精品解析：河南项城市南顿镇第二初级中学2025-2026学年第一学期质量监测卷 九年级数学

2025-2026学年第一学期质量监测卷 九年级数学 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 若 ，相似比为，则 与 的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子里有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球是红球的概率为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 二次函数的图象开口向上，且经过点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 对称轴在y轴左侧 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，， 以为边在左侧作正方形， 则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 12. 将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____． 13. 在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 14. 若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系为____． 15. 如图， 在 中，，，点D是的中点，点E在上，将 沿折叠，点B落在点处，若，则的长为____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出 的位似图形 位似比为； （2）求出 的面积； 18. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求和的长． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 20. 不透明的袋子里有标号为1、2、3、4的4个完全相同的小球，随机摸出1个小球，记下标号后放回，再随机摸出1个小球． （1）用列表或画树状图的方法，列出所有可能的结果； （2）求两次摸出的小球标号之和为5的概率； （3）求两次摸出的小球标号之积为偶数的概率 21. 如图， 在 中，，以为直径的交于点，交于点， 过点作于点， 连接 ． （1）求证: 是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式 的解集 ． 23. 如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； （3）是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期质量监测卷 九年级数学 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：且k为常数，， ，为一次函数，为二次函数，为反比例函数， 因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 2. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：C． 3. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断位置：若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离，且， ∴， ∴点在内， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 6. 若 ，相似比为，则 与 的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案. 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为. 故选：C 7. 不透明的袋子里有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球是红球的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式，事件概率等于事件可能发生的结果数与所有可能结果数的比值，摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值． 【详解】解：∵总球数，红球数， ∴摸出红球的概率． 故选：B． 8. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为，则，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”得出，根据勾股定理得出即可作答． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径长是5， 故选：C． 9. 二次函数的图象开口向上，且经过点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 对称轴在y轴左侧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质以及对称轴的判定．根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴，故选项A正确； ∵该二次函数经过点，， ∴， ∴，，故选项B错误； ∴，是否等于0不确定，故选项C错误； 正负情况无法确定，对称轴无法确定正负，故选项D错误； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，， 以为边在左侧作正方形， 则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，如图，过作于，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 12. 将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____． 【答案】y＝x2+2x＋3 【解析】 【分析】把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式． 【详解】把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3 故答案为：y＝x2+2x＋3． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移． 13. 在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径．也考查了勾股定理．作于D，先根据勾股定理计算出，再利用等积法计算出，然后根据切线的性质即可得到的半径长． 【详解】解：作于D，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴长为的半径， 即的半径长为． 故答案为：． 14. 若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象在第二象限和第四象限，在每个象限y随x的增大而增大，点 在第二象限，；点和在第四象限，，则，即可得解． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象在第二象限和第四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵、、，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图， 在 中，，，点D是的中点，点E在上，将 沿折叠，点B落在点处，若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，同理： 过作于，则，证明，求解，，过作于，延长交于，当时，证明，可得，设，过作于，则四边形是矩形，可得， 建立方程可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，同理：， ∵点D是的中点， ∴， 过作于，则， ∴， ∴， ∴，， 延长交于，当时， ∴，， ∴， 过作于， ∴， ， ∴， ∴， 设， ∴，，， 过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或. ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出 的位似图形 位似比为； （2）求出 的面积； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形、在坐标系中求位似图形的面积，熟练掌握位似的性质是解本题的关键． （1）先将三点坐标的横坐标与纵坐标乘以2得到，画出即可． （2）求出的面积，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，计算即可得出的面积． 【小问1详解】 解：∵的三个顶点坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限画出 的位似图形 ，位似比为，  ∴，描点，首尾顺次连接各点，如图, 为所求． 【小问2详解】 解：的面积 而 与 的相似比为1：2， 的面积 18. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）连接，因为D是 的中点，所以，由等弧所对的圆周角相等得出，再通过圆周角定理、同角的余角相等和等量代换得出，即可得出结论； （2）通过和，列出比例式即可得到和的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵ D是 的中点， ∴， ∴， ∵是的直径, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）解：不能达到1500元，理由如下： 假设能达到，设盈利为1500元，则： ， 整理得： ， ∴， ∴方程无实数根，故不能达到1500元. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用； （1）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程求解即可； （2）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程，进一步求解判断即可． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件， 由题意可得：， 解得，， ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴越大，每天可以售出数量越大， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； 【小问2详解】 略 20. 不透明的袋子里有标号为1、2、3、4的4个完全相同的小球，随机摸出1个小球，记下标号后放回，再随机摸出1个小球． （1）用列表或画树状图的方法，列出所有可能的结果； （2）求两次摸出的小球标号之和为5的概率； （3）求两次摸出的小球标号之积为偶数的概率 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的情况数； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号之和为5的情况数，即可求出概率； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号之积为偶数的情况数，即可求出概率． 【小问1详解】 解：列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 【小问2详解】 解：列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 所有等可能的情况数有种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是5的有4种结果， 所以两次摸出的小球标号的和是5的概率为； 【小问3详解】 解：列表得： 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 4 4 8 所有等可能的情况数有种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号之积是偶数的有种结果， 所以两次摸出的小球标号之积是偶数的概率为． 21. 如图， 在 中，，以为直径的交于点，交于点， 过点作于点， 连接 ． （1）求证: 是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形． (1)连接，根据等腰三角形的性质可知，，从而可证，根据平行线的性质可证结论成立； (2)连接，由圆周角定理可知，利用三线合一得出，根据圆内接四边形的性质可知，可证，根据相似三角形的性质可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: 如下图所示，连接， 是的直径, ， ，， ， 四边形是内接四边形， ， ， 又， ， ， 即 ， 解得：． 22. 如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式 的解集 ． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）求解，结合，，，再进一步求解即可. （3）不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵记的图象与轴的交点为， 当时，， ∴， ∵，， ∴. 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 23. 如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； （3）是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 【答案】（1） （2） （3）存在, 点或或． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，求解，，，当三点共线时，可得周长的最小值为. （3）如图所示，分类讨论：当四边形为平行四边形时，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样的方法即可求出对应Q点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线 与x轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，， ∴， ∵， ∴当，，抛物线的对称轴为直线， 即，而， ∴，， ， 当三点共线时，周长的最小值为. 【小问3详解】 解：存在．理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 如图所示： 当四边形为平行四边形，由平移可得， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时，由平移可得：， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴为对称轴与轴交点，，关于直线对称，， 此时满足，符合题意， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；轴对称的性质，勾股定理的应用，平移的性质，会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $