精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025—2026学年度高一年级上学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据：2，0，2，5，2，0，2，6，众数为（ ） A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 2. 下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 时钟的分针在8点20分到8点30分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 6. 下列各式的化简运算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若时，关于不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 小于90°的角是锐角 B. 若，则是第三象限角 C. 若角的终边过点，则等于 D. 若，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 B. 不等式的解集为 C. 若，，，则 D. 当时，的最小值是 11. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A. 取出两个球上标号都是2的概率为 B. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C. 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______. 13. 已知函数（，）部分图象如图所示，则函数的表达式为______. 14. 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数，且为偶函数. （1）求的值，并求的解析式； （2）若不等式的解集为，求的值. 16. （1）化简求值：①；② （2）若将函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数的单调减区间. 17. 周末，是学生卸下一周学业疲惫的“调整期”，更是培养自律、实现自我提升的“黄金期”.科学规划双休日，既能让孩子在学习、运动、亲情互动中平衡成长，又能拓宽视野、提升综合素养.上高二中对高一800名学生周末在家学习时间进行调查，抽取其中50个样本进行统计，发现学习的时间（小时）全部介于0至5之间.现将学习时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计本年级800名学生中学习时间在范围内的人数. （2）求样本中学习时间的第80百分位数. （3）若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率. 18. 已知定义域为的奇函数，当时，. （1）计算的值. （2）若当时，最小值为，求实数的取值范围. （3）若关于的方程所有实数根之和为0，求实数的值. 19. 已知函数（）. （1）已知，若，求的值. （2）当时，求函数在上的值域； （3）设.若对，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一年级上学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据：2，0，2，5，2，0，2，6，众数（ ） A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】由题，这组数据2出现了4次，0出现了2次，5和6各出现了1次，所以众数为2. 故选：B. 2. 下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式依次求出相应函数的定义域，进而判断. 【详解】由函数，则且，所以，即的定义域为. 对于A，的定义域为，故A错误； 对于B，的定义域为，故B错误； 对于C，的定义域为，故C正确； 对于D，，则，即，所以的定义域为，故D错误. 故选：C. 3. 时钟的分针在8点20分到8点30分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出分针旋转的速度，乘以分钟，即可得到分针在8点20分到8点30分这段时间里转过的弧度数. 【详解】因为分针旋转的速度是/分钟， 所以在8点20分到8点30分这段时间，分针旋转了. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可. 【详解】设， 易知定义域为R,关于原点对称，因为， 所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C. 当时，， 当时，，因此排除选项D， 故选：A 5. 已知，设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先举出反例得到充分性不成立，两边平方后推出必要性成立. 【详解】不妨设，满足，此时，充分性不成立， ，两边平方得， 又，故，必要性成立， 故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 6. 下列各式的化简运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式，指数幂，对数运算化简判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C. 7. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 小于90°的角是锐角 B. 若，则是第三象限角 C. 若角的终边过点，则等于 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据锐角的定义，判断A；分析所在象限，判断B；根据任意角三角函数的定义求出，判断C；根据诱导公式化简，判断D. 【详解】锐角是大于且小于角，而零角和负角都小于，但都不是锐角，所以A不正确； 因为，所以是第三象限角，所以B正确； 由任意角三角函数的定义可知，所以C正确； 若，则，所以，所以D不正确. 故选：BC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 B. 不等式的解集为 C. 若，，，则 D. 当时，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得，运算得解；对B，求解不等式判断；对C，利用对数和指数函数的单调性判断；对D，利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由题可得，即，解得，故A正确； 对于B，不等式，解得，所以不等式的解集为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， ， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：ACD. 11. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A. 取出的两个球上标号都是2的概率为 B. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C. 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用古典概率模型，写出样本空间中的所有样本点，求各选项对应概率，逐项判断即可. 【详解】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，其标号构成的样本空间为，共9个样本点. 取出的两个球上标号都是2的概率为，所以A正确； 取出的两个球上标号为不同数字的样本点有，共6个，所以概率为，所以B错误； 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的样本点有，共5个，所以概率为，所以C错误； 所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有，共3个，所以概率为.所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】， ，，所以，得，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的表达式为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解，得解. 【详解】由图象可知，则，所以，得， 所以， 将代入，得，即， 所以，解得，又，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【解析】 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数，且为偶函数. （1）求的值，并求的解析式； （2）若不等式的解集为，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和性质求解； （2）由（1）可得的解集为，利用一元二次不等式解集性质列式求解. 【小问1详解】 因为函数为幂函数，所以，解得或3. 定义域为，关于原点对称， 当时，，则，为奇函数，不合题意； 当时，，则，为偶函数， 所以，所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以不等式，即的解集为， 所以方程的解为1和3，且， 由韦达定理得，所以，， 则. 16. （1）化简求值：①；② （2）若将函数的图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数的单调减区间. 【答案】（1）①②（2）（） 【解析】 【分析】（1）①②利用诱导公式结合特殊角三角函数值化简求解； （2）根据三角函数图象变换求得的解析式，再利用正弦函数的性质求单调减区间. 【详解】（1）①. ②化简. （2）将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得， 再将所得函数的图象向右平移个单位，可得， 正弦函数的单调减区间为：（）， 令，代入得：， 化简得的单调减区间为：（）. 17. 周末，是学生卸下一周学业疲惫的“调整期”，更是培养自律、实现自我提升的“黄金期”.科学规划双休日，既能让孩子在学习、运动、亲情互动中平衡成长，又能拓宽视野、提升综合素养.上高二中对高一800名学生周末在家学习时间进行调查，抽取其中50个样本进行统计，发现学习的时间（小时）全部介于0至5之间.现将学习时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计本年级800名学生中学习时间在范围内的人数. （2）求样本中学习时间的第80百分位数. （3）若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率. 【答案】（1），256人 （2）3125 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用频率和为1求得学习时间在第二组范围内的频率，进而求得本年级学生学习时间在范围内的人数； （2）根据百分位数的定义求解； （3）列出样本空间，利用古典概型的计算公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，学习时间在第二组范围内的频率为： . 可估计本年级学生学习时间在范围内的人数为：（人）. 【小问2详解】 由（1）可知前三组频率之和为， 设第80百分位数为，则，解得. 所以样本中学习时间的第80百分位数为. 【小问3详解】 由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4人， 将第三组的四人记为、、、，其中、为男生，、为女生， 基本事件列表如下：，，，，，， 所以基本事件有6个，恰为一男一女的事件有，，，，共4个， 所以抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率. 18. 已知定义域为的奇函数，当时，. （1）计算值. （2）若当时，的最小值为，求实数的取值范围. （3）若关于的方程所有实数根之和为0，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由为奇函数得，先算出，进而计算； （2）由函数解析式分段求函数值的范围后得解； （3）求出的根是和，然后确定值使根的和为即可. 【小问1详解】 由题，所以. 【小问2详解】 当时，， ，因此，当时，是减函数， 由得，因此，综上有. 【小问3详解】 由题，方程的根由和的根构成， 由上讨论知的解为和，其和为， 因此若关于的方程所有实数根之和为0，故方程的所有根之和应为， 由是奇函数知若，则的解是和，符合题意； 若仅有一根，又，由的单调性知只有一解，所以仅有， 即当时，关于的方程所有实数根之和也为0， 所以或. 19. 已知函数（）. （1）已知，若，求的值. （2）当时，求函数在上的值域； （3）设.若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将指数式转化为对数式，并结合换底公式和对数的运算求解； （2）换元设，，则，根据二次函数的单调性求解； （3）根据题意，问题转化为，分别求出最值得解. 【小问1详解】 由，得，则， 由，得，则， . 【小问2详解】 当时，，， 设，，则，此时函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 若对，都有成立. 而，，则， 由余弦函数的单调性可得在上的最大值为， 故对恒成立， 即，对恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号，所以， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $