6.2三角形的中位线讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第二节三角形的中位线》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解三角形中位线的定义，能准确识别三角形的中位线，区分中位线与中线的不同。 2.掌握三角形中位线定理的推导过程，熟练运用定理解决线段平行、长度计算等问题。 3.经历观察、猜想、验证、证明的探究过程，提升几何推理能力与逻辑思维素养。 4.能将三角形中位线定理应用于实际问题，体会几何知识的实际价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.三角形中位线的定义及定理的理解与掌握。 2.三角形中位线定理的灵活运用（包括证明线段平行、计算线段长度）。 （二）难点 1.三角形中位线定理的证明过程（辅助线的构造思路）。 2.利用三角形中位线定理解决复杂几何图形中的综合问题。 ) 三．课前预习 1.连接三角形两边________的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形有________条中位线，三角形的中位线与第三边的位置关系是________，数量关系是________。 3.若三角形的第三边长为10cm，则连接该边所对顶点与对边中点的中位线长为________cm。 4.三角形的中位线和三角形的中线的区别在于：中位线连接的是________，中线连接的是________。 5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE∥BC，且DE=3，则BC的长为________。 【答案】1.中点 2.3；平行（或DE∥BC）；中位线长等于第三边长的一半（或DE=½BC） 3.5 4.两边中点；顶点与对边中点 5.6 四．课堂探秘 探究一：三角形中位线的定义辨析 如图(1)，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形，将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置(如图(2))，这样就得到了一个与△ABC面积相等的▱DBCF. 【想一想】 从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系? 【解析】三角形两边中点的连线（中位线）平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 2.一个三角形有3条中位线，它们会构成一个新的三角形。 3.注意区分：三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段，二者概念不同。 探究二：三角形中位线定理的推导 1.动手操作：画一个任意三角形ABC，取AB中点D、AC中点E，连接DE，测量DE与BC的长度，观察DE与BC的位置关系。 2.提出猜想：通过测量发现，DE∥BC，且DE=½BC，由此猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3.逻辑证明： 已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。 求证：DE∥BC，DE=½BC。 【三角形中位线定理】： 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线重合的边），并且等于第三边的一半。 【符号语言】：在△ABC中，∵ D、E分别是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE=BC） 【特别说明】： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 探究三：三角形中位线定理的拓展 1.中点三角形 （1）定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. （2）性质：①这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 ②中点三角形周长是原三角形的周长一半。 ③中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 2.中点四边形 （1）定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 （2）性质：不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 【经典例题】 例1.如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ 例2.如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 例3．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 例4．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长． 例5．如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DH，EH，DE． （1）求证：AD＝DH； （2）若四边形ADHE的周长是30，△ADE的周长是21，求BC的长． 例6.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明． 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　 　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 4.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 5.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 6.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 8.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 9.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． （二）．填空题 11. 三角形各边长为8、11、15，则连结各边中点所构成的三角形的周长是________. 12. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________． 13. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m． 14．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　　． 15.如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 　． 16.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 　　． 17.如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，DC＝AC＝10，且=作∠ACB的平分线CF交AD于点F，CF＝8，E是AB的中点，连接EF，则EF的长为 　　． 18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 　　． 19．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝　　． 20．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF＝65°，则∠DHF的度数为_______. （三）．解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 22.如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 23.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 24.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD． （1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论． 25.如图，在中，，于点． （1）若交于点，证明：是等腰三角形； （2）若，，且为中点，求的值． 26．（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    六．课后作业 （一）完成知识清单 1.连接三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有________条中位线，它们相交于一点。 3.三角形中位线定理：三角形的中位线________于三角形的第三边，且等于第三边的________。 4.若三角形的第三边长为10cm，则连接其两边中点的中位线长为________cm。 5.三角形的中位线将原三角形分成两个________三角形，且这两个三角形的面积比为________。 6.若三角形中位线与第三边的距离为3cm，则原三角形对应边上的高为________cm。 7.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE∥BC，且DE=5cm，则BC的长度为________cm。 8.三角形中位线定理的逆定理：经过三角形一边中点且________于另一边的直线，必平分第三边。 9.若一个三角形的三条中位线围成的三角形周长为12cm，则原三角形的周长为________cm。 10.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，所得四边形EFGH是________（填特殊四边形名称），其依据是________。 11.三角形的中位线与第三边的位置关系是________，数量关系是________。 12.若△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，且DE=3cm，∠AED=60°，则BC=________cm，∠C=________°。 （二）强化训练 一．选择题 1. △ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A.6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 3. 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 4. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 9 5.如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定 7．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C． D．1+ 9．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 10．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二．填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________ 12．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为　　cm． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　　． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　　cm． 15. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 16. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____． 17．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　． 18.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 19．如图，在中，，，，若四边形的面积为15，则的面积为 　　． 20.如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，点是的中点，则　　． 三．解答题 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 22. 如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点． （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形； （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明． 23. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 24．如图，、、分别是三边中点，于． 求证：（1）；（2）． 25．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．（1）求证：；（2）求的长． 25．如图，在中，，点是边上一点，交于点，连接，点、、分别为、、的中点．（1）求证：；（2）当为多少度时，？并说明理由． 26.已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第二节三角形的中位线》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解三角形中位线的定义，能准确识别三角形的中位线，区分中位线与中线的不同。 2.掌握三角形中位线定理的推导过程，熟练运用定理解决线段平行、长度计算等问题。 3.经历观察、猜想、验证、证明的探究过程，提升几何推理能力与逻辑思维素养。 4.能将三角形中位线定理应用于实际问题，体会几何知识的实际价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.三角形中位线的定义及定理的理解与掌握。 2.三角形中位线定理的灵活运用（包括证明线段平行、计算线段长度）。 （二）难点 1.三角形中位线定理的证明过程（辅助线的构造思路）。 2.利用三角形中位线定理解决复杂几何图形中的综合问题。 ) 三．课前预习 1.连接三角形两边________的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形有________条中位线，三角形的中位线与第三边的位置关系是________，数量关系是________。 3.若三角形的第三边长为10cm，则连接该边所对顶点与对边中点的中位线长为________cm。 4.三角形的中位线和三角形的中线的区别在于：中位线连接的是________，中线连接的是________。 5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE∥BC，且DE=3，则BC的长为________。 【答案】1.中点 2.3；平行（或DE∥BC）；中位线长等于第三边长的一半（或DE=½BC） 3.5 4.两边中点；顶点与对边中点 5.6 四．课堂探秘 探究一：三角形中位线的定义辨析 如图(1)，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形，将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置(如图(2))，这样就得到了一个与△ABC面积相等的▱DBCF. 【想一想】 从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系? 【解析】三角形两边中点的连线（中位线）平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 2.一个三角形有3条中位线，它们会构成一个新的三角形。 3.注意区分：三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段，二者概念不同。 探究二：三角形中位线定理的推导 1.动手操作：画一个任意三角形ABC，取AB中点D、AC中点E，连接DE，测量DE与BC的长度，观察DE与BC的位置关系。 2.提出猜想：通过测量发现，DE∥BC，且DE=½BC，由此猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3.逻辑证明： 已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。 求证：DE∥BC，DE=½BC。 证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF。 ∵ E是AC中点，∴ AE=CE。 在△ADE和△CFE中，AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），DE=FE，∴ △ADE≌△CFE（SAS）。 ∴ AD=CF，∠ADE=∠F（全等三角形对应边、对应角相等）。 ∵ D是AB中点，∴ AD=BD，∴ BD=CF。 又∵ ∠ADE=∠F，∴ AB∥CF（内错角相等，两直线平行），即BD∥CF。 ∴ 四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 ∴ DE∥BC，DF=BC（平行四边形对边平行且相等）。 ∵ DE=FE=DF，∴ DE=BC。 【三角形中位线定理】： 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线重合的边），并且等于第三边的一半。 【符号语言】：在△ABC中，∵ D、E分别是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE=BC） 【特别说明】： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 探究三：三角形中位线定理的拓展 1.中点三角形 （1）定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. （2）性质：①这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 ②中点三角形周长是原三角形的周长一半。 ③中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 2.中点四边形 （1）定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 （2）性质：不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 【经典例题】 例1.如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ 【解答】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴， ∴OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形； （2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴，∴ ，∵的周长为2（AB+BC）=32，∴ ，∴ ，由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH的周长为 ． 例2.如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 解：（1）证明：∵，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积，∴的面积． 例3．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，∴EQ∥BD，EQ=BD，FQ=AC，FQ∥AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形． 例4．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长． 解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）．∴AG＝AC＝8cm， ∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线． ∴EF=BG＝2cm．答：EF的长为2cm， 例5．如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DH，EH，DE． （1）求证：AD＝DH； （2）若四边形ADHE的周长是30，△ADE的周长是21，求BC的长． 解：（1）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∵点D是AB的中点，∴AD＝DH=AB； （2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝DH=AB，AE＝HEAC，∵四边形ADHE的周长是30，∴AD+AE＝15， ∵△ADE的周长是21，∴DE＝21﹣15＝6，∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝12． 例6.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．） 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明． 解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=， PF∥CD∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形． （2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90° 即△AGD是直角三角形． 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，勾股定理可得BC=＝6，又∵DE垂直平分AC，∠ACB=90°，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理DE=BC=3，故答案选D. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　 　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM， ∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B． 3. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，∴△DOE周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15．故选A 4.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB13， ∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5； 故选：B． 5.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【答案】B 【解析】如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=BC，GF=AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF，所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．故选：B． 6.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA）∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，∵AN＝NE，AM＝MD， ∴MN=DE＝2，故选：B． 7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，， ∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3， ∴EH5，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=EH＝2.5，故选：A． 8.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【解析】延长AF、BC交于点G，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，，∴△ACF≌△GCF（ASA），∴CG＝AC＝7，AF＝FG，∴BG＝CG﹣CB＝3，∵AE＝EB，AF＝FG，∴EF=1/2BG＝1.5，故选：A． 9.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 【答案】C 【解析】延长BE交AC于G，如图所示：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠BAE＝∠GAE=1/2∠BAC＝40°，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠GEA＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴BE＝GE，∵F为BC的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF∥GC，∴∠EFD＝∠C，∵∠BEA＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C． 10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】取EF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH=1/2FC，DH∥AC， ∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA）， ∴AF＝DH，∴AF=1/2FC，∵AC＝4，∴AF=，故选：B． （二）．填空题 11. 三角形各边长为8、11、15，则连结各边中点所构成的三角形的周长是________. 【答案】17 【解析】∵中点三角形的各边长等于：×8=4，×11=5.5，×15=7.5， ∴其周长=4+5.5+7.5=17，故答案为17． 12. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________． 【答案】平行四边形 【解析】：如图所示，四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，∴，，，，∴，，∴四边形EFGH是平行四边形； 13. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m． 【答案】44 【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AB，∵EF=22m，∴AB=44m， 故答案为44． 14．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 　　． 【答案】22 【解析】∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=1/2BC，BD＝AD＝7， ∴∠DFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DFB＝∠DBF，∴∠DBF＝∠FBC，∴DF＝BD＝7，∴DE＝DF+EF＝11，∴BC＝2DE＝22，故答案为：22． 15.如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 　． 【答案】27﹣n 【解析】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、FG、EG为三角形中位线，∴EF=1/2BC，EG=1/2AC，FG=1/2AB，∴EF+FG+EG=1/2（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半．同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为16．以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n． 16.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 　　． 【答案】9 【解析】∵P、M分别是AB、AC的中点，∴PM∥BC，PM=1/2BC＝3，∴∠APM＝∠CBA＝70°， 同理可得：PN∥AD，PN=1/2AD＝3，∴∠BPN＝∠DAB＝50°，∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN为等边三角形，∴△PMN的周长为9，故答案为：9． 17.如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，DC＝AC＝10，且=作∠ACB的平分线CF交AD于点F，CF＝8，E是AB的中点，连接EF，则EF的长为 　　． 【答案】4 【解析】：∵DC＝AC＝10，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，∵DC＝10，CF＝8，∴DF6，∴AD＝2DF＝12，∵=∴BD＝8，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=1/2BD＝4，故答案为：4． 18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 　　． 【答案】25° 【解析】在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=1/2AB，PN=1/2DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN25°．故答案为：25°． 19．如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝　　． 【答案】4.5 【解析】延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=1/2DG=1/2（BC﹣BG+CD）=1/2（BC﹣AB+AC）1/2（13﹣10+6）＝4.5． 20．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF＝65°，则∠DHF的度数为_______. 【答案】65° 【解答】证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴DE∥AF，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF，∵AH是△ABC的高，∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH＝DA＝AB，HF＝AF＝AC，∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，∴∠DAH+∠FAH＝∠FHA+∠DHA，即∠DAF＝∠DHF，∴∠DHF＝∠DEF＝65°， （三）．解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D， ∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE， 即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形； （2）解：由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，， ∴AD=8． 22.如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 【解答】 证明：（1）分别是的中点，，同理可得：，，四边形是平行四边形； （2）如图，连接，分别是的中点，， （同底等高），同理可得：， ， 又是的中点，，（等底同高）， ， 同理可得：，即四边形的面积为4． 23.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA） ∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 24.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD． （1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论． 解：（1）在Rt△ADB中，E为AB的中点，∴DE＝AB＝×14＝7，AE＝AB＝×14＝7， 同理：DF＝AF＝AC＝5，∴四边形AEDF的周长＝7+7+5+5＝24； （2）EF⊥AD，证明如下：∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵AD⊥BC，∴EF⊥AD． 25.如图，在中，，于点． （1）若交于点，证明：是等腰三角形； （2）若，，且为中点，求的值． 解：（1）证明：，，，，， ，，即：是等腰三角形； （2）解：，为中点，，，，，由勾股定理得：． 26．（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    解：（1）如图所示，连接，取的中点H，连接、，∵E、F分别是、的中点，∴分别是的中位线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴． （2）是等腰直角三角形；证明如下：如图，取的中点H，连接、 ∵E、F分别是、的中点，∴分别是的中位线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．   （3）为直角三角形，证明如下：如图，连接，取的中点H，连接， ∵F是的中点，∴∴，同理，． ∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．∵，∴，∴，∴， 即是直角三角形． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.连接三角形两边________的线段，叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有________条中位线，它们相交于一点。 3.三角形中位线定理：三角形的中位线________于三角形的第三边，且等于第三边的________。 4.若三角形的第三边长为10cm，则连接其两边中点的中位线长为________cm。 5.三角形的中位线将原三角形分成两个________三角形，且这两个三角形的面积比为________。 6.若三角形中位线与第三边的距离为3cm，则原三角形对应边上的高为________cm。 7.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE∥BC，且DE=5cm，则BC的长度为________cm。 8.三角形中位线定理的逆定理：经过三角形一边中点且________于另一边的直线，必平分第三边。 9.若一个三角形的三条中位线围成的三角形周长为12cm，则原三角形的周长为________cm。 10.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，所得四边形EFGH是________（填特殊四边形名称），其依据是________。 11.三角形的中位线与第三边的位置关系是________，数量关系是________。 12.若△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，且DE=3cm，∠AED=60°，则BC=________cm，∠C=________°。 【答案】1.中点 2.三 3.平行；一半 4.5 5.相似；1:4 6.6 7.10 8.平行 9.24 10.平行四边形；三角形中位线定理（三角形的中位线平行且等于第三边的一半，两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 11.平行；中位线长度等于第三边的一半 12.6；60 （二）强化训练 一．选择题 1. △ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC中位线，又∵BC=8，∴DE=4，故选B. 2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A.6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 【答案】C 【解析】∵三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∴三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∴这个三角形的周长=6+8+12=26cm，故选C． 3. 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 【答案】A 【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵∠MPN=130°，∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，故选A． 4. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，∴G为△ABC的重心，∴2FG=GC，∵FG=3，∴GC=6，∴CF=9．故选D. 5.如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=FC=×4＝2，故选：B． 6.如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定 【答案】B 【解析】如图，连接AQ，∵，分别为、的中点，∴为的中位线，∴，∵为定点，∴的长不变，∴的长不变，故选： 7．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 【答案】A 【解析】∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=1/2AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=1/2AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．故选：A． 7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【解析】在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4，∴BF===4． 故选D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C． D．1+ 【答案】A 【解析】：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=AB=1．故选：A． 9．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB， ∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B． 10．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【解析】∵，点E是的中点，∴.∵，， ∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴是平分．则①②正确； ∵点E是的中点，点O是的中点，∴是的中位线，∴，∴． 则③正确；∵点O是的中点，∴．∵点E是的中点，∴，∴．由平行四边形的性质得， ∴，即．则④不正确．所以正确的有①②③.故选：C. 二．填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________ 【答案】4 【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，∴DE=BC=4．故答案为4． 12．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为　　cm． 【答案】12 【解析】∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　3　． 【答案】3 【解析】连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点， ∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　　cm． 【答案】14 【解析】∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14． 15. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 【答案】144° 【解析】∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝ BC，PE＝ AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE， ∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．∠FPE＝180°-18°-18°=144°．故答案为：144°． 16. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____． 【答案】11 【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．故答案为：11． 17．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　． 【答案】 【解析】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中， ．∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故答案是：． 18.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 【答案】 【解析】延长至，使，连接，作于，平分的周长，，又，，，，，，，，，，，，，故选：． 19．如图，在中，，，，若四边形的面积为15，则的面积为 　　． 【答案】36 【解析】，，，，是的中位线，，，，设梯形和梯形的高为，，， ，．故答案为：36． 20.如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，点是的中点，则　　． 【答案】4 【解析】在中，，，，，，，，，，是的中位线，，故答案为：4． 三．解答题 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AED＝90°， 在△AEC和△AED中，，∴△AEC≌△AED（ASA），∴CE＝DE； （2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴， ∵△AEC≌△AED，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB﹣AD＝4，∵点E为CD中点，点F为BC中点， ∴． 22. 如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点． （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形； （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明． 解：（1）∵BE、CF是△ABC中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC， ∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，∴PQ∥BC且PQ＝BC，∴EF∥PQ且EF＝PQ，∴四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE，∵P是BG中点，∴BG＝2PG，∴BG＝2GE. 23. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 解：（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM； （2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1， ∴BN=． 24．如图，、、分别是三边中点，于． 求证：（1）；（2）． 解：（1）证明：、分别是、边中点，是的中位线，，，； （2）于，是的中点，，． 25．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．（1）求证：；（2）求的长． 解：（1）证明：平分，．，．在与中，，． （2），，．是的中点，，． 25．如图，在中，，点是边上一点，交于点，连接，点、、分别为、、的中点．（1）求证：；（2）当为多少度时，？并说明理由． 解：（1）证明：．，，，， ，，，点、、分别为、、的中点，是的中位线，是的中位线，，，； （2）延长交于，是的中位线，是的中位线，，，，，当时，． 26.已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 解：（1）如图：记，的交点为，∵点共线，，∴， ∵，，∴，∴∴，，∵，∴在中，由勾股定理得：，∵，∴， ∴； （2），理由如下，证明：延长至点，使得，连接，∵， ∴,∵，∴，∴，∵， ∴，∴，，∵, ∴，∴，设，∵， ∴∴，∵，∴，∴， 同理可求：，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴； （3）取中点为点，链接，∵点，点分别为与的中点， ∴，在中，有， ∴的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得：，∵，∴，即：， ∴，∴，即，∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $