精品解析：山东青岛市莱西市2025-2026学年上学期九年级（五四制）期末数学试卷

山东省青岛市莱西市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A B. C. D. 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 6. “双大课间”活动让师生共享美好体育生活．为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 方差是2 C. 平均数是 D. 众数是5 7. 如图，已知正方形的边长为2，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ②④ 10. 一般的，在数学中我们规定将实数，，…，中的最大数记为，例如.那么函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________________ ． 12. 一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______． 13. 如图，扇形中，，，C是的中点，，交弧于点D，以为半径的弧交于点E，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 14. 如图，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线上一点， ，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是___________________ ． 15. 如图，在四边形中，，过点C作，交于点E，连接，，若，则_____ ． 16. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°． 三、解答题（本题满分72分，共8道小题） 17. （1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题： 类别 频数 频率 不了解 10 m 了解很少 16 基本了解 b 很了解 4 n 合计 a 1 （1）根据以上信息可知： ， ， ， ． （2）请补全条形统计图； （3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数 ； （4）若“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同． 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度. 20. 在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若中，边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． （3）拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 21. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 22. 温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值． 23. 如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． （1）请直接写出（图1）中与的形状关系 ； （2）如（图2），在边长均为1方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； （3）如（图3），在矩形中，，，点P是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线于点E． ①设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②是否存在这样点P，使周长等于周长的2倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由． 24. 已知矩形，，将矩形绕点B顺时针方向旋转得到矩形，连接，点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点F从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为t．解答下列问题： （1）当t为何值时，为的中线； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市莱西市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．整数，属于有理数，故不符合题意； B．是无理数，故符合题意； C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意． 故选：B． 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形定义是解决问题的关键．轴对称图形：一个平面图形绕着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 由轴对称图形的定义可知，C中图案是轴对称图形，A、B、D中图案不是轴对称图形． 【详解】A．不是轴对称图形，故此选项错误； B．不是轴对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则计算即可得解． 【详解】解：A. ，故选项正确，符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则． 6. “双大课间”活动让师生共享美好体育生活．为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 方差是2 C. 平均数是 D. 众数是5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，中位数、众数和方差的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键．分别根据中位数、众数、加权平均数以及方差的定义解答即可． 【详解】解：把这10名学生的定时定点投篮进球数从小到大排列，排在第5和第6个数是5，所以中位数是5，故选项A正确，不符合题意； 这10名学生的定时定点投篮进球数出现最多的数是5，所以众数是5，故选项D正确，不符合题意； 平均数是：，故选项C正确，不符合题意； 方差是： ， 故选项B错误，符合题意． 故选：B． 7. 如图，已知正方形的边长为2，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 如图：连接交于点P，过点F作于点H，设，则，由翻折性质得，先求出四边形的面积得，由此得，证明四边形是矩形得，进而得，再证明和全等得，然后在中，由勾股定理构造关于a的方程，再解此方程求出a即可得出线段的长． 【详解】解：如图：连接交于点P，过点F作于点H， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴， 设，则， 由翻折性质得：， ∴正方形的面积为4，四边形是直角梯形， ∵四边形与四边形的面积比为， ∴设四边形的面积为：，四边形的面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴，解得：， ∴四边形的面积为：， 又∵四边形的面积为：， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 8. 如图，一圆环分别与夹角为的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，根据切线的性质和四边形内角和定理可得出 ，根据圆内接四边形地性质可得，再由圆周角定理得出，代入求值 即可得到结论． 【详解】解：如图， 根据题意得，分别是的切线，点E，F分别是切点， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵四边形EGFP是圆内接四边形 ∴，即 又 ∴，即 故选：A 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的对称轴、开口方向、与坐标轴交点及判别式等性质是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置可判断的符号；利用对称轴及已知的范围可推出的范围；将代入可判断其符号；通过判别式及时的函数值，可推导与的大小关系，进而判断四个结论的正确性． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴为直线，与轴交于，两点，且， ，所以②正确； ， ，所以③错误； 时，， ， 即， ， ， 抛物线与轴有两个交点， ， ， 即，所以④正确． 故选：． 10. 一般的，在数学中我们规定将实数，，…，中的最大数记为，例如.那么函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，画出一次函数，，，如图，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，根据函数图象比较大小可得，当时，，当时，，当时，，当时，，即可得出答案，熟练应用函数图象的性质进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：画出一次函数，，，如图， 一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，由图象可知， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 综上，函数图象大致为A选项图形． 故选：A． 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 13. 如图，扇形中，，，C是的中点，，交弧于点D，以为半径的弧交于点E，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式． 连接，，根据点C为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线上一点， ，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是___________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线平行时斜率满足的关系，坐标与图形性质，先确定出坐标，根据，利用两直线平行时斜率相等确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立表示出坐标，再利用线段中点坐标公式表示出坐标，代入反比例解析式中列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，熟练表示相关点的坐标是解题的关键． 【详解】解：对于直线， 令，得到， ， ， 直线解析式为， 与反比例解析式联立消去得：， 去分母得：， 解得：或（舍去）， ． ， 为中点， ， 将坐标代入反比例解析式得：， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，过点C作，交于点E，连接，，若，则_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，是正确作出辅助线是解题的关键． 如图：延长相交于点F，证明可得，再证明可得，则为的中位线，故，据此即可解答． 【详解】解：如图：延长相交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：3． 16. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°． 【答案】100 【解析】 【分析】作点A关于对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，对称的应用是解题的关键． 三、解答题（本题满分72分，共8道小题） 17. （1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）不等式组的解集为，数轴表示见解析； （2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，以及一元一次不等式组的解法． （1）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后再在数轴上表示出解集即可； （2）首先计算括号里面的分式的减法，然后再计算括号外面的除法，最后要把结果化成最简，然后再整体代入即可． 【详解】解：（1）由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 数轴表示为：； （2）原式 ， ， ， 原式． 18. 某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题： 类别 频数 频率 不了解 10 m 了解很少 16 基本了解 b 很了解 4 n 合计 a 1 （1）根据以上信息可知： ， ， ， ． （2）请补全条形统计图； （3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数 ； （4）若“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同． 【答案】（1）50，20，，； （2）见解析； （3）400人； （4）抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、频数分布直方图、画条形统计图、样本估计总体等知识点，灵活运用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由“了解很少”的人数除以其对应频率可得被调查的总人数a，再根据频数之和等于总人数可得b的值，再根据频率、频数、总人数的关系即可求得m、n的值； （2）根据（1）求得 “基本了解”的人数b的，补全统计图； （3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可解答； （4）名学生中3名男生分别为，一名女生为B，列表得出所有等可能结果，从中找到抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的结果数，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 故答案为：50，20，，． 【小问2详解】 解：补全条形图如下： 【小问3详解】 解：估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人）． 故答案为：400人． 【小问4详解】 解：记4名学生中3名男生分别为，一名女生为B，根据题意列表如下： B ， ， ，B ， ， ，B A3 ， ， ，B B B， B， B， 从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：共6种等可能结果． ∴P（抽到两名学生均为男生）， 抽到一男一女包含：共六种等可能结果． ∴P（抽到一男一女）， ∴抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同． 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度. 【答案】树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 20. 在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若中，的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． （3）拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 【答案】（1） （2）见解析， （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中求三角形面积，勾股定理，分母有理化，化简二次根式，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）先仿照（1）画出对应的图形，然后求出的面积，再利用等面积法求解即可； （3）根据题意画出对应的示意图，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ， 设点D到的距离为h， 则， ∴， ∴点D到的距离为； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，； 如图3-2所示，； 如图3-3所示，； 如图3-4所示，； 综上所述，的长为或或或 21. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 22. 温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值． 【答案】（1）填表见解析；（2）每件乙产品可获得的利润是110元；（3）安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值． 【详解】解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）＝（130﹣2x）件．在乙每件120元获利的基础上，增加1人，利润减少2元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）＝（130﹣2x）元． 故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x； 填表如图： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 65-x 2（65-x） 15 乙 x x 130-2x （2）解：由题意得15×2（65-x）=x（130-2x）+550 ∴x2-80x+700=0 解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去） ∴130-2x=110（元） 答：每件乙产品可获得的利润是110元． （3）解：设生产甲产品m人 W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200 ∵2m=65-x-m ∴m= ∵x，m都是非负整数 ∴取x=26时，此时m=13，65-x-m=26， 即当x=26时，W最大值=3198（元） 答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元． 【点睛】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量． 23. 如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． （1）请直接写出（图1）中与的形状关系 ； （2）如（图2），在边长均为1方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； （3）如（图3），在矩形中，，，点P是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线于点E． ①设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②是否存在这样的点P，使周长等于周长的2倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）①②存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为14 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证； （2）根据新定义，画出等联角； （3）①当P在线段上时即，当P在的延长线上时，则时，证明，根据相似三角形的性质，写出函数关系式，即可求解；②根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：①当P在线段上即，如图所示， ， ， ， ， ，，，， ，， ， ， 当时，即、重合，此时、重合，则， ， 当在的延长线上时，如图所示，则时， ， ， ， ， ，，，， ，， ， ， ； ②， 当周长等于周长的倍时，，即，即， 当时，， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）， 当时，， 整理得， 解得：（舍去）或， 存在这样的点，使周长等于周长的倍，的长度为14． 【点睛】本题考查了矩形综合题，新定义，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，函数关系式，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 24. 已知矩形，，将矩形绕点B顺时针方向旋转得到矩形，连接，点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点F从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为t．解答下列问题： （1）当t为何值时，为的中线； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）时，EF为的中线 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）延长交于点N，求出，由为的中线得到，即可得到答案； （2）假设存在某一时刻t使得，延长与相交与点M，则，，解得：，同理可得：，证明，则，进一步即可得到答案； （3）过点E与作于H，延长交于点N，证明，解得，进一步即可得到答案 【小问1详解】 延长交于点N， 在中， ， ∴， ∴ ∵为的中线， ∴ ∴时，为中线 【小问2详解】 假设存在某一时刻t使得，延长与相交与点M， ∵， ∴，， 解得：，同理可得： 与中， ∴， ∴，即， 解得： 【小问3详解】 过点E与作于H，延长交于点N， ∵， ∴ ∴，即 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $