19.1.1 二次根式的概念 课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版数学8年级下册培优精做课件 19.1.1 二次根式的概念 第十九章 二次根式 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年2月8日 2026年2月8日星期日5时16分39秒 2026年2月8日星期日5时16分40秒 （1）一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____． 知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点: （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 2 （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，的算术平方根． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. （2）这些式子有什么共同特征？ 在前面的问题中，得到的结果分别是：，，． 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. 二次根式是代数式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 归纳总结 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 由，得 当时，在实数范围内有意义. 【思考】当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？ 因为，所以x可以为任意实数. 因为，所以 . 解： 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3）；（4）; （5） ;（6）；（7）. 考点1 返回 A 1. 下列各式中，是二次根式的是(　　) 中考考法 7 返回 2. C 下列各式中，一定是二次根式的是(　　) 中考考法 1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解： ∴ 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 （1）; 考点2 （2）. （2）由题意得 ∴. 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. （1）由题意得， 2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论x为任何实数， ， ∴当x=1时，在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义. 归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. （1） （2） 返回 3. D 中考考法 返回 4. D 中考考法 返回 5. 解：x≤0. (16分)[教材P3练习T2变式]当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ x为任意实数． 中考考法 (1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0； (3)多个二次根式相加如有意义的条件： (2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 二次根式有意义的条件应用的不同类型： 知识点 2 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说， 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知. 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 归纳总结 16 解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 利用二次根式的双重非负性求字母的值 若，求2a -b+3c的值. 提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 考点1 已知和互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得 所以3x-y-1=0，2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9. ∴x+4y的平方根为±3. 巩固练习 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 已知实数x、y满足等式， 求的值. 解： 由题意得 解得x=2. 把x=2代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(2+5)2=49. 总结：若，则根据被开方数0，可得a=0. 考点2 返回 6. 已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为________dm． 中考考法 返回 7. 中考考法 返回 8. D 中考考法 返回 9. 2 中考考法 23 返回 10. (4分)[教材P5习题T3变式]有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽． 中考考法 24 11. 中考考法 25 返回 中考考法 26 二次根式有意义的条件和非负性 二次根式的定义 在有意义的条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集 二次根式的双重非负性 课堂小结 形如的式子叫作二次根式 A． B． C．2 D． A． B． C． D． [连云港中考]若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≤1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x≥－1 下列x的值能使二次根式无意义的是(　　) A．x＝－5 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x≥－. x≤. (3)； (4)． (1)； (2)； 海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速v(单位：m/s)估计风压wp(单位：Pa)的通用公式为wp＝，试用含wp(wp≥0)的式子表示v，则v＝__________． 如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是(　　) A．x≥2 B．x≠2 C．x≤2 D．x>2 当x＝________时，式子＋2取最小值，这个最小值为________． 解：设这个长方形过道的长为5x m，则宽为x m， 由题意，得5x·x＝10，∴x＝±. ∵x>0，∴x＝.∴5x＝5 . 答：这个长方形过道的长和宽分别为5 m和 m. (8分)[唐山期中](1)若x，y为实数，且y＝＋－2，求的值； 解：由题意得∴x＝3， ∴y＝＋－2＝0＋0－2＝－2， ∴＝＝. (2)已知b＝＋－a＋7，求a－b的值． 解：由题意得∴ab＝10，∴b＝－a＋7，∴a＋b＝7， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×10＝9， ∴a－b＝±3. $