】解：如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共有种． 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有种． 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 2、 填空题 11．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 12．有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形是否同时具备两种对称性． 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故答案为：②④． 13．如图，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转的对应点为，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形—旋转变换，求正比例函数的解析式，由旋转的性质可得点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点绕原点逆时针旋转的对应点为， ∴点的坐标为， 设直线对应的函数表达式是， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线对应的函数表达式是， 故答案为：． 14．如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形重叠面积的规律探究，掌握全等三角形的判定与性质和图形重叠面积的规律探究是解题的关键． 先通过全等三角形证明两个正方形的重叠部分面积为正方形面积的​，再根据正方形数量确定重叠部分的个数，最后计算面积和． 【详解】解：如图所示，作于点，交的延长线于点， 易知，， ． 在和中， ， 四边形的面积＝四边形的面积， 同理可知，各个重叠部分的面积都是， 个这样的正方形重叠部分的面积和为． 故答案为：． 15．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 3、 解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于原点成中心对称的． (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． (1)已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形； (3)在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，，，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接 ，则四边形是正方形，即轴对称图形，也是中心对称图形． 【详解】（1）解：如图；即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求； 此时四边形是正方形. 18．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标； (2)请画出关于点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析；的坐标为 (2)图见解析；的坐标为 【详解】（1）解：图中即为所画，的坐标为． （2）解：图中即为所画，的坐标为． 19．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 20．已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，从而得到，判定； （2）①根据旋转的性质，得到，而，从而用含的式子表示出； ②如图，取线段中点，连接，则，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，， ， ， ∴， ∴； （2）①解：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，，． ． ． ， ， ． ②证明：如图，取线段中点，连接， ∵，是直角三角形． ∴， 是等腰三角形． ． ∵， ， ． ∵， ． 由①，得， ， ， ， 是等腰三角形． 在与中， ， ． ，， ， ． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $