精品解析：山西晋城市2025-2026学年上学期高二年级期末自测数学试题

高二年级期末自测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 2. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，又因为， 所以， 所以，即， 故选：D. 3. 圆的圆心为，且经过抛物线的顶点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间距离公式求出半径即可写出方程. 【详解】抛物线的顶点为， 因为圆心为，且经过抛物线的顶点，则， 所以圆的标准方程为：， 故选：C. 4. 已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比. 【详解】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求. 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 6. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 7. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，得出公比为的等比数列，再根据等比中项得出，根据等比数列通项公式求值即可. 【详解】因为， 所以，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，所以， 则， 故选：D. 8. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（ ） A. 8 B. 6 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线被圆所截得的弦长为4，则或 C. 若直线与圆相切，则 D. ，使得直线与圆相离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程可判断A正确，利用弦长公式计算可得斜率，可知B错误，由直线与圆相切计算可得C正确，因为直线上恒有一点在圆上，可得D错误. 【详解】对A，因为直线：可化为， 所以直线过定点，所以A正确； 对B，圆的标准方程为，即圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 若直线被圆所截得的弦长为4，则， 即，化简得，解得或，所以B错误； 对C，若直线与圆相切，则有，即， 化简得，解得，所以C正确； 对D，因为直线上恒有一点在圆上，所以直线不可能与圆相离，所以D错误. 故选：AC. 10. 记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差数列和等比数列基本量的运算，求得等差数列的公差，等比数列的公比，进而逐项判断即可. 【详解】因为等差数列，，所以， 又因为，所以公差，所以， ，，， 所以当或时，最大，所以A正确，C错误； 因为是等比数列，所以， 所以，因为， 所以公比， 所以或，所以或， 所以选项B错误； 当时，，，， 所以当或时，最大，且最大值为； 当， ，，，， 当时，，当时，，又，当时，， 所以当时，最大，且最大值为， 综上，可知的最大值为，所以选项D正确. 故选：AD. 11. 已知抛物线：，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点，处的切线交于点，点为线段的中点，点在抛物线的准线上的投影为，则（ ） A. B. 轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理可判定；对于B，利用导数求出两点的切线方程，求得交点的坐标，可判定；对于C，先分类讨论证明恒成立，然后使用等面积法可得结论；对于D，结合抛物线定义，角平分线的性质定理逆定理可判定. 【详解】对于A，由题意得焦点，抛物线开口向上， 因为直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为：， 联立，得，则有，故A错误； 对于B，因，，则有中点， 由，得，则有，，， 所以曲线在点处的切线为：，即， 曲线在点处的切线为：，即， 联立，解得，因为，所以， 因为点与点的横坐标相同，所以轴，故B正确； 对于C，， 代入，，则有， 代入，则有，所以， 因为， 当时，，， 所以，即， 当时，点，关于轴对称，即直线的斜率为0， 此时，所以直线的斜率不存在，所以， 综上，. 所以，即，故C正确； 对于D，由C知，，又因为， 由抛物线定义知，，即点到直线距离等于到直线的距离，所以点在的角平分线上，即是的角平分线， 所以，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据两向量平行，则坐标成比例，列出方程，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即， 得，解得， 所以. 13. 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 14. 已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0 （2）最大值为32，最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负可确定的单调区间；根据单调性可知极大值为，极小值为，代入求得结果； （2）根据（1）可得极大值和极小值，再求端点值对应函数值，可得最大值和最小值. 【小问1详解】 函数定义域为， ， 令，解得或. 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为：，； 单调递减区间为：； 当时，函数取极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 【小问2详解】 由（1）知，在区间上， 当时，函数有极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 又因为，. 所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0. 16. 已知数列为单调递增的等差数列，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，根据，， 成等比数列建立等量关系，求出公差，进而得到等差数列的通项公式； （2）根据第（1）问，得到数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又因为，所以，化简得：， 解得或， 又因为数列为单调递增的等差数列，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ①， ②， ①②得：， 所以. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，为与的交点. （1）证明：平面； （2）点在棱上，当平面和平面夹角的余弦值为时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据为的中点，得出四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，先求出平面和平面的法向量，再应用二面角的余弦公式求出参数. 【小问1详解】 连接，，由题意得，四边形为正方形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以且， 因为为的中点，，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为正方体的棱长为2，所以，，， 则，， 设平面的法向量为， 则有，得， 两式相加得：，令，则， 所以； 设，，则，，， 则， 设平面的法向量为， 则有，得， 令，则，， 所以， 由题意可得，， 即， 解得，所以. 18. 已知椭圆：的一个焦点，长轴长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，设：. （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）依题意可得、，再求出即可； （2）（ⅰ）设，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示，同理可得，即可得到方程，解得即可；（ⅱ）结合（ⅰ）可得，依题意可得关于的方程有解，分、两种情况讨论，当时可得，解得即可. 小问1详解】 由题意可知，，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）联立，得， 设，，显然，所以，， 则； 同理，当时，把中的换成可得， 若时，直线，直线，此时， 所以对时也成立， 因为，所以，解得， 即； （ⅱ）若，则，即， 整理得. 若，使得，即关于的方程有解， 当时，方程无解； 当时，，因为，则，所以 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）证明：（ⅰ）当时，； （ⅱ）当，且时，； （2）若正实数，满足，证明：. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）构造函数，应用导函数得出函数单调性进而证明不等式；（ⅱ）构造函数，应用导函数得出函数单调性进而证明不等式； （2）由（1）中的（ⅰ）得，，应用由（1）中的（ⅱ）迭代计算证明. 【小问1详解】 （ⅰ）要证当时，，即证：. 令，， 则， 因为，所以，，则，又因为， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即，所以， 即当时，； （ⅱ）因为，令， 则在时恒成立， 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减； 令，， 则， 因为，，所以，所以， 所以在上单调递减，因为，所以， 即，所以； 【小问2详解】 因为正实数，满足，所以， 由（1）中的（ⅰ）得，. 由（1）中的（ⅱ），得 ； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期末自测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 圆的圆心为，且经过抛物线的顶点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆：左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（ ） A B. C. D. 7. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 8. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（ ） A. 8 B. 6 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线被圆所截得的弦长为4，则或 C. 若直线与圆相切，则 D. ，使得直线与圆相离 10. 记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 的最大值为 11. 已知抛物线：，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点，处的切线交于点，点为线段的中点，点在抛物线的准线上的投影为，则（ ） A. B. 轴 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______. 13 已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 14. 已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知数列为单调递增的等差数列，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，求. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，为与的交点. （1）证明：平面； （2）点在棱上，当平面和平面夹角的余弦值为时，求. 18. 已知椭圆：的一个焦点，长轴长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，设：. （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，使得，求实数取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：（ⅰ）当时，； （ⅱ）当，且时，； （2）若正实数，满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $